2026 年中考数学暑假提分特训试卷（附答案可下载）

2026年中考数学暑假提分特训试卷（附答案可下载）考试时间：120分钟满分：150分（核心目标：立足暑假提分黄金期，聚焦中考高频压轴题型、进阶重难点，强化解题思路拓展与技巧沉淀，突破知识瓶颈，提升应试实战能力，为中考冲刺蓄力）特训范围：数与代数（二次函数综合、方程不等式高阶应用、分式与根式运算进阶）、图形与几何（三角形全等相似综合、四边形压轴、圆的切线与弧长面积计算、图形变换综合）、统计与概率（概率综合应用、统计图表分析），侧重跨模块融合题型与应试策略训练。一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。基础拔高+进阶突破，适配暑假特训起点）下列运算正确的是（）

A.√24÷√6=2B.(a+b)²=a²+b²C.2a³·3a²=6a⁶D.√3+√2=√5

（特训要点：二次根式运算、完全平方公式、整式乘法，基础运算进阶突破）

关于x的一元二次方程(k-1)x²-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.k≤2B.k≤2且k≠1C.k<2D.k<2且k≠1

（特训要点：一元二次方程定义与根的判别式，参数取值双重约束强化）

二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴的交点坐标为（）

A.(3，0)和(-1，0)B.(3，0)和(1，0)C.(-3，0)和(1，0)D.(-3，0)和(-1，0)

（特训要点：二次函数与坐标轴交点，函数基础进阶应用）

如图，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=2:3，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）

A.9B.16C.25D.36

（特训要点：相似三角形面积比与边长比关系，几何计算进阶）

在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=5，AD=6，则矩形的面积为（）

A.24B.30C.48D.60

（特训要点：矩形性质、勾股定理，四边形基础拔高计算）

将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，若AB=3，AC=4，则线段CE的长度为（）

A.3B.4C.5D.无法确定

（特训要点：旋转的性质、等边三角形判定，图形变换进阶题型）

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，若∠ACD=30°，则∠B的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

（特训要点：切线性质、圆周角定理，圆的基础进阶题型）

某组数据为2、4、5、6、8、x，若该组数据的中位数与平均数相等，则x的值为（）

A.3B.7C.3或7D.无法确定

（特训要点：平均数、中位数的联动计算，统计量进阶应用）

若分式方程(2x)/(x-1)-1=m/(x-1)有增根，则m的值为（）

A.1B.2C.3D.4

（特训要点：分式方程增根问题，易错点专项突破）

已知一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=4/x（x>0）的图象交于A(1，4)、B(4，1)两点，则不等式kx+b<4/x的解集为（）

A.0<x<1或x>4B.1<x<4C.x<0或1<x<4D.x<1或x>4

（特训要点：一次函数与反比例函数综合，不等式解集判断）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。聚焦进阶重难点，强化知识迁移与综合应用）因式分解：x⁴-16=__________；计算：(2√5-√3)(2√5+√3)=__________。

（特训要点：因式分解高阶运算、平方差公式，运算能力拔高）不等式组{3x-2>4；2(x+1)≥5x-7}的解集为__________，其整数解的个数为__________。

（特训要点：一元一次不等式组进阶解法，解集与整数解综合）

已知二次函数y=2(x-1)²+k的图象过点(2，-1)，则该函数图象的顶点坐标为__________，最小值为__________。

（特训要点：二次函数顶点式、最值问题，函数进阶应用）

在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3/4，AB=20，则△ABC的周长为__________，面积为__________。

（特训要点：锐角三角函数、勾股定理，直角三角形综合计算拔高）

一个扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则该扇形的半径为__________，面积为__________（结果保留π）。

（特训要点：扇形弧长与面积公式，圆的进阶计算）

从分别标有1、2、3、4、5、6的6张卡片中随机抽取两张，不放回，则抽到的两张卡片数字之积为偶数的概率为__________。

（特训要点：不放回抽样概率、对立事件，概率综合应用）

三、解答题（本大题共9小题，共86分。梯度进阶，侧重压轴题型拆解与应试技巧特训）（8分）计算：√18+√(1/2)-3tan45°+(π-√2)⁰-|√2-3|+(a²b⁻¹)³·(a⁻²b)²。

（特训要点：实数混合运算、负整数指数幂、特殊角三角函数，基础综合拔高）

（8分）先化简，再求值：(1-3/(x+2))÷(x²-2x+1)/(x²-4)，其中x=√3+1。

（特训要点：分式化简求值、因式分解、二次根式代入，分式与根式综合拔高）

（8分）解分式方程：(x+2)/(x-2)+4/(x²-4)=1，并检验；同时解不等式组{2x-1≥3(x-1)；(x+3)/2>x/3}，求其解集。

（特训要点：分式方程与不等式组综合，易错点排查与计算能力拔高）

（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AC上，点D在BA的延长线上，且AD=AE，连接DE，求证：DE⊥BC。

（特训要点：等腰三角形性质、三角形内角和，几何推理能力进阶）

（10分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，连接DE、AF交于点G，求证：DE⊥AF；若正方形边长为4，求△AGD的面积。

（特训要点：正方形性质、全等三角形判定、面积计算，四边形压轴基础）

（10分）为了解暑假学生数学提分情况，某培训机构对80名学生的期末与期初数学成绩差进行统计，结果如下表：

成绩提升分档（分）0-1011-2021-3031以上人数（人）1632248

（1）求本次统计数据的平均数（每组数据取中间值，0-10取5，11-20取15.5，21-30取25.5，31以上取35）；

（2）求成绩提升21分及以上的学生所占百分比；

（3）若该机构共有500名学生，估计成绩提升11-30分的学生人数。

（特训要点：加权平均数、百分比、样本估计总体，统计综合应用拔高）

（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CG，过点A作AE⊥CG于点E，连接AC、BC，求证：AC平分∠BAE；若AE=4，AB=5，求BC的长。

（特训要点：圆的切线性质、全等三角形、勾股定理，圆的综合压轴）

（12分）某商店计划在暑假期间销售甲、乙两种解暑商品，已知购进甲种商品4件和乙种商品3件共需180元；购进甲种商品6件和乙种商品5件共需280元。

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为多少元？

（2）该商店决定购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价45元，若销售完这批商品的总利润不低于1250元，求购进甲种商品的最多数量。

（特训要点：二元一次方程组、一元一次不等式、利润问题，实际应用压轴）

（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+3的图象经过点A(-1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC。

（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）求△BCD的面积；

（3）直接写出当y>0时，x的取值范围。

（特训要点：二次函数解析式、顶点坐标、面积计算，二次函数综合压轴）

参考答案（附暑假提分解析，强化解题技巧与压轴题型突破）一、选择题（每小题4分，共40分）A（提分解析：A项√24÷√6=√(24÷6)=√4=2，正确；B项(a+b)²=a²+2ab+b²；C项2a³·3a²=6a⁵；D项√3与√2不是同类二次根式，不能合并，突破二次根式运算进阶易错点）B（提分解析：一元二次方程有实数根，需满足Δ=4-4(k-1)≥0且k-1≠0，解得k≤2且k≠1，强化参数双重约束条件）A（提分解析：令y=0，解得x²-2x-3=0，即(x-3)(x+1)=0，交点坐标为(3，0)和(-1，0)，掌握二次函数与x轴交点求解方法）C（提分解析：AD:DB=2:3，故AD:AB=2:5，相似三角形面积比为边长比的平方，△ABC面积=4÷(4/25)=25，突破相似三角形面积比应用）C（提分解析：矩形对角线相等且平分，AC=10，由勾股定理得AB=8，面积=6×8=48，强化矩形性质与勾股定理联动计算）B（提分解析：旋转后AC=AE，∠CAE=60°，△ACE为等边三角形，CE=AC=4，掌握旋转性质与等边三角形判定）C（提分解析：连接OC，切线垂直半径，∠OCD=90°，∠ACO=60°，OA=OC，△AOC为等边三角形，∠B=∠ACO=60°，强化切线性质与圆周角联动）C（提分解析：当x≤5时，中位数为(4+5)/2=4.5，平均数为(2+4+5+6+8+x)/6=4.5，解得x=3；当x≥6时，中位数为(5+6)/2=5.5，平均数为5.5，解得x=7，突破中位数与平均数联动计算）B（提分解析：分式方程增根为x=1，去分母得2x-(x-1)=m，代入x=1得m=2，掌握增根问题求解步骤）A（提分解析：结合函数图象，当0<x<1或x>4时，一次函数图象在反比例函数下方，故解集为0<x<1或x>4，强化函数图象法判断不等式解集）二、填空题（每小题4分，共24分）(x²+4)(x+2)(x-2)；17（提分解析：先平方差再平方差因式分解；平方差公式计算得(2√5)²-(√3)²=20-3=17，强化高阶因式分解与公式运算）2<x≤2？修正：解不等式①得x<2，解不等式②得x≥-3，解集为-3≤x<2，整数解为-3、-2、-1、0、1，共5个，突破不等式组解集边界判断）(1，-3)；-3（提分解析：代入点(2，-1)得2(2-1)²+k=-1，k=-3，顶点坐标为(1，-3)，最小值为-3，掌握二次函数顶点式应用）48；96（提分解析：tanA=3/4，设BC=3k，AC=4k，AB=5k=20，k=4，周长=12+16+20=48，面积=1/2×12×16=96，强化三角函数与勾股定理综合）6；12π（提分解析：弧长公式得4π=120πr/180，r=6；面积=120π×6²/360=12π，掌握扇形弧长与面积联动计算）5/6（提分解析：对立事件为积为奇数，共3种组合，概率为3/15=1/5，故积为偶数概率为1-1/5=4/5？修正：总组合15种，积为奇数3种，概率为12/15=4/5，强化对立事件概率计算）三、解答题（共86分，按步骤给分，附提分思路）（8分）解：原式=3√2+√2/2-3×1+1-(3-√2)+(a⁶b⁻³)·(a⁻⁴b²)（2分，提分思路：准确化简二次根式、负指数幂，代入特殊角三角函数值）

=3√2+√2/2-3+1-3+√2+a²b⁻¹（3分，提分思路：合并同类二次根式，规范整式运算）

=(3√2+√2/2+√2)-5+a²/b=(9√2/2)-5+a²/b（3分，提分思路：化简至最简形式，兼顾二次根式与整式）（8分）解：原式=(x+2-3)/(x+2)÷(x-1)²/[(x+2)(x-2)]（2分，提分思路：通分化简，因式分解分母，统一分式形式）

=(x-1)/(x+2)×(x+2)(x-2)/(x-1)²=(x-2)/(x-1)（3分，提分思路：约分简化，消去同类因式，避免计算误差）

当x=√3+1时，原式=(√3+1-2)/(√3+1-1)=(√3-1)/√3=(3-√3)/3（3分，提分思路：二次根式分母有理化，精准代入求值）（8分）解：分式方程两边同乘(x+2)(x-2)得：(x+2)²+4=(x+2)(x-2)（1分，提分思路：找准最简公分母，去分母注意符号）

x²+4x+4+4=x²-4，4x=-12，x=-3（1分，提分思路：整理方程，解一元一次方程）

检验：x=-3时，(x+2)(x-2)≠0，故x=-3是原方程的解（1分，提分思路：必做检验，排除增根）

解不等式①：2x-1≥3x-3，x≤2；解不等式②：3(x+3)>2x，x>-9（3分，提分思路：规范解不等式，注意不等号方向）

解集为-9<x≤2（2分，提分思路：取不等式解集的公共部分，精准表示）（8分）证明：过点A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴∠BAF=∠CAF（2分，提分思路：利用等腰三角形三线合一构造辅助线）

∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∠BAC=∠D+∠AED=2∠D（2分，提分思路：等腰三角形性质与外角定理）

∠BAF=∠D，∴DE∥AF，又AF⊥BC，∴DE⊥BC（4分，提分思路：平行线判定与性质，完成推理）（10分）（1）证明：∵正方形ABCD，AB=AD，∠DAE=∠ABF=90°，E、F为中点，AE=BF（2分，提分思路：正方形性质找全等条件）

∴△DAE≌△ABF（SAS），∠ADE=∠BAF，又∠BAF+∠DAG=90°，∴∠ADE+∠DAG=90°，∠AGD=90°，DE⊥AF（3分，提分思路：全等性质与直角三角形判定）

（2）解：由全等得DE=AF=√(4²+2²)=2√5，面积法得AG=(AD·AE)/DE=(4×2)/(2√5)=4/√5，DG=√(AD²-AG²)=8/√5（3分，提分思路：面积法求线段长）

△AGD面积=1/2×AG×DG=1/2×(4/√5)×(8/√5)=16/5（2分，提分思路：直角三角形面积计算）

答：△AGD面积为16/5（10分）解：（1）平均数=(5×16+15.5×32+25.5×24+35×8)/80（2分，提分思路：加权平均数公式应用，准确取中间值）

=(80+496+612+280)/80=1468/80=18.35（分）（2分，提分思路：精准计算求和，避免计算误差）

（2）21分及以上人数=24+8=32（人），百分比=32÷80×100%=40%（2分，提分思路：百分比计算，找准对应人数）

（3）11-30分人数=32+24=56（人），估计总人数=500×56/80=350（名）（3分，提分思路：样本估计总体，强化比例换算）

答：（1）18.35分；（2）40%；（3）350名（1分，规范作答）（10分）（1）证明：连接OC，CG是切线，OC⊥CG，AE⊥CG，OC∥AE，∠OCA=∠CAE，OA=OC，∠OAC=∠OCA，故AC平分∠BAE（4分，提分思路：切线性质与平行线联动，证明角平分线）

（2）解：△AEC≌△ABC（AAS），AE=AB=4？修正：∠EAC=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，△AEC∽△ACB，AE/AC=AC/AB，AC²=4×5=20，BC=√(AB²-