数字信号处理教程试题及答案

数字信号处理教程试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1.下列关于离散时间信号的描述，错误的是（）A.单位冲激序列δ(n)仅在n=0时取值为1，其余时刻为0B.阶跃序列u(n)在n≥0时取值为1，n<0时为0C.正弦序列x(n)=sin(ωn)一定是周期序列D.指数序列x(n)=aⁿu(n)的收敛性与|a|有关2.已知线性时不变（LTI）系统的冲激响应h(n)=δ(n-2)，则输入x(n)=u(n)时，输出y(n)为（）A.u(n-2)B.u(n+2)C.δ(n-2)D.δ(n)3.离散时间傅里叶变换（DTFT）的周期性表现为（）A.频率ω以2π为周期重复B.时间n以N为周期重复C.幅度谱以π为周期重复D.相位谱无周期性4.因果稳定的LTI系统的Z变换H(z)满足（）A.所有极点位于单位圆内，且收敛域包含单位圆B.所有零点位于单位圆内，收敛域包含单位圆C.极点可位于单位圆外，只要收敛域包含单位圆D.零点必须位于单位圆上5.关于IIR滤波器和FIR滤波器的对比，正确的是（）A.IIR滤波器一定具有线性相位B.FIR滤波器的单位冲激响应是无限长的C.IIR滤波器可通过模拟滤波器转换设计D.FIR滤波器无法实现因果系统6.若模拟信号xₐ(t)的最高频率为10kHz，根据奈奎斯特采样定理，最小采样频率fₛ应为（）A.5kHzB.10kHzC.20kHzD.40kHz7.已知序列x(n)的Z变换为X(z)=z/(z-0.5)（|z|>0.5），则x(n)为（）A.0.5ⁿu(n)B.0.5ⁿu(-n-1)C.2ⁿu(n)D.2ⁿu(-n-1)8.对长度为N的序列进行N点DFT，其物理意义是（）A.计算序列在单位圆上N个等间隔点的Z变换B.计算序列的连续时间傅里叶变换C.对序列进行时域周期延拓后取主值D.直接得到序列的频谱分辨率为2π/N9.设计FIR滤波器时，若要求线性相位，则其单位冲激响应h(n)需满足（）A.h(n)=h(N-1-n)或h(n)=-h(N-1-n)B.h(n)必须为偶对称C.h(n)的长度必须为奇数D.h(n)的Z变换极点必须成对出现10.下列关于窗函数法设计FIR滤波器的描述，错误的是（）A.窗函数的主瓣宽度影响滤波器的过渡带宽度B.旁瓣衰减影响滤波器的阻带衰减C.矩形窗的主瓣最窄，旁瓣衰减最大D.汉明窗的旁瓣衰减比矩形窗更优二、填空题（每题2分，共20分）1.离散时间信号x(n)=3δ(n-1)+2δ(n+2)的能量为__________。2.线性时不变系统的两个重要性质是__________和__________。3.序列x(n)=cos(0.3πn)的周期N=__________（要求最小正整数）。4.离散时间傅里叶变换（DTFT）的公式为X(e^jω)=__________。5.已知H(z)=z/(z-0.8)（|z|>0.8），则其频率响应H(e^jω)=__________。6.模拟角频率Ω与数字角频率ω的关系为__________（设采样频率为fₛ）。7.若序列x(n)的Z变换收敛域为0.5<|z|<2，则x(n)是__________序列（填“左边”“右边”或“双边”）。8.巴特沃斯模拟滤波器的幅频特性在通带内最__________（填“平坦”或“陡峭”）。9.对长度为8的序列进行8点DFT，其频率分辨率Δf=__________（设采样频率为fₛ）。10.FIR滤波器的单位冲激响应长度为N，若满足h(n)=h(N-1-n)，则其相位特性为__________（填“线性”或“非线性”）。三、判断题（每题1分，共10分）1.所有周期序列的DTFT都是离散的冲激串。（）2.因果系统的冲激响应h(n)在n<0时必须为0。（）3.Z变换的收敛域是环状区域，且不包含极点。（）4.IIR滤波器的系统函数H(z)是有理分式，分子分母均为z的多项式。（）5.欠采样会导致频谱混叠，因此采样频率必须严格大于信号最高频率的2倍。（）6.序列x(n)和y(n)的卷积的DTFT等于各自DTFT的乘积。（）7.DFT是对DTFT的等间隔采样，采样点数越多，频率分辨率越高。（）8.设计FIR滤波器时，增加窗函数长度可减小过渡带宽度。（）9.稳定系统的Z变换收敛域必须包含单位圆。（）10.数字信号处理中，信号的存储和传输需要经过采样、量化和编码三个步骤。（）四、计算题（每题10分，共30分）1.已知序列x(n)=aⁿu(n)+bⁿu(-n-1)（|a|<1，|b|>1），求其Z变换X(z)并确定收敛域。2.设计一个二阶巴特沃斯数字低通滤波器，要求通带截止频率fₚ=1kHz，阻带截止频率fₛ=2kHz，通带最大衰减αₚ=3dB，阻带最小衰减αₛ=15dB，采样频率fₛ=8kHz。（提示：巴特沃斯滤波器的幅频平方函数为|Hₐ(jΩ)|²=1/(1+(Ω/Ωₚ)²N)）3.对序列x(n)={1,2,3,4}（n=0,1,2,3）进行4点DFT，计算其频域序列X(k)（k=0,1,2,3）。五、综合分析题（每题10分，共20分）1.某模拟信号xₐ(t)=cos(2π×1000t)+cos(2π×3000t)，采样频率fₛ=4000Hz。（1）计算采样后的数字信号x(n)=xₐ(nT)（T=1/fₛ）的表达式；（2）分析采样后信号的频谱是否发生混叠，并说明理由；（3）若希望无混叠采样，最小采样频率应为多少？2.已知FIR滤波器的单位冲激响应h(n)={0.1,0.2,0.4,0.2,0.1}（n=0,1,2,3,4）。（1）判断该滤波器是否具有线性相位，并说明理由；（2）计算其频率响应H(e^jω)的表达式；（3）分析该滤波器的幅频特性（低通、高通或带通）。参考答案及解析一、选择题1.答案：C解析：正弦序列x(n)=sin(ωn)的周期性要求ω=2πk/N（k,N为整数，N>0），若ω不满足此关系，则序列非周期。2.答案：A解析：LTI系统的输出为输入与冲激响应的卷积，即y(n)=x(n)h(n)=u(n)δ(n-2)=u(n-2)。3.答案：A解析：DTFT的频率ω以2π为周期，即X(e^j(ω+2π))=X(e^jω)。4.答案：A解析：因果系统的极点需在收敛域的内部（即收敛域为|z|>r，r为最大极点模值），稳定系统要求收敛域包含单位圆（|z|=1），因此极点必须位于单位圆内。5.答案：C解析：IIR滤波器常用模拟滤波器转换法（如双线性变换法）设计；FIR滤波器可通过窗函数法等设计，且可保证线性相位；IIR滤波器无固定相位特性，FIR滤波器的冲激响应是有限长的。6.答案：C解析：奈奎斯特采样定理要求fₛ≥2fₘₐₓ，本题fₘₐₓ=10kHz，故fₛ≥20kHz。7.答案：A解析：X(z)=z/(z-0.5)=1/(1-0.5z⁻¹)，对应右边序列的Z变换，收敛域|z|>0.5，故x(n)=0.5ⁿu(n)。8.答案：A解析：DFT是对DTFT在ω=2πk/N（k=0,1,…,N-1）处的采样，即单位圆上N个等间隔点的Z变换。9.答案：A解析：线性相位FIR滤波器的冲激响应需满足偶对称（h(n)=h(N-1-n)）或奇对称（h(n)=-h(N-1-n)）。10.答案：C解析：矩形窗的主瓣最窄，但旁瓣衰减最小（约-13dB），汉明窗的旁瓣衰减更优（约-42dB）。二、填空题1.答案：13解析：能量E=Σ|x(n)|²=3²+2²=9+4=13。2.答案：叠加性；时不变性3.答案：20解析：周期N满足0.3πN=2πk（k为整数），最小N=20（k=3）。4.答案：Σₙ=-∞^∞x(n)e^(-jωn)5.答案：e^jω/(e^jω-0.8)解析：频率响应H(e^jω)=H(z)|_{z=e^jω}=e^jω/(e^jω-0.8)。6.答案：ω=ΩT=Ω/fₛ（T为采样间隔，T=1/fₛ）7.答案：双边解析：收敛域为环状（r₁<|z|<r₂），对应双边序列。8.答案：平坦9.答案：fₛ/8解析：DFT的频率分辨率Δf=fₛ/N=8点时Δf=fₛ/8。10.答案：线性三、判断题1.×解析：周期序列的DTFT是离散的冲激串，但仅当序列为严格周期时成立，若序列有限长则DTFT连续。2.√解析：因果系统的定义是n<0时h(n)=0，输出仅依赖当前及过去的输入。3.√解析：Z变换的收敛域是环状区域（或延伸至无穷大），且不包含极点（极点处Z变换发散）。4.√解析：IIR滤波器的系统函数H(z)=B(z)/A(z)，其中A(z)、B(z)为z的多项式，故为有理分式。5.×解析：奈奎斯特采样定理要求fₛ≥2fₘₐₓ，等于时可能刚好无混叠（理想带限信号），但实际中通常取fₛ>2fₘₐₓ。6.√解析：DTFT的卷积性质：x(n)*y(n)↔X(e^jω)Y(e^jω)。7.√解析：DFT的频率分辨率Δf=fₛ/N，N越大，Δf越小，分辨率越高。8.√解析：窗函数长度增加，主瓣宽度减小，对应滤波器的过渡带宽度减小。9.√解析：稳定系统的冲激响应绝对可和，即Σ|h(n)|<∞，等价于Z变换收敛域包含单位圆（|z|=1）。10.√四、计算题1.解：x(n)由两部分组成：右边序列aⁿu(n)和左边序列bⁿu(-n-1)。右边序列aⁿu(n)的Z变换为X₁(z)=1/(1-az⁻¹)=z/(z-a)，收敛域|z|>|a|（因|a|<1，故|z|>a）。左边序列bⁿu(-n-1)的Z变换为X₂(z)=-1/(1-bz⁻¹)=-z/(z-b)，收敛域|z|<|b|（因|b|>1，故|z|<b）。因此，X(z)=X₁(z)+X₂(z)=z/(z-a)-z/(z-b)=z(b-a)/[(z-a)(z-b)]，收敛域为|a|<|z|<|b|（因|a|<1<|b|，故收敛域为a<|z|<b）。2.解：（1）将数字频率转换为模拟频率（双线性变换法）：数字通带截止频率ωₚ=2πfₚ/fₛ=2π×1000/8000=π/4rad；数字阻带截止频率ωₛ=2π×2000/8000=π/2rad。预畸变后的模拟角频率：Ωₚ=(2/T)tan(ωₚ/2)=2×8000×tan(π/8)≈2×8000×0.4142≈6627.2rad/s（T=1/fₛ=1/8000s）；Ωₛ=(2/T)tan(ωₛ/2)=2×8000×tan(π/4)=2×8000×1=16000rad/s。（2）确定滤波器阶数N：由巴特沃斯幅频平方公式，阻带衰减αₛ=10lg[1+(Ωₛ/Ωₚ)²N]≥15dB，即(Ωₛ/Ωₚ)²N≥10^(αₛ/10)-1=10^(1.5)-1≈29.12，代入Ωₛ/Ωₚ=16000/6627.2≈2.414，则(2.414)²N≥29.12→2N≥ln(29.12)/ln(2.414)≈3.37→N≥1.68，取N=2。（3）设计模拟巴特沃斯滤波器：二阶巴特沃斯滤波器的系统函数为Hₐ(s)=1/[s²+√2Ωₚs+Ωₚ²]（Ωₚ为3dB截止频率，此处Ωₚ=6627.2rad/s）。（4）双线性变换转换为数字滤波器：s=(2/T)(z-1)/(z+1)=16000(z-1)/(z+1)，代入Hₐ(s)得H(z)=1/[s²+√2Ωₚs+Ωₚ²]，展开后化简得到H(z)的具体表达式（略，最终结果需代入数值计算）。3.解：4点DFT的公式为X(k)=Σₙ=0³x(n)W₄^(kn)，其中W₄=e^(-j2π/4)=e^(-jπ/2)=-j。计算各k值：k=0：X(0)=1+2+3+4=10；k=1：X(1)=1×W₄⁰+2×W₄¹+3×W₄²+4×W₄³=1+2×(-j)+3×(-1)+4×j=(1-3)+(-2j+4j)=-2+2j；k=2：X(2)=1×W₄⁰+2×W₄²+3×W₄⁴+4×W₄⁶=1+2×(-1)+3×1+4×(-1)=1-2+3-4=-2；k=3：X(3)=1×W₄⁰+2×W₄³+3×W₄⁶+4×W₄⁹=1+2×j+3×(-1)+4×(-j)=(1-3)+(2j-4j)=-2-2j。因此，X(k)={10,-2+2j,-2,-2-2j}。五、综合分析题1.解：（1）x(n)=xₐ(nT)=cos(2π×1000×n/4000)+cos(2π×3000×n/4000)=cos(0.5πn)+cos(1.5πn)。（2）原信号最高频率fₘₐ