2026年高考数学复习讲义专题09 正余弦定理在解三角形中的综合应用（原卷版）

专题09正余弦定理在解三角形中的综合应用

目录

01析·考情精解

02构·知能框架

03破·题型攻坚

考点正余弦定理在解三角形中的综合应用

真题动向

知识点1正弦定理

必备知识知识点2余弦定理

知识点3三角形面积公式

题型1正、余弦定理解三角形

题型2三角形解个数问题

题型3判断三角形形状

题型4三角形面积问题

题型5三角形边长最值问题

命题预测

题型6三角形角度最值问题

题型7三角形中线问题

题型8三角形角平分线问题

题型9解三角形与三角恒等变换

题型10解三角形实际应用

命题轨解三角形是上海卷数学的核心考点，每年必考1题，主要以选择题、中档解答题形式呈现。高频

考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。

迹透视

考点2025年2024年2023年

考点频

正余弦定理在解三上海卷T8，5分

次总结上海卷T11，5分

角形中的综合应用

预计在2026年高考中，运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关

2026命

的实际问题.利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题仍是考查的重点。结合三

题预测角恒等变换与三角函数图象与性质、解三角形的题目多以解答题形式出现，分值为10分。

考点正余弦定理在解三角形中的综合应用

1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BCCD,存在点A满足

BAC16.5,DAC37，则BCA(精确到0.1度)

2．（2023·上海·高考真题）在VABC中，已知a4，b5，c6，则sinA．

知识点1正弦定理

1正弦定理的描述

①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

abc

②符号语言：在ABC中，若角A、B及C所对边的边长分别为a，b及c，则有

sinAsinBsinC

2正弦定理的推广及常用变形公式

在ABC中，若角A、B及C所对边的边长分别为a，b及c，其外接圆半径为R，则

abc

①2R

sinAsinBsinC

asinBbsinA；bsinCcsinB；asinCcsinA；

③sinA:sinB:sinCa:b:c

abcabcabacbc

④2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinAsinBsinAsinCsinBsinC

⑤a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC（可实现边到角的转化）

abc

⑥sinA，sinB，sinC（可实现角到边的转化）

2R2R2R

知识点2余弦定理

1余弦定理的描述

①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两

倍.

②符号语言：在ABC中，内角A,B,C，所对的边分别是a,b,c,则：

a2b2c22bccosA；

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

2余弦定理的推论

b2c2a2

cosA；

2bc

a2c2b2

cosB；

2ac

a2b2c2

cosC

2ab

知识点3三角形面积公式

1

①S底高；

2

111

②S=absinCacsinBbcsinA；

222

1

③S(abc)r（其中，a,b,c是三角形ABC的各边长，r是三角形ABC的内切圆半径）；

2

abc

④S(其中，a,b,c是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径).

4R

【易错提醒】常用结论

在三角形中的三角函数关系

①sin(AB)sinC

②cos(AB)cosC

③tan(AB)tanC

ABC

④sin()cos

22

ABC

⑤cos()sin

22

⑥若sinAsinBAB

⑦若sin2Asin2BAB或AB

2

题型1正、余弦定理解三角形

3

1．VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a6，c2，sinA，则sinC（）

4

1111

A．B．C．D．

3456

3

2．在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，AB2，AC3，cosA，则a（）

4

A．1B．2C．3D．4

o

3．在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2，b3，A45，则B（）

A．30oB．60oC．120D．60o或120

题型2三角形解个数问题

4．在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A．b6,A60,C45B．b15,c6,B60

C．a3,b2,A45D．a8,b4,A80

π

5．已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b6，A，若VABC有两解，则a的取值范围为（）

3

A．33,B．3,33C．3,D．33,6

6．在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A．a5,A40,B75B．a4,b5,c6

C．a3,b4,A30D．a2,c2,C60

7．在VABC中，a，b分别为内角A，B所对的边，b5，B30，若VABC有两解，则a的取值范围为

（）

A．(0,5)B．(0,5]C．(5,10)D．(10,)

题型3判断三角形形状

8．在VABC中，a2bcosC，则VABC的形状是（）.

A．直角三角形B．底边为BC的等腰三角形

C．底边为AC的等腰三角形D．底边为AB的等腰三角形

9．在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，则“a2b2abc2”是“VABC为等边三角形”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

Abc

10．在VABC中，cos2（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则VABC的形状为（）

22c

A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形

C．等腰直角三角形D．正三角形

11．在VABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosBbcosAc，则VABC的形状是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

题型4三角形面积问题

12．在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a是函数f(x)x2x12的一个零点，bc8，且

3

cosA，则VABC的面积为（）

5

A．6B．12C．24D．48

13．在VABC中，已知AB(1,3)，BC(2,23)，则VABC的面积为（）

A．23B．4C．33D．43

3

14．在VABC中，BC8，AC10，cosACB，则VABC的面积为（）．

5

A．8B．16C．32D．64

737

15．在VABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bc14，cosB，cosC，则VABC的

48

面积是（）

157157

A．B．C．9D．18

48

题型5三角形边长最值问题

16．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角B的内角平分线长为3，若

π

B，则a2c的最小值为（）

3

A．6B．223C．322D．323

17．在VABC中，若cos2Acos2B2sin2C，且VABC的面积为2，则VABC周长的最小值为（）

A．422B．422C．422D．422

7

18．记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c4，cosA，若VABC有两解，则a的取值

4

范围是（）

A．(4,)B．(3,)C．(3,4)D．[3,4)

2π

19．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知角B的内角平分线长为1，若B，则a2c的最

3

小值为（）

A．6B．322C．223D．323

题型6三角形角度最值问题

20．在VABC中，A、B、C分别为边a、b、c所对的内角，若a、b、c成等比数列，则角B的范围是（）

ππππ

A．0BB．0BC．0BD．Bπ

4322

21．在VABC中，5ABAC3BABC2CACB，则cosC的最小值为（）

321015

A．B．C．D．

3555

22．在VABC中，向量ACBC与向量AC3BC垂直，则cosC4sinAcosB的最大值为（）

A．2B．3C．23D．27

23．在VABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b4，a2c，D为AC的中点，则cosADB

的最小值为（）

3732

A．B．C．D．

5544

24．在锐角VABC中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若aabc2，则A的取值范围是（）

A．0,B．,C．,D．,

4646343

题型7三角形中线问题

2

25．在VABC中，BAC，AD是BAC的平分线，BD2CD，AB3，则sinABC（）

3

212136

A．B．C．D．

14744

1

26．已知在VABC中，AB4，AC6，cosB.若VABC的角平分线AD交边BC于点D，则AD（）

8

12839

A．B．C．D．32

555

2π

27．在VABC中，BAC，BAC的角平分线AD交BC于点D，若CD6AB，则tanABC（）

3

12

A．B．C．1D．2

23

题型8三角形角平分线问题

π

28．在VABC中，AB2,AC1,BAC,BAC的角平分线交BC于D，则AD（）

3

32343

A．B．C．3D．

333

2

29．在VABC中，BAC，AD是BAC的平分线，BD2CD，AB3，则sinABC（）

3

212136

A．B．C．D．

14744

30．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角B的内角平分线长为3，若

π

B，则a2c的最小值为（）

3

A．6B．223C．322D．323

31．在VABC中，BAC的平分线交BC于点D，若ADAC3,CD2，则BD（）

41018

A．B．2C．D．

335

题型9解三角形与三角恒等变换

1sinAa2b2

32．记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知tanC，则的取值范围是（）

cosAc2

A．3,2B．3,1C．3,0D．3,1

sinAsinBsinC

33．在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，D为边BC的中点，AD1，

bcab

则2bc的取值范围是（）

A．4,4B．4,4C．2,4D．2,4

ππ2asinA

34．已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A，若baac，则

64bcosAacosB

的取值范围是（）

23

A．0,B．0,

22

1213

C．,D．,

2222

211

35．在锐角VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c2bca20，则4sinCcosC

tanCtanA

的取值范围为（）

83

A．42,9B．8,9C．4,9D．234,9

3

36．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2c23acb2，则cosAsinC的

取值范围为（）

333

A．,B．,3

222

13