2026年数学基础知识复习题

2026年数学基础知识复习题一、选择题（每题3分，共30分）1.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∩B等于（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.43.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0平行，则a的值为（）A.-2B.1C.-2或1D.04.某校高二年级学生身高（单位：cm）服从正态分布N(170,5²)，若随机抽取一名学生，其身高超过175cm的概率约为（）A.0.1587B.0.3413C.0.8413D.0.68265.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为7的概率是（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/186.已知点A(1,2)，点B(3,0)，则点A关于直线x-y+1=0的对称点B'的坐标是（）A.(1,4)B.(4,1)C.(2,3)D.(3,2)7.在等差数列{aₙ}中，若a₅=10，a₁₀=25，则该数列的通项公式为（）A.aₙ=3n-8B.aₙ=5n-20C.aₙ=2n+3D.aₙ=n+58.已知圆O的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，则该圆的圆心坐标和半径分别为（）A.(2,-3)，4B.(-2,3)，4C.(2,-3)，√10D.(-2,3)，√109.若函数f(x)=sin(ωx+φ)在x=π/4处取得最大值，且周期为π，则φ的可能取值为（）A.π/4B.3π/4C.π/2D.010.已知△ABC的三边长分别为3，4，5，则其面积等于（）A.6B.12C.15D.30二、填空题（每空4分，共40分）1.若复数z=(2+3i)/(1-i)，则z的实部与虚部分别为________和________。2.不等式|x-1|<2的解集为________。3.抛掷三枚质地均匀的硬币，恰好出现两枚正面的概率是________。4.已知直线l₁:y=kx+1与直线l₂:y=-x+4相交于点P，且∠OPP₁=45°（O为原点，P₁在x轴上），则k的值为________。5.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c的值为________。6.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n，则该数列的通项公式aₙ为________（n≥1）。7.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为________。8.已知圆C₁:x²+y²=1与圆C₂:(x-2)²+(y-3)²=r²外切，则r的值为________。9.在等比数列{bₙ}中，若b₁=1，b₄=16，则该数列的公比q为________。10.已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(3,-1)，则向量⃗a×⃗b的模长为________。三、解答题（共90分）1.（10分）解不等式组：{x²-4x+3>0{x-1/x+1<02.（12分）已知函数f(x)=x³-3x²+2。（1）求f(x)的极值点；（2）若f(x)在区间[a,b]上单调递减，求a和b的取值范围。3.（12分）在△ABC中，已知a=√3，b=1，C=120°。（1）求c的值；（2）若D是BC边上的中点，求AD的长度。4.（15分）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=4n²-n。（1）求a₁和aₙ（n≥2）；（2）证明{aₙ}是等差数列；（3）求该数列的前10项和。5.（15分）已知圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0。（1）求圆C的圆心坐标和半径；（2）过点P(1,2)作圆C的两条切线，求切线方程；（3）求圆C上到直线l:3x-4y+5=0距离最短的点的坐标。6.（15分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)，其中ω>0，φ为常数。（1）若f(x)的最小正周期为π，求ω；（2）若f(π/4)=√2/2，求φ的值；（3）求f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。7.（15分）已知向量⃗u=(2cosα,sinα)，⃗v=(cosα,2sinα)，且|⃗u-⃗v|=√5。（1）求cos²α的值；（2）若α为锐角，求α的值；（3）求向量⃗u•⃗v的值。答案与解析一、选择题答案1.C2.C3.A4.A5.A6.B7.A8.D9.A10.A一、选择题解析1.解：A={1,2}，B={-3,2}，∴A∩B={2}，故选C。2.解：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为3，故选C。3.解：l₁与l₂平行⇔a(a+1)=-2⇔a=-2，故选A。4.解：P(X>175)=P(Z>(175-170)/5)=P(Z>1)≈0.1587，故选A。5.解：总情况36种，和为7的情况(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，概率1/6，故选A。6.解：设B'(x',y')，则(x'+1)/2=3，(y'+2)/2=0⇔x'=4，y'=1，故选B。7.解：{aₙ=a₅+(n-5)d⇔10+(n-5)d=25⇔d=3⇔aₙ=1+3(n-1)=3n-2，故选A。8.解：圆方程(x-2)²+(y+3)²=10²，圆心(2,-3)，半径√10，故选D。9.解：f(x)最大值⇔ω(π/4)+φ=π/2+2kπ⇔φ=π/4+2kπ-ωπ/4，k∈Z，取k=0得φ=π/4，故选A。10.解：由海伦公式s=(3+4+5)/2=6，面积S=√6(6-3)(6-4)(6-5)=6，故选A。二、填空题答案1.5/2，3/22.(-1,3)3.3/84.-15.√76.4n-57.(-∞,0)∪(2,+∞)8.√269.210.√10二、填空题解析1.解：z=(2+3i)/(1-i)×(1+i)=(5+5i)/2=5/2+3/2i，故实部5/2，虚部3/2。2.解：|x-1|<2⇔-2<x-1<2⇔-1<x<3，故解集(-1,3)。3.解：总情况8种，两正一反有3种(正正反，正反正，反正正)，概率3/8，故填3/8。4.解：P(∠OPP₁=45°)⇔k=-1⇔直线l₁与l₂垂直，故k=-1。5.解：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC⇔c²=9+16-12⇔c=√7，故填√7。6.解：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n²-3n-[2(n-1)²-3(n-1)]=4n-5(n≥2)，a₁=S₁=-1，故aₙ=4n-5。7.解：x²-2x+1>0⇔(x-1)²>0⇔x≠1，故定义域(-∞,1)∪(1,+∞)。8.解：圆心距√(2²+3²)=√13，外切⇔r+1=√13⇔r=√13-1，故填√13-1。9.解：b₄=b₁q³⇔16=1q³⇔q=2，故填2。10.解：⃗a×⃗b=(1×(-1)-2×3)⇔(-7,5)，|⃗a×⃗b|=√49+25=√74≈8.6，故填√74。三、解答题解析1.解：解x²-4x+3>0⇔(x-1)(x-3)>0⇔x<1或x>3；解x-1/x+1<0⇔(x-1)(x+1)<0⇔-1<x<1；联立得-1<x<1，故解集(-1,1)。2.解：（1）f'(x)=3x²-6x⇔3x(x-2)=0⇔x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-4，极值点x=0(极小)，x=2(极大)。（2）f(x)单调递减⇔f'(x)≤0⇔x²-2x≤0⇔0≤x≤2，∴a≥0，b≤2，故a∈[0,+∞)，b∈(-∞,2]。3.解：（1）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC⇔c²=3+1-2√3×1×(-1/2)⇔c²=4⇔c=2。（2）D为BC中点⇔BD=1/2×BC=1，由中线定理AD²=a²+b²+2BD²-2×(a×b)cosC⇔AD²=3+1+2-3=3⇔AD=√3。4.解：（1）a₁=S₁=4-1=3，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n²-n-[4(n-1)²-(n-1)]⇔aₙ=8n-5(n≥2)。（2）验证aₙ-aₙ₋₁=(8n-5)-(8(n-1)-5)=8，∴{aₙ}是公差为8的等差数列。（3）前10项和S₁₀=10/2×(a₁+a₁₀)=5×(3+75)=390。5.解：（1）圆方程(x-2)²+(y+3)²=10²，圆心(2,-3)，半径10。（2）设切线方程y-2=k(x-1)⇔kx-y-k+2=0，距离d=|2k+3-k+2|/√(k²+1)=10⇔|k+5|=10√(k²+1)⇔k=-4/3，切线方程4x+3y-10=0或x=1。（3）圆心到l距离d=|6+12+5|/√(9+16)=13/5，最短点在(2,-3)沿l法向量方向移动13/5，新点坐标(2-13/5×4/5,-3-13/5×3/5)=(31/25,-84/25)。6.解：（1）周期T=2π/ω⇔π=2π/ω⇔ω=2。（2）f(π/4)=sin(π/2+φ)+cos(π/4+φ)=√2/2⇔sinφ+cosφ=√2/2⇔φ=π/4。（3）f(x)=√2sin(2x+π/4+π/4)=√2sin(2x+π/2)=√2cos2x，在[0,π]上，cos2x取值[-1,1]，∴f(x)取