浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题（解析版）

第第页浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线y2a2-xA．3 B．33 C．3 D．【答案】A【解析】【解答】解：易知c2=4，b2=1，由a2故答案为：A.【分析】由题意，根据双曲线中c22．扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（）A．1 B．32 C．3 【答案】C【解析】【解答】解：设扇形的圆心角为α，由扇形面积为6，可得S=12α⋅故答案为：C.【分析】设扇形的圆心角为α，根据扇形面积公式计算即可.3．已知随机变量ξ~N3,4，则“a=3”是“PA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】解：随机变量ξ~N3,4，若a=3，则Pξ<3=12，即充分性成立；

若Pξ<a=12故答案为：C.【分析】根据正态曲线的对称性结合充分、必要条件的定义判断即可.4．若向量a,b满足b=3，aA．−12b B．−13b【答案】D【解析】【解答】解：向量a,b满足b=3，a⋅b故答案为：D.【分析】利用投影向量公式求解即可.5．已知数列an满足an=an+1A．2,4 B．1,3 C．3,5 D．5,9【答案】B【解析】【解答】解：设a4=m，则由an=a则a1故答案为：B.【分析】设a4=m，由题意，将m把6．某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值x和方差s2A．x=9.5，s2C．x=9.5，s2【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：平均值x=方差s故答案为：D.【分析】由题意，根据分层随机抽样的平均值、方差计算公式计算即可.7．已知函数fx=sinA．y=fx−gx与y=fx C．y=ffx与y=fgx 【答案】C【解析】【解答】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，A、fx所以，函数y=fx−gx的振幅为2，函数y=f所以，这两个函数的振幅不相等，故y=fx−gxB、fxfx函数y=fx2−gx2所以，y=fx2C、因为ffx=将函数y=ffx的图象向左平移π2D、gf函数y=ffx与故答案为：C.【分析】分析可知，若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，可判断AB选项；利用三角函数图象变换可判断CD选项.8．一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（）（加工过程中不计损耗）A．710 B．34 C．1 【答案】C【解析】【解答】解：记圆台的上底面圆心为O1，下底面圆心为O，棱台为ABCD−A当棱台最大时，上下边之比为48=12，不妨设则球在BCC记B1C1中点为N，BC中点为M设球半径最大为r，球心为T，如图所示：

球与PQ，NQ设∠MNQ=2β，∠PQN=2α，则tan2α=即NQ=72=rcotα+cotβ故答案为：C.【分析】记圆台的上底面圆心为O1，下底面圆心为O，棱台为ABCD−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知二项展开式1-x2025A．a0=1 C．a1+a【答案】A,C,D【解析】【解答】解：1-x2025=a0+a1B、令x=1，可得a0+因为a0=1，所以C、1-x2025展开式的通项为Tk+1=C2025k-xk，D、令x=−1，则22025=①+②可得：22024故答案为：ACD.【分析】令x=0求解即可判断A；令x=1即可判断B；写出1-x2025展开式的通项计算即可判断C；令x=−110．在四棱锥P-ABCD中，E，F分别是AP，BC上的点，AEEP=BFFC，则下列条件可以确定A．AD//BC B．AB//CDC．BC//平面PAD D．CD//平面PAB【答案】B,D【解析】【解答】解：过E点作EG//PD交AD于点G，连接GF，如图所示：

即EG//平面PCD，因为△AEG∼△APD，所以AGGD若AB//CD，则GF//CD，又因为GF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以GF//平面PCD，由EG∩GF=G,EG、GF⊂平面EGF，得平面EGF//平面PCD，又EF⊂平面EGF，所以EF//平面PCD，故B正确；若CD//平面PAB，又因为平面ABCD∩平面PAB=AB，所以CD//AB，由B可知D正确；假设EF//平面PCD，设平面EFP∩CD=H，则EF//PH，若BC//平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC//AD，反之若BC//AD，当且仅当BC//平面PAD，即A、C同时正确或错误；若BC//AD，可能AB//CD，也可能AB与CD相交．若AB与CD相交，由AGGD=BFFC知延长FG必与AB、由几何关系知EF与PH不平行，故A、C错误．故答案为：BD.【分析】过E点作EG//PD交AD于点G，连接GF，根据线面、面面平行的判定定理与性质，结合反证法，逐项分析证明即可.11．甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有n盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组a1A．1,3 B．1,2,3 C．3,3,6 D．3,4,5【答案】A,C,D【解析】【解答】解：将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行亦或求和0+0=0,1+1=0,0+1=1,1+0=1，若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态，A、1,3⇒B、1,2,3⇒C、3,3,6⇒D、3,4,5⇒故答案为：ACD.【分析】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行亦或求和，若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态.三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12．若复数a2-2a+ai是纯虚数，则实数【答案】2【解析】【解答】解：若复数a2-2a+ai为纯虚数，则a故答案为：2.【分析】根据复数为纯虚数列方程求解即可.13．已知A是抛物线y2=4x在第一象限上的点，F是抛物线的焦点，∠AFO=60∘（O【答案】3【解析】【解答】解：由题意，设点Am2,2m，

易知抛物线y2=4x焦点为F1,0，过A作x轴的垂线，如图所示：在△AA'F中，sin30°=A'FAF，即m设抛物线在A处切线的斜率是y'，由∠AFO=60∘则Am2,2m在函数y=2x上，即故答案为：3.【分析】设Am2,2m14．函数fx满足：①f1=25②∀x，y∈【答案】1【解析】【解答】解：由f1=25，∀x，y∈R，2令x=m，y=1，则即25设2m=p，则25即tp2−p+t≤0有解，Δ=1−4t2≥0故答案为：12【分析】由题意，设fxmax=t且fm=t，代入得25⋅四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P-ABC中，ΔPBC是边长等于2的正三角形，∠ACB=90∘，（1）求证：BC⊥PM；（2）若AC=23，cos∠ACP=-3【答案】（1）证明：作BC中点N，连接AN,PN,MN，如图所示：

则MN//AC，因为AC⊥BC，所以NM⊥BC，又因为△PBC是正三角形，且N为BC中点，所以PN⊥BC，

则PN⊥BCNM⊥BCPN∩NM=NPN,NM⊂面PNM又因为PM⊂平面PNM，所以BC⊥PM；（2）解：由题意可得：∠PCB=60∘，PN=PC2在△ACP中，AC=23由余弦定理得AP=P在△PBA中，由余弦定理得cos∠PBA=则PM=B设平面ACB与平面PBC夹角为θ(0<θ<180由PN⊥BC，NM⊥BC，可知θ=∠PNM，在△PMN中，由余弦定理得cosθ=PN设点M到平面PBC的距离为d，则d=sin【解析】【分析】（1）作BC中点N，连接AN,PN,MN，可得NM⊥BC、PN⊥BC，结合线面垂直的判定定理与性质证明即可；（2）由题意，在△ACP、△PBA中，根据余弦定理分别求出AP,cos∠PBA,PM,∠PNM，再在（1）作BC中点N，连接AN,PN,MN，则MN//AC，又AC⊥BC，所以NM⊥BC，又因为△PBC是正三角形，且N为BC中点，因此PN⊥BC，从而PN⊥BCNM⊥BCPN∩NM=NPN,NM⊂又PM⊂平面PNM，所以BC⊥PM．（2）由题，∠PCB=60∘，PN=PC2在△ACP中，AC=23由余弦定理得AP=P在△PBA中，由余弦定理得cos∠PBA=所以PM=B设平面ACB与平面PBC夹角为θ(0<θ<180由PN⊥BC，NM⊥BC知θ=∠PNM.在△PMN中，由余弦定理得cosθ=PN设点M到平面PBC的距离为d，则d=sin16．PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由A，B，C，D四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页A开始浏览（记为第1次停留）．（1）求该用户第3次停留在网页D上的概率；（2）某广告公司准备在网页B，C中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．【答案】（1）解：A→B、A→C；B→C、B→D；C→A、C→D；D→A、D→B、D→C.第3次停留在网页D上的事件有A→B→D、A→C→D，其概率为P=1（2）解：由题意知，A→B、A→C；B→C、B→D；C→A、C→D；D→A、D→B、D→C，用Ai,BiCi,Di1≤i≤4表示第i次停留在A，B，C，D处的事件，

则PA3=12×【解析】【分析】（1）根据A→B→D、A→C→D计算即可求解；（2）根据A→B、A→C；B→C、B→D；C→A、C→D；D→A、D→B、D→C求出前4次停留网页B,C对应的概率，求出对应的数学期望，比较大小即可下结论.（1）A→B、A→C；B→C、B→D；C→A、C→D；D→A、D→B、D→C.第3次停留在网页D上的事件有A→B→D、A→C→D，其概率为P=1（2）由题意知，A→B、A→C；B→C、B→D；C→A、C→D；D→A、D→B、D→C，用Ai,B则PA所以PBPB所以EB故该公司应该选择C网页．17．已知函数fx（1）讨论fx（2）若fx在区间−1,0上恰有一个零点，求a（3）当a>0时，解方程f'【答案】（1）解：因为fx=ln所以f'x=当a≥0时，因为x>−1，所以x+1+a≥x+1>0，即f'x>0，f当a<0时，由f'x<0⇒−1<x<−1−a；由f所以fx在−1,−1−a上单调递减，在−1−a综上，当a≥0时，fx当a<0时，fx在−1,−1−a上单调递减，在−1−a（2）解：由（1）知，当a≥0时，fx在−1,+∞内单调递增，且注意到f0=0，因此当a<0时，由lnx+1+ax所以xln令px=xlnx,x∈因为p'x=lnx+1,所以当x∈0,1e时，p'x<0，px单调递减，当x∈1e所以−a<1⇒a>−1，结合a<0，则a的取值范围为−1，（3）解：由题，f'x−f则g'x=−注意到待求方程gx对gx中含a的部分单独考察，即a−x2−x+1因此x=x1，当x=5−12当x=−5−1综上，原方程的解为x=5【解析】【分析】（1）求导，分a≥0，a<0讨论导函数的符号，判断函数的单调性.（2）结合（1）的结论，根据函数零点所在区间求参数a的取值范围.（3）明确f'x−f（1）因为fx=ln所以f'x=当a≥0时，因为x>−1，所以x+1+a≥x+1>0，即f'x>0，f当a<0时，由f'x<0⇒−1<x<−1−a；由f所以fx在−1,−1−a上单调递减，在−1−a综上，当a≥0时，fx当a<0时，fx在−1,−1−a上单调递减，在−1−a（2）由（1）知，当a≥0时，fx在−1,+∞内单调递增，且注意到f0=0，因此当a<0时，由lnx+1+ax所以xln令px=xlnx,x∈因为p'x=lnx+1,所以当x∈0,1e时，p'x<0，px单调递减，当x∈1e所以−a<1⇒a>−1，结合a<0，则a的取值范围为−1，（3）由题，f'x−f则g'x=−注意到待求方程gx对gx中含a的部分单独考察，即a−x2−x+1因此x=x1，当x=5−12当x=−5−1综上，原方程的解为x=518．在平面直角坐标系xOy中，已知点F-1,0，P是直线l:x=-8右侧区域内的动点，P到直线l与y轴的距离之和等于它到点F距离的4倍，记点P的轨迹为E（1）求E的方程，并在图中画出该曲线；（2）直线l'过点F，与E交于A，B（i）若AB=92（ii）若AB=4，T是点F关于y轴的对称点，延长线段AT交E于点C，延长线段BT交E于点D，直线CD交x轴于点Mm,0，求【答案】（1）解：设Px,y，则有x+8+当x≥0时，化简得x2当x<0时，化简得x+12所以E：x（2）解：（i）如图所示，不妨设点A在圆上，则AF=2，BF=5设B2解得cosθ=12，所以B所以直线方程为l'（ii）由题意知T1,0，故点T也在圆x+12+y2设Cx1,y13ty+m则y1因为CT→=1-x1则CT所以t2即3m所以7m2-9解得m≥8+28814=4+6【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得E的方程；（2）（i）不妨设直线交圆于点