椭圆及其标准方程+高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆及其标准方程07:20:5407:20:54椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用。在电影院中，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）。07:20:54示意图如下，电影工作人员会把影片门和灯丝放在椭圆两个特殊的不同定点F1、F2处，利用椭圆的光学性质：从灯丝F2发出的光经过椭圆面的反射总能到达影片门F1，其目的是为了让影片门（电影胶片通过的地方）获得最强的光，这样放映的电影就能更清楚了。07:20:54在数学中我们把这两个特殊的定点叫做椭圆的焦点。一般记为点F1、F2。其光线简化如下图。利用光的反射性质得到F1M的虚像F1’M07:20:54观察到此时F1’F2为定值，即F1’M+F2M=常数。而F1’M=F1M，所以F1M+F2M=常数。此常数通常用2a表示。得到椭圆的几何特征：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值。若光线从不同的方向射入，F1’的位置会有怎样的变化？07:20:54今年9月17号，神舟十二号载人飞船顺利归来，三名宇航员的回归振奋人心，所有人欢呼鼓舞，为航天英雄称赞！07:20:54今年9月17号，神舟十二号载人飞船顺利归来，三名宇航员的回归振奋人心，所有人欢呼鼓舞，为航天英雄称赞！椭圆具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用。比如：放大镜、探照灯、汽车的反光镜都用到了椭圆的几何性质。所以研究椭圆将会帮助我们解决生活中许多问题。那么，什么是椭圆？怎么画椭圆呢？07:20:54生活中常见的椭圆形物品有哪些？探究：取一长度固定的细绳，两端固定于平面上不同的两点。套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？笔尖到两个定点的距离的和等于常数。07:20:541、椭圆的定义：

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

两定点称为焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，记为2c。焦距的一半叫做半焦距，记为c。M几点说明：1、(定点）F1、F2是两个不同的定点；2、（定长）|MF1|+|MF2|=2a；（动点）M为椭圆任意一点3、（大小关系）常数记为2a，焦距为2c，且2a>2c（？）；4、如果2a=2c，则M点的轨迹是5、如果2a<2c，则M点的轨迹

下面我们来求椭圆的标准方程.线段F1F2.不存在.|MF1|+|MF2|=|F1F2|

|MF1|+|MF2|<|F1F2|

2c|MF1|+|MF2|=2a07:20:54推导椭圆的标准方程建立椭圆的方程就是要用代数式子椭圆是平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹M表示出|MF1|+|MF2|=2a描绘出椭圆的几何特征07:20:54推导椭圆的标准方程

建立直角坐标系一般应符合简单和谐的原则，注意要充分利用图形的对称性。一般美观的图形他的方程也会很简洁，比如我们在求圆的标准方程时，把圆心作为坐标原点，得到的方程就很简洁美观。r观察椭圆，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。M07:20:54类比OXYF1F2M方案一07:20:54YOXF1F2MOXYF1F2M方案一方案二07:20:54F1F2PxOy

以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。设P(x,y)为椭圆上的任意一点，∵F1F2＝2c(c>0),则：F1(-c,0)、F2(c,0)∵∴对于含有两个根式的方程，可以采用移项两边平方进行化简。方程的推导方程的推导07:20:54（定义法）移项平方yxO07:20:54（定义法）移项平方yxO07:20:5407:20:54同学们思考一下，还否有其他的推导过程呢？YOXF1F2MN（几何法）设MF1=r1，MF2=r2，M（x，y），则有r1+r2=2a.07:20:54同学们思考一下，还否有其他的推导过程呢？YOXF1F2MN（几何法）设MF1=r1，MF2=r2，M（x，y），则有r1+r2=2a.

①07:20:54同学们思考一下，还否有其他的推导过程呢？YOXF1F2MN（巧用余弦定理）设MF2=z，∠MF2N=α，因为MF1+MF2=2a.α07:20:54同学们思考一下，还否有其他的推导过程呢？YOXF1F2MN（巧用余弦定理）设MF2=z，∠MF2N=α，因为MF1+MF2=2a.

αOXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足（3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。能不能不画图，只从标准方程就可以知道焦点在那个坐标轴上？左边是两个分式的平方和，右边是107:20:54椭圆的标准方程

定义图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a（2a＞2c）小结：YOXF1F2MOXYF1F2M07:20:54注意：（3）若a2在x2之下，则焦点在x轴上；若a2在y2之下，则焦点在y轴上.哪个字母下面的分母大，焦点在哪个轴上。（2）a、b、c有关系式：c2=a2-b2，即a2=b2+c2，a最大.（1）在两种方程中，总有a>b>0;07:20:54例1：1.口答：下列方程哪些表示椭圆？

若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.07:20:54

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课后思考：你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点。07:20:54

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07:20:54[方法规律总结]寻求点M的坐标（x,y）中x，y与x0，y0之间的关系，然后消去x0，y0，得到点M的轨迹方程，这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法。利用信息技术，可以更方便地探究点M的轨迹的形状。07:20:54

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07:20:54运用信息技术，可以探究点M的轨迹形状。07:20:54一、二、二、三一个概念；二个方程；三个意识：小结小结二个方法：定义法；几何法|MF1|+|MF2|=2a，（2a