2026年广州中考数学冲刺重高专项试卷（附答案可下载）

2026年广州中考数学冲刺重高专项试卷（附答案可下载）考试时间：120分钟满分：150分试卷说明：本试卷针对广州重高录取选拔标准设计，聚焦中考数学核心难点、重高高频压轴题型，兼顾基础得分点与拔高区分点（基础题50%、中档题35%、拔高题15%），强化综合解题能力与逻辑推理素养，助力考生突破重高录取分数线。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）下列说法正确的是（）

A.√2的相反数是-√2，倒数是√2/2B.近似数3.14×10³精确到百分位

C.若|x|=√3，则x=√3D.有理数与无理数的积一定是无理数

下列运算正确的是（）

A.(a-2b)²=a²-4b²B.a⁶÷(a²·a³)=aC.2a³+3a²=5a⁵D.(-a²b³)³=-a⁵b⁶

已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(2，-1)，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则下列函数解析式符合条件的是（）

A.y=2x-5B.y=-2x+3C.y=x-3D.y=-x+1

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2，CD=5，则BC的长为（）

A.6B.8C.10D.12

关于x的一元二次方程(k-1)x²+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k＜2B.k＜2且k≠1C.k≤2D.k≤2且k≠1

如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，则BD的长为（）

A.6√3B.3√3C.12D.6

反比例函数y=k/x（k≠0）的图象上有两点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，若x₁＜0＜x₂，且y₁＞y₂，则k的取值范围及图象所在象限为（）

A.k＞0，第一、三象限B.k＞0，第二、四象限

C.k＜0，第一、三象限D.k＜0，第二、四象限如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC=55°，则∠BAC的度数为（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b²-4ac＞0；③2a+b=0；④a+b+c＜0，其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

在一个不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出3个球，恰好是2个红球和1个黄球的概率为（）

A.1/6B.1/3C.2/7D.4/21

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）因式分解：x³-4x²y+4xy²=________．计算：√24-4sin60°+(π-√5)⁰-(1/2)⁻²=________．已知二次函数y=-x²+4x-1，当1≤x≤4时，y的取值范围是________．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A'BC'，则AA'的长为________．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=30°，AB=2√3，则⊙O的半径为________．如图，在平面直角坐标系中，点A(1，2)、B(3，4)，将线段AB平移后得到线段A'B'，若点A'的坐标为(2，-1)，则点B'的坐标为________，平移后线段A'B'与原线段AB的距离为________．三、解答题（本大题共9小题，满分102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（8分）先化简，再求值：(a/(a-1)-1/(a²-a))÷(a+1)/a，其中a=2sin60°+1．（10分）解一元二次方程：2x²-3x-2=0（用因式分解法）；解不等式组：{x-3(x-2)≥4，(2x-1)/3＜(x+1)/2}，并写出该不等式组的整数解．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，连接EF、AC，AC交EF于点O．求证：（1）△ABE≌△ADF；（2）AC垂直平分EF．（10分）为了解某校九年级学生的体育达标情况，随机抽取了100名九年级学生进行体育达标测试，将测试结果分为“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级，绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图：

等级优秀良好合格不合格频数（人）2540mn

请根据以上信息解答下列问题：

（1）求m、n的值，并补全扇形统计图；

（2）若该校九年级共有800名学生，估计体育达标（优秀、良好、合格）的学生人数；

（3）若从“优秀”等级的学生中随机抽取2人参加市级体育竞赛，其中有1名男生和1名女生，求恰好抽到1男1女的概率．

（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=k/x（x＞0）的图象交于点A(4，2)，与x轴交于点B(6，0)，连接OA．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）若点C是反比例函数图象上一点，且△ABC的面积与△AOB的面积相等，求点C的坐标；

（3）若点P是x轴上一动点，求PA+PO的最小值及此时点P的坐标．

（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接CF、BC．

（1）求证：CF=BC；

（2）若AD=10，CD=6，求⊙O的半径及CF的长．

（12分）某商场销售一种进价为25元/件的服装，售价为x元/件时，每天可卖出(1000-4x)件，设每天的利润为W元，商场规定售价不低于进价，且不超过40元/件，同时每天的销售量不低于600件．

（1）求W与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

（3）若商场每天的利润不低于15000元，求售价x的取值范围．

（14分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在AD上，且DE=DC，连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，连接OF．

（1）求证：△DFC∽△CDE；

（2）若AB=4，AD=6，求OF的长；

（3）若∠DOC=120°，求证：OF=(1/2)AD．

（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A(-2，0)、B(0，4)，顶点为D，连接BD、AD．

（1）求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）点E是BD上一点，若AE平分△ABD的面积，求点E的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD为等腰三角形，且其中一个角为60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案（附重高专项解析，突破核心难点）一、选择题（每小题3分，共30分）1.A2.B3.D4.B5.B6.A7.D8.B9.C10.C解析：第4题考查直角三角形斜边中线与中位线性质，D、E为中点，DE是中位线则AC=4，CD是斜边中线则AB=10，由勾股定理得BC=8，贴合重高基础拓展题型；第9题结合二次函数图象性质，开口向下a＜0，对称轴x=1得2a+b=0，与y轴交于正半轴c＞0，故abc＞0，Δ＞0，x=1时y＞0、x=-1时y＜0，4个结论中3个正确，侧重图象分析能力；第10题概率计算，总情况数84种，符合条件的24种，概率=24/84=2/7，强化组合计数能力。二、填空题（每小题3分，共18分）11.x(x-2y)²12.-313.-1≤y≤314.5√215.216.(4，1)，3√2/2解析：第19题计算，√24=2√3，sin60°=√3/2，零指数幂=1，负指数幂=4，原式=2√3-4×√3/2+1-4=-3；第21题旋转后BA=BA'=5，∠ABA'=90°，由勾股定理得AA'=5√2；第23题平移规律为右移1、下移3，B'(4，1)，用平行线间距离公式得距离=3√2/2，侧重平移性质与距离计算难点。三、解答题（共102分）21.（8分）解：原式=[a²/(a(a-1))-1/(a(a-1))]×a/(a+1)=(a²-1)/(a(a-1))×a/(a+1)=[(a+1)(a-1)]/(a(a-1))×a/(a+1)=1，

当a=2sin60°+1=2×√3/2+1=√3+1时，原式=1．

答：值为1．22.（10分）解：（1）2x²-3x-2=0，因式分解得(2x+1)(x-2)=0，解得x₁=-1/2，x₂=2；

（2）解不等式x-3(x-2)≥4，得x≤1；解不等式(2x-1)/3＜(x+1)/2，得x＜5；

故不等式组的解集为x≤1，整数解为x=1、0、-1、……（所有负整数及0、1）．

答：方程的解为x₁=-1/2，x₂=2；不等式组解集为x≤1，整数解为x≤1的所有整数．23.（10分）证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在△ABE和△ADF中，{AB=AD，AE=AF}，∴△ABE≌△ADF（HL）；

（2）由（1）得BE=DF，∵BC=CD，∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形，

又∵AC是正方形对角线，∠ACB=∠ACD=45°，∴AC平分∠ECF，

∴AC垂直平分EF（等腰三角形三线合一）．24.（10分）解：（1）m=100-25-40-n，由扇形统计图知不合格率为15%，故n=15，m=20；

（2）达标率=85%，估计达标人数=800×85%=680（人）；

（3）设男生为M，女生为F，总情况数3种（MM、MF、FF），符合条件的1种，概率=1/3．

答：（1）m=20，n=15；（2）680人；（3）1/3．25.（12分）解：（1）将A(4，2)代入y=k/x得k=8，反比例函数解析式为y=8/x；

将A(4，2)、B(6，0)代入y=ax+b得：{4a+b=2，6a+b=0}，解得{a=-1，b=6}，

一次函数解析式为y=-x+6；

（2）△AOB面积=1/2×6×2=6，设C(x，8/x)，△ABC面积=6，

由面积公式得1/2×|6×2-x×2-6×8/x|=6，解得x=2或x=8，C(2，4)或(8，1)；

（3）作O关于x轴的对称点O'(0，0)（重合），优化为作A关于x轴的对称点A'(4，-2)，PA+PO=PA'+PO≥A'O=√(4²+(-2)²)=2√5，此时P(2，0)．

答：（1）一次函数y=-x+6，反比例函数y=8/x；（2）(2，4)或(8，1)；（3）最小值2√5，P(2，0)．26.（12分）（1）证明：连接OC，∵CD是切线，OC⊥CD，AE⊥CD，∴OC∥AE，

∴∠OCA=∠CAE，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAE，

∴弧CF=弧BC，故CF=BC；

（2）设半径为r，OD=10-r，在Rt△OCD中，r²+6²=(10-r)²，解得r=3.2；

由（1）知CF=BC，在Rt△ABC中，BC=√(AB²-AC²)，AC=√(AD²-CD²)=8，

AB=6.4，BC=√(6.4²-8²)（修正：用相似得BC=24/5，故CF=24/5）．

答：（1）略；（2）半径3.2，CF=24/5．27.（12分）解：（1）由销售量≥600得1000-4x≥600，x≤100，结合25≤x≤40，取值范围25≤x≤40；

W=(x-25)(1000-4x)=-4x²+2000x-25000；

（2）对称轴x=250，开口向下，在25≤x≤40上单调递增，x=40时W最大=-4×1600+80000-25000=21400（元）；

（3）令W≥15000，解得30≤x≤70，结合25≤x≤40，得30≤x≤40．

答：（1）W=-4x²+2000x-25000（25≤x≤40）；（2）售价40元，最大利润21400元；（3）30≤x≤40．28.（14分）（1）证明：∵DF⊥CE，∠DFC=∠D=90°，∠DCF=∠ECD，

∴△DFC∽△CDE（AA）；