226年北京邮电大学随机信号分析与处理期末考试试题含答案

226年北京邮电大学随机信号分析与处理期末考试试题含答案一、填空题（每空2分，共20分）1.设随机过程X(t)=Acos(t+Θ)，其中A2.若零均值平稳随机过程X(t)的自相关函数(τ)3.高斯随机过程X(t)4.设离散时间马尔可夫链的状态转移矩阵为𝐏=[0.35.维纳滤波的基本思想是使估计误差的______最小，其最优解满足______条件。二、选择题（每题3分，共15分。每题只有一个正确选项）1.关于广义平稳随机过程，以下说法正确的是（）A.均值为常数，自相关函数仅与时间差有关B.任意有限维分布与时间起点无关C.均方值为常数，互相关函数仅与时间差有关D.必须是严平稳过程2.设X(t)和Y(t)是联合平稳的随机过程，其互相关函数(τA.*[B.·[C.5·D.5·3.下列随机过程中，一定是严平稳过程的是（）A.均值为常数，自相关函数仅与时间差有关的高斯过程B.均值为常数，自相关函数为(τC.由独立同分布随机变量构成的随机序列X(n)D.随机相位正弦波X(t)4.设X(t)是零均值平稳高斯白噪声，功率谱密度为/2，通过冲激响应为h(t)A.B.C.(+D.(+5.对于离散时间马尔可夫链，以下说法错误的是（）A.状态转移概率(nB.有限状态不可约非周期马尔可夫链存在唯一平稳分布C.若状态i可达状态j，则状态j一定可达状态iD.平稳分布π满足π=π𝐏三、计算题（共45分）1.（10分）设随机过程X(t)=A+Bt，其中（1）求X(t)的均值函数(（2）判断X(2.（12分）已知零均值平稳随机过程X(t)的自相关函数为(（1）求X(t)（2）计算X(t)（3）若Y(t)=X(t)+3.（13分）设线性时不变系统的输入为零均值平稳随机过程X(t)，其功率谱密度为(（1）求系统输出Y(t)（2）计算Y(t)（3）若X(t)4.（10分）考虑离散时间马尔可夫链，状态空间为S={1（1）写出两步转移概率矩阵；（2）求平稳分布π=四、综合题（共20分）设观测信号Z(t)=S(t)+N(t)，其中S(t)是零均值平稳随机信号，其自相关函数(τ（1）写出维纳滤波的正规方程（时域形式）；（2）求Z(t)的自相关函数(τ)和S（3）求最优维纳滤波器的冲激响应h(（4）计算最小均方误差E[答案及解析一、填空题1.0；cos[解析：(t自相关函数(,2.（或）；4解析：由维纳-辛钦定理，(f)=3.均值函数；自相关函数（或协方差函数）解析：高斯过程的统计特性由其一阶和二阶矩完全确定，即均值和自相关函数。4.=0.3+0.6，=解析：平稳分布满足π=5.均方值；正交（或误差与观测信号正交）解析：维纳滤波的最优准则是最小均方误差（MMSE），其解满足估计误差与观测信号正交的条件（正交性原理）。二、选择题1.A解析：广义平稳要求均值为常数，自相关函数仅与时间差τ=2.D解析：互功率谱密度是互相关函数的傅里叶变换。已知(τ)=5cos(2πτ)，而cos(2πτ)=[+]，的傅里叶变换为，因此(f)=5·[δ(f)+δ3.C解析：独立同分布序列的任意有限维分布仅与时间差有关（因各时刻独立同分布），故为严平稳；A中高斯过程广义平稳则必严平稳，但选项未明确是否高斯，若题目中A是高斯过程则也正确，但选项C更明确；B的自相关函数含周期分量，可能非严平稳；D的随机相位正弦波是广义平稳，若A为常数则是严平稳，但题目中A是常数吗？原题中D的A是常数，Θ均匀分布，此时X(4.B解析：白噪声X(t)的自相关函数(τ)=δ(τ)，系统冲激响应h(t)=u(t)，其自相关函数(τ)=(τ)*h(τ)*h(−τ)。由于h(t)的傅里叶变换H(f)=，则|H(f)=，输出功率谱密度(f)=|H(f)=，其傅里叶逆变换为(τ)=5.C解析：状态可达性不一定对称，即i可达j不意味着j可达i，C错误；其他选项均正确。三、计算题1.（1）均值函数(t)=自相关函数(,)=E[(A（2）广义平稳要求(t)为常数（满足，为0），且(,)仅与τ=有关。但(,)=+，显然与,的绝对时间有关（如=2.（1）由维纳-辛钦定理，(f)=ℱ{(τ)}=ℱ{16·}（因sinc(4τ)=sin（2）均方值E[(t（3）Y(t)=X(t功率谱密度(f)=3.（1）输出功率谱密度(f)=(f)|H(（2）自相关函数(τ)={(f)}。由于(f)==4·，其逆变换为(τ)=2π·4·=4π（因{}=，这里a=1，故{}=，所以(τ)=4·=4π（3）高斯过程通过线性系统后仍为高斯过程，因为线性变换保持高斯性（高斯变量的线性组合仍为高斯变量），故Y(4.（1）两步转移概率矩阵=𝐏第一行：[0.5第二行：[0.2故=[（2）平稳分布π满足π=π𝐏且+由第一式：0.5=0.2→代入+=1，得+=1→=1→=四、综合题（1）维纳滤波的正规方程（时域）为：(τ)*h(