江苏省泰州市泰州栋梁学校2026届高二数学第一学期期末调研试题含解析

江苏省泰州市泰州栋梁学校2026届高二数学第一学期期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列结论正确的个数为（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则A.4 B.3C.2 D.12．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，，，，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（）A.8 B.9C.10 D.114．从直线上动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（）A. B.C. D.5．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.86．下列双曲线中，渐近线方程为的是A. B.C. D.7．已知双曲线：，直线经过点，若直线与双曲线的右支只有一个交点，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.8．已知是函数的导函数，则（）A0 B.2C.4 D.69．焦点为的抛物线标准方程是（）A. B.C. D.10．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.8211．若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．“”是“直线与互相垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为___________.14．已知双曲线，则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______15．已知A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是________16．函数在处的切线方程为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等比数列满足，.（1）求数列的前8项和；（2）求数列的前项积.18．（12分）如图，在长方体中，，若点P为棱上一点，且，Q，R分别为棱上的点，且.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.19．（12分）如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：；（2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围.20．（12分）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正实数a，使得不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.21．（12分）已知数列，，，为其前n项和，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和22．（10分）已知等差数列满足，（1）求的通项公式；（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据常数函数的导数为0，可判断①；根据幂函数的求导公式，可判断②；根据指数函数以及对数函数的求导公式，可判断③④.【详解】由得：，故①错误；对于，，故，故②正确；对于，则，故③错误；对于，则，故④错误，故选：D2、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，若数列为单调递增数列，则有（），所以，因为，所以，所以当时，数列为单调递增数列，而当数列为单调递增数列时，不一定成立，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，故选：A3、B【解析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.【详解】由，可得，，，，所以，，所以前项和，所以，故选：B.4、B【解析】分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.【详解】圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，设，则，，则，当取最小值时，，此时，，，，故，此时，.故选：B.5、D【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求【详解】∵抛物线方程为，∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，由，可得，∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴.故选：D.6、A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.7、D【解析】以双曲线的两条渐近线作为边界条件，即可保证直线与双曲线的右支只有一个交点.【详解】双曲线：的两条渐近线为和两渐近线的倾斜角分别为和由经过点的直线与双曲线的右支只有一个交点，可知直线的倾斜角取值范围为，故直线的斜率的取值范围是故选：D8、D【解析】由导数运算法则求出导函数，再计算导数值【详解】由题意，，所以故选：D9、D【解析】设抛物线的方程为，根据题意，得到，即可求解.【详解】由题意，设抛物线的方程为，因为抛物线的焦点为，可得，解得，所以抛物线的方程为.故选：D.10、C【解析】由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率【详解】解：由题意得，解得，所以离心率，故选：C11、A【解析】分析可知直线与曲线在上的图象有两个交点，令可得出，令，问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】当时，，，此时两个函数的图象无交点；当时，由得，可得，令，其中，则直线与曲线有两个交点，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，且当时，，作出直线与曲线如下图所示：由图可知，当时，即当时，指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点.故选：A.12、A【解析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为直线与互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或2【解析】由圆的方程有圆心，半径为，讨论双曲线的焦点分别在x或y轴上对应的渐近线方程，根据已知及弦长与半径、弦心距的几何关系得到双曲线参数的齐次方程，即可求离心率.【详解】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为，若双曲线为时，渐近线为且，所以圆心到双曲线渐近线的距离为，由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，所以，故.若双曲线为时，渐近线为且，所以圆心到双曲线渐近线的距离为，由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，所以，故.综上，双曲线的离心率为或2.故答案为：或2.14、2【解析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解.【详解】解：由题得圆的圆心为，双曲线的渐近线方程为，即.所以圆心到双曲线渐近线的距离为.故答案为：215、【解析】首先求得点A关于x轴的对称点，然后数形结合结合直线方程求解点P的坐标即可.【详解】点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，如图所示，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求直线A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13则点P的坐标是.【点睛】本题主要考查直线方程的应用，最值问题的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、【解析】求得函数的导数，得到且，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，即切线方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）设等比数列的公比为，由，求出公比，然后由等比数列前项和公式可得答案.（2）先得出通项公式，然后可得，由指数的运算性质，结合由等差数列前项和公式可得答案.小问1详解】设等比数列的公比为，，解得所以所以【小问2详解】18、（1）（2）【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角；（2）用空间向量法求二面角【小问1详解】以D为坐标原点，射线方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.当时，，所以，设平面的法向量为，所以，即不妨得，，又，所以，则【小问2详解】在长方体中，因为平面，所以平面平面，因为平面与平面交于，因为四边形为正方形，所以，所以平面，即为平面的一个法向量，，所以，又平面的法向量为，所以.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）过作，垂足为，利用正余弦定理可证，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值.【小问1详解】证明：由已知可得四边形是等腰梯形，过作，垂足为，则，在中，，则，可得，在中，由余弦定理可得，，则，，又平面，平面，，，，平面，平面，又为矩形，，则平面，而平面，；【小问2详解】平面，且，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，则，又，设平面的法向量为，由，取，得，又，，，，则.20、（1）（2）【解析】（1）通过构造新数列求解；（2）由（1）得，再研究其单调性，从而得到最值，再解不等式即可求解.【小问1详解】由，假设其变形为，则有，所以，又.所以，即.【小问2详解】由（1），所以，令，则，所以，所以是递减数列，所以，所以使得不等式对一切正整数n都成立，则，即，因为为正实数，所以.21、（1）（2）【解析】(1)按照所给条件，先算出