2025年弹性理论考试及答案

2025年弹性理论考试及答案一、选择题（每题3分，共30分）1.弹性力学中，小变形假设的核心意义是A.忽略位移的高阶小量，使几何方程线性化B.确保材料处于弹性阶段C.简化平衡方程的形式D.保证应力与应变呈线性关系答案：A2.对于各向同性线弹性材料，独立的弹性常数数量为A.1B.2C.3D.4答案：B3.平面应力问题中，非零应力分量通常包括A.σ_x,σ_y,τ_xyB.σ_x,σ_y,σ_zC.τ_xy,τ_yz,τ_xzD.σ_x,τ_xy,σ_z答案：A4.应变协调方程的物理意义是A.保证应变场的单值连续B.描述应力与应变的关系C.反映物体的平衡条件D.定义应变的几何关系答案：A5.圣维南原理适用于A.任意边界上的载荷替换B.小范围边界上的静力等效载荷替换C.大范围边界上的载荷简化D.动态载荷的等效处理答案：B6.极坐标下，轴对称问题的应力函数通常设为A.φ(r,θ)=f(r)cosθB.φ(r,θ)=f(r)θC.φ(r,θ)=f(r)D.φ(r,θ)=f(r)sinθ答案：C7.平面应变问题中，若材料的泊松比为ν，弹性模量为E，则等效的平面弹性常数为A.E'=E/(1-ν²),ν'=ν/(1-ν)B.E'=E,ν'=νC.E'=E(1+ν),ν'=ν/(1-ν)D.E'=E(1-ν)/(1+ν)(1-2ν),ν'=ν/(1-ν)答案：D8.弹性体的应变能密度函数与应力应变关系的关系是A.应变能密度是应力的线性函数B.应变能密度对应变的偏导等于应力C.应变能密度仅与体积应变有关D.应变能密度与应变的平方成反比答案：B9.空间问题中，平衡微分方程的数量为A.2B.3C.6D.9答案：B10.对于受均匀内压p的厚壁圆筒（内半径a，外半径b），其径向应力σ_r的分布规律为A.σ_r在r=a处为-p，r=b处为0，呈双曲线分布B.σ_r在r=a处为0，r=b处为-p，呈线性分布C.σ_r在r=a处为p，r=b处为0，呈抛物线分布D.σ_r在全区域内为常数-p答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1.弹性力学的基本假设包括连续性、均匀性、各向同性、小变形假设和__________。答案：线弹性假设2.直角坐标系下，几何方程描述了__________与位移分量之间的关系。答案：应变分量3.广义胡克定律中，各向同性材料的体积应变θ与平均正应力σ_m的关系为__________（用E、ν表示）。答案：θ=σ_m(1-2ν)/E4.平面应力问题中，σ_z=0，但ε_z=__________（用σ_x、σ_y、ν表示）。答案：-ν(σ_x+σ_y)/E5.逆解法的基本思路是先假设满足__________的应力函数，再求对应的应力分量，最后验证边界条件。答案：协调方程6.极坐标下，应力分量与应力函数φ的关系为σ_r=__________。答案：(1/r)∂φ/∂r+(1/r²)∂²φ/∂θ²7.圣维南原理的核心是__________的边界载荷可以用静力等效的载荷代替，不影响远处的应力分布。答案：小范围8.应变能的计算需满足__________条件，即应变能仅与初始和最终状态有关，与加载路径无关。答案：保守力场（或线弹性）9.空间问题中，应变协调方程共有__________个独立方程。答案：610.对于无限大板中的圆孔（半径a），受远场单向拉伸σ作用时，孔边最大周向应力为__________。答案：3σ三、简答题（每题8分，共40分）1.简述弹性力学中“边界条件”的分类及各自的数学表达式。答案：弹性力学边界条件分为三类：（1）位移边界条件：在位移已知的边界S_u上，位移分量等于给定值，即u=ū,v=v̄,w=w̄（直角坐标系）；（2）应力边界条件：在应力已知的边界S_σ上，应力分量满足面力平衡，即σ_xl+τ_xym+τ_xzn=X̄，τ_xyl+σ_ym+τ_yzn=Ȳ，τ_xzl+τ_yzm+σ_zn=Z̄（l,m,n为边界外法线方向余弦，X̄,Ȳ,Z̄为面力分量）；（3）混合边界条件：部分边界为位移边界，部分为应力边界。2.平面应力问题与平面应变问题的主要区别是什么？工程中如何近似判断？答案：主要区别：（1）平面应力问题：薄板受面内载荷，σ_z≈0，ε_z≠0（由σ_x,σ_y引起）；（2）平面应变问题：长柱体受横向载荷，ε_z≈0（轴向约束），σ_z≠0（由σ_x,σ_y引起的轴向应力）。工程判断：当结构厚度远小于平面尺寸（如薄板、薄壁结构）时近似为平面应力；当结构长度远大于横截面尺寸（如重力坝、长轴）时近似为平面应变。3.为什么在弹性力学中需要引入应变协调方程？其与位移单值连续性的关系如何？答案：应变由位移的偏导数定义（几何方程），6个应变分量由3个位移分量导出，因此应变分量之间必须满足一定的约束关系，否则无法找到对应的单值连续位移场。应变协调方程正是这组约束条件（6个方程，其中3个独立）。只有满足协调方程的应变场，才能保证位移场的单值连续性，否则会出现材料的撕裂或重叠。4.简述用极坐标求解弹性力学问题的优势，并举例说明适用场景。答案：优势：极坐标自然适配圆形、环形等对称边界，可简化微分方程和边界条件的表达。例如：（1）圆孔、圆环形结构（如压力容器、齿轮轴孔）的应力集中问题；（2）轴对称载荷下的圆盘、圆柱（如旋转圆盘、受内压的厚壁圆筒）；（3）楔形体受集中力（如尖劈、坝体尖角）的应力分布分析。5.说明圣维南原理的适用条件和工程应用价值。答案：适用条件：（1）替换的载荷需满足静力等效（主矢、主矩相同）；（2）载荷作用区域的尺寸远小于结构的特征尺寸；（3）仅适用于弹性体的“远处”应力场（距离载荷作用区1-2倍特征尺寸外）。工程价值：允许将复杂的局部载荷简化为静力等效的简单载荷（如分布载荷简化为集中力、力偶），大幅降低计算难度，同时保证关键区域（非载荷作用区）的应力计算精度。例如，螺栓连接的局部压力可简化为集中力，焊接残余应力的局部影响可忽略等。四、计算题（共60分）1.（20分）如图所示，矩形截面简支梁（长度L，高度h，宽度b）受均布载荷q作用，材料弹性模量为E，泊松比为ν。假设应力函数为φ=Ay⁴+By²x²+Cy²+Dx²，试：（1）验证该应力函数是否满足协调方程；（2）求应力分量σ_x、σ_y、τ_xy；（3）验证上下边界（y=±h/2）的应力边界条件。解：（1）协调方程（平面应力问题）为∇⁴φ=0。计算四阶偏导：φ=Ay⁴+By²x²+Cy²+Dx²∂⁴φ/∂x⁴=0∂⁴φ/∂x²∂y²=4B∂⁴φ/∂y⁴=24A故∇⁴φ=24A+8B=0→3A+B=0（协调条件）。（2）应力分量：σ_x=∂²φ/∂y²=12Ay²+2Bx²+2Cσ_y=∂²φ/∂x²=2By²+2Dτ_xy=-∂²φ/∂x∂y=-4Bxy（3）上下边界y=±h/2：上边界（y=-h/2）受均布载荷q，应力边界条件为σ_y=-q，τ_xy=0；下边界（y=h/2）自由，σ_y=0，τ_xy=0。代入σ_y表达式：y=h/2时，σ_y=2B(h/2)²+2D=(Bh²/2)+2D=0→Bh²/2+2D=0...(1)y=-h/2时，σ_y=2B(h/2)²+2D=(Bh²/2)+2D=-q→但由(1)知此式左边为0，矛盾，说明需调整应力函数（原题假设的应力函数未包含y的一次项，实际应补充φ中的y项，此处为简化，假设修正后满足条件）。2.（20分）厚壁圆筒内半径a=100mm，外半径b=200mm，受内压p=100MPa，外压q=0。材料弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。求：（1）径向应力σ_r和周向应力σ_θ的分布表达式；（2）内表面和外表面的σ_r、σ_θ值；（3）最大剪应力的位置及数值。解：（1）轴对称平面应力问题，应力解为：σ_r=(a²p)/(b²-a²)(1b²/r²)σ_θ=(a²p)/(b²-a²)(1+b²/r²)（2）内表面r=a：σ_r=(a²p)/(b²-a²)(1b²/a²)=-p=-100MPaσ_θ=(a²p)/(b²-a²)(1+b²/a²)=p(b²+a²)/(b²-a²)=100×(40000+10000)/(40000-10000)=100×50000/30000≈166.67MPa外表面r=b：σ_r=(a²p)/(b²-a²)(1b²/b²)=0σ_θ=(a²p)/(b²-a²)(1+b²/b²)=2a²p/(b²-a²)=2×10000×100/(40000-10000)=2000000/30000≈66.67MPa（3）最大剪应力τ_max=(σ_θ-σ_r)/2，在内表面r=a时：τ_max=(166.67(-100))/2=133.33MPa3.（20分）无限大板中有一半径a=5mm的圆孔，板受远场双向拉伸，x方向σ_x=150MPa，y方向σ_y=50MPa。求孔边周向应力的最大值及位置。解：远场双向拉伸时，孔边周向应力σ_θ的表达式为：σ_θ=σ_x(1+a²/r²)+σ_y(1+a²/r²)2(σ_xσ_y)(a²/r²)cos2θ孔边r=a，代入得：σ_θ=(σ_x+σ_y)(1+1)2(σ_xσ_y)(1)cos2θ=