贵州省榕江县第三高级中学2026届数学高二上期末检测试题含解析

贵州省榕江县第三高级中学2026届数学高二上期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等比数列的各项均为正数，且，则A. B.C. D.2．当实数，m变化时，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.63．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.164．在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（）A.44 B.C.66 D.5．若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（）A. B.2C. D.46．抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m，则灶口直径AB为（）A.2m B.3mC.4m D.5m7．在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（）A.若是等方差数列，则是等差数列 B.若是等方差数列，则是等方差数列C.是等方差数列 D.若是等方差数列，则是等方差数列8．已知是上的单调增函数，则的取值范围是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b29．函数在处有极小值5，则（）A. B.C.或 D.或310．命题“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使11．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，－=1，则an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-112．春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动.”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做.“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听.从数学角度来说，“合礼”是“听”的（）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______14．若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.15．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过、的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______.16．数列的前项和为，则该数列的通项公式___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点.（1）证明：AB1//平面；（2）若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求.18．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，均过坐标原点，若，求的取值范围.19．（12分）已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.20．（12分）某小学调查学生跳绳的情况，在五年级随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图如下，且规定积分规则如下表：每分钟跳绳个数得分17181920（1）求频率分布直方图中，跳绳个数在区间的小矩形的高；（2）依据频率分布直方图，把第40百分位数划为合格线，低于合格分数线的学生需补考，试确定本次测试的合格分数线；（3）依据积分规则，求100名学生的平均得分.21．（12分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程.22．（10分）已知等比数列的公比，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，若，求满足条件的最大整数n.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据等比数列的性质，结合已知条件，求得，进而求得的值.【详解】由于数列是等比数列，故，所以，故.故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.2、D【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.【详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，设，因直线，即表示恒过定点，根据圆的性质可得.故选：D.3、C【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.输出的i值为13.故选：C.4、D【解析】由，是方程的两个根，利用韦达定理可知与的和，根据等差数列的性质可得与的和等于，即可求出的值，然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.【详解】因为，是方程的两个根，所以，而，所以，则,故选：.5、A【解析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值【详解】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点，点到直线的距离为，所以所求最大值为故选：A6、C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据是抛物线的焦点，求得抛物线的方程，进而求得的长.【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合，设抛物线的方程为，由题意可得是抛物线的焦点，即，可得，所以抛物线的方程为，当时，，所以.故选：C.7、B【解析】根据等方差数列的定义逐一进行判断即可【详解】选项A中，符合等差数列的定义，所以是等差数列，A正确；选项B中，不是常数，所以不是等方差数列，选项B错误；选项C中，，所以是等方差数列，C正确；选项D中，所以是等方差数列，D正确故选：B8、A【解析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题【详解】∵∴∵函数是上的单调增函数∴在上恒成立∴，即.∴故选A.【点睛】可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解.9、A【解析】由题意条件和，可建立一个关于的方程组，解出的值，然后再将带入到中去验证其是否满足在处有极小值，排除增根，即可得到答案.【详解】由题意可得，则，解得，或．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递增，在上单调递减，故在处有极大值5，不符合题意．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增，故在处有极小值5，符合题意，从而故选：A.10、B【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案【详解】存在量词命题的否定，只需把存在量词改成全称量词，并把后面的结论否定，所以“，使”的否定为“，有”，故选：B.11、A【解析】由题可得，利用与的关系即求.【详解】∵a1=1，－=1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，即，∴当时，，当时，也适合上式，所以故选：A.12、B【解析】如果不合礼，那么就不听.转化为它的逆否命题.即可判断出答案.【详解】如果不合礼，那么就不听的逆否命题为：如果听，那么就合理.故“合礼”是“听”的必要条件.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答.【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，，由双曲线定义知：，即，，，所以双曲线的渐近线为：.故答案为：【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.14、5【解析】根据抛物线的定义知点P到焦点距离等于到准线的距离即可求解.【详解】因为抛物线方程为，所以准线方程，所以点到准线的距离为，故点到该抛物线焦点的距离.故答案为：15、①.②.【解析】根据直角三角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接，由于是圆的切线，所以.在中，，所以，所以，所以直线的斜率.，根据椭圆的定义可知.故答案为：；【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.16、【解析】根据与关系求解即可.【详解】当时，，当时，，检验：，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，使，连接，即可得到，从而得证；（2）设，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解面与面的夹角余弦值为，从而得到方程，解得即可【小问1详解】证明：如图，连，使，连，由直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，在中，、分别为和中点，，又因平面平面，面，面，平面【小问2详解】解：设，以为坐标原点如图建系，则，，所以、，设平面的法向量则，故可取设平面的法向量，则，故可取，因为面与面的夹角余弦值为，所以，即，解得，18、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的离心率为，且过点，由求解；（2）设直线AC方程为，则直线BD的方程为，分时，与椭圆方程联立求得A，B的坐标，再利用数量积求解.【小问1详解】解：因为椭圆的离心率为，且过点，所以，所以，所以椭圆的方程为；【小问2详解】设直线AC的方程为，则直线BD的方程为.当时，联立，得，不妨设A，联立，得，当B时，，，当B时，，，当时，同理可得上述结论.综上，19、(1);(2)见解析.【解析】(1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程;(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设,直线,则直线分别和抛物线方程联立,解得利用,结合直线方程,即可证得直线的斜率为定值.【详解】(1)设,则,两式相减,得:由弦中点纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程.(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理.直线的斜率为定值.【点睛】本题考查应用点差法处理中点弦问题,直线与抛物线中,斜率为定值问题,考查分析问题的能力,考查学生的计算能力,难度较难.20、（1）（2）（3）分【解析】（1）根据频率之和为列方程来求得跳绳个数在区间的小矩形的高.（2）根据百分位数的计算方法计算出合格分数线.（3）根据平均数的求法求得名学生的平均得分.【小问1详解】设跳绳个数在区间的小矩形的高为，则，解得.【小问2详解】第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为，第六组的频率为，所以第百分位数为.也即合格分数线为.【小问3详解】名学生的平均得分为分.21、（1）；（2）.【解析】（1）求出直线的方程，然后联立直线、的方程，即可求得点的坐标；（2）设，可求得线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，可求得的