云南省邵通市水富县云天化中学2026届高二上数学期末联考模拟试题含解析

云南省邵通市水富县云天化中学2026届高二上数学期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.2．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）A. B.C. D.3．直线在y轴上的截距为（）A. B.C. D.4．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.165．已知直线与直线垂直，则实数a为（）A. B.或C. D.或6．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.7．设为数列的前n项和，，且满足，若，则（）A.2 B.3C.4 D.58．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440 B.330C.220 D.1109．已知x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.3 B.C.1 D.10．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（）A B.C. D.11．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为A. B.或C. D.12．已知函数在处取得极小值，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为________14．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为________15．若是直线外一点，为线段的中点，，，则______16．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的右焦点是椭圆上的一动点，且的最小值是1，当垂直长轴时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆相切，且交圆于两点，求面积的最大值，并求此时直线方程.18．（12分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，点在线段上.（1）当直线与平面所成角最大时，求线段的长度；（2）是否存在这样的点，使平面与平面所成的二面角的余弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，说明理由.19．（12分）如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过点作轴的平行线交轴于点，过点的直线与椭圆交于两个不同的点、，直线、与轴分别交于、两点，若，求直线的方程；（3）在第（2）问条件下，点是椭圆上的一个动点，请问：当点与点关于轴对称时的面积是否达到最大？并说明理由.21．（12分）已知：（常数）；：代数式有意义（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围22．（10分）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4（1）求抛物线C的方程（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由椭圆定义可得各边长，利用三角形相似，可得点坐标，再根据点在椭圆上，可得离心率.【详解】如图所示：因为为等腰三角形，且，又，所以，所以，过点作轴，垂足为，则，由，，得，因为点在椭圆上，所以，所以，即离心率，故选：B.2、D【解析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.【详解】若，则，而，此时，这与题设不合，故，故，故，而，故，此时不确定，故选：D.3、D【解析】将代入直线方程求y值即可.【详解】令，则，得.所以直线在y轴上的截距为.故选：D4、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C5、B【解析】由题可得，即得.【详解】∵直线与直线垂直，∴，解得或.故选：B.6、B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B7、B【解析】由已知条件可得数列为首项为2，公差为2的等差数列，然后根据结合等差数列的求和公式可求得答案【详解】在等式中，令，可得，所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，因为，所以，化简得，，解得或（舍去），故选：B8、A【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.Ⅱ卷9、A【解析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.10、C【解析】由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.【详解】由底面是正方形，E为的中点，且，根据向量的运算法则，可得.故选：C.11、D【解析】“”是“”的充分不必要条件，结合集合的包含关系，即可求出的取值范围.【详解】∵“”是“”的充分不必要条件∴或∴故选：D.【点睛】本题考查充分必要条件，根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围.解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.12、A【解析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数的值.【详解】由条件可知，，，解得：，，检验，时，当，得或，函数的单调递增区间是和，当，得，所以函数的单调递减区间是，所以当时，函数取得极小值，满足条件.所以.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先根据和项与通项关系得通项公式，再根据等比数列求和公式得，再根据函数单调性得取值范围，即得取值范围，解得结果.【详解】因为是6和的等差中项，所以当时，当时，因此当为偶数时，当为奇数时，因此因为在上单调递增，所以故答案为：【点睛】本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.14、##0.75【解析】根据椭圆和双曲线定义用长半轴长和实半轴长表示出撤掉装置前后的路程，然后由已知可解.【详解】记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆和双曲线的定义有：，得，即，又由椭圆定义知，，因为，所以，即所以.故答案为：15、【解析】根据题意得到，进而得到，求得的值，即可求解.【详解】因为为线段的中点，所以，所以，又因为，所以，所以故答案为：.16、【解析】根据圆柱表面积公式求解即可.【详解】根据题意得到圆柱的高，底面半径，则表面积.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值为1，得到，再由，结合，求得的值，即可求得椭圆的方程.（2）设切线的方程为，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，点椭圆上的一动点，且的最小值是1，得，因为当垂直长轴时，可得，所以，即，又由，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意知切线的斜率一定存在，否则不能形成，设切线的方程为，联立，整理得，因为直线与椭圆相切，所以，化简得，则，因为点到直线的距离，所以，即，故的面积为，因为，可得，即，函数在上单调递增，所以，当时取等号，则，即面积的最大值为.当时，此时，所以直线的方程为.【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.18、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大；（2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得.【小问1详解】直线PN与平面A1B1C1所成的角即为直线PN与平面ABC所成角，过P作,即PN与面ABC所成的角，因为PH为定值，所以当NH最小时线面角最大，因为当P为中点时，,此时NH最小，即PN与平面ABC所成角最大，此时.【小问2详解】以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间坐标系，则：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)设=，，，设平面PMN的法向量为，则，即，解得，平面AC1C的法向量为,.所以P点为A1B1的四等分点，且A1P=.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则.，，所以,由于，所以平面.（2），，设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.20、（1）；（2）；（3）当点与点关于轴对称时，的面积达到最大，理由见解析.【解析】（1）设，可得出，，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程；（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知可得，结合韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程；（3）设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，由判别式为零可求得，分析可知当点为直线与椭圆的切点时，的面积达到最大，求出直线与椭圆的切点坐标，可得出结论.【小问1详解】解：因为，设，则，，所以，椭圆的方程可表示为，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，因此，椭圆的方程为.【小问2详解】解：设线段的中点为，因为，则轴，故直线、的倾斜角互补，易知点，若直线轴，则、为椭圆短轴的两个顶点，不妨设点、，则，，，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，，，则，所以，解得，因此，直线的方程为.【小问3详解】解：设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为，联立，可得（*），，解得，由题意可知，当点为直线与椭圆的切点时，此时的面积取最大值，当时，方程（*）为，解得，此时，即点.此时，点与点关于轴对称，因此，当点与点关于轴对称时，的面积达到最大.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值21、（1）；（2）.【解析】（1）若，分别求出，成立的等价条件，利用为真，求实数的取值范围；（2）利用是的充分不必要条件，建立不等式关系即可求实数的取值范围【详解】：等价于：即；：代数式有意义等价于：，即，（1）时，即为，若“”为真命题，则，得：故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，，（2）记集合，，若是成立的充分不必要条件，则是的真子集，因此