重庆市双桥教育集团2025~2026学年九年级上册第二次阶段检测数学试题【附解析】

/重庆市双桥教育集团2025−2026学年九年级上学期第二次阶段检测数学试题一、单选题1．下列数既不是正数，也不是负数的是（

）A．0 B． C． D．2．下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．3．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（

）A．手可摘星辰 B．黄河入海流 C．大漠孤烟直 D．鱼戏莲叶东4．如图，点A，B，C在上，，的度数是（

）A． B． C． D．5．抛物线的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线6．下列命题是真命题的是（

）A．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．90°的圆周角所对的弦是直径D．六边形的内角和是540°7．下列图形都是由同样大小的“◆”按一定的规律组成，从左往右看，第一个图形一共有2个“◆”，第二个图形一共有7个“◆”，第三个图形一共有14个“◆”，…，则第八个图形中“◆”的个数为（

）A．47 B．49 C．62 D．798．五一假期，吴老师开车自驾前往中山古镇游玩，他开车离开家时，由于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，终于行驶在畅通无阻的高速公路上，大约八十分钟后，汽车顺利到达中山收费站，经停车缴费后，进入车流量较小的道路，很快就到达了中山古镇景区。在以上描述中，汽车行驶的路程s（千米）与所经历的时间t（小时）之间的大致函数图象是（

）A．

B．

C．

D．

9．若关于x的不等式组无解，且关于y的方程+＝1的解为正数，则符合题意的整数a有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．已知（是各项的系数，是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，如果，则它的伴随多项式，下列说法：①已知，则它的伴随多项式；②已知，它的伴随多项式，则；③已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，则符合条件的的整数值有4个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．去年，某主城机动车拥有量达2151000辆，其中汽车为965000辆，增速和增幅达到历年之最，请将数据965000用科学记数法表示为．12．一个不透明盒子里装有3个红球、2个白球和5个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是．13．已知点，都在函数的图象上，则．（填“”或“”或“”）14．如图，点B，点C，点D都在直径为6的上，过C点作交的延长线于点A，连接，，则图中阴影部分的面积等于．（结果保留π）15．如图，中，，边，过点作于点，点是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，若点为中点，则边．16．对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大，个位数字比十位数字大，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”．将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最小的“叁叁数”是；已知，都是“叁叁数”，其中，（，，，且，，，，均为整数），若为完全平方数，且满足除以的余数为，则的值为．三、解答题17．解下列方程（1）

（2）18．在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明发现：在等腰中，，点是的中点，过点作交的延长线于点，的平分线与延长线相交于点，连接，则四边形为菱形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空：（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交延长线于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：四边形为菱形．证明：∵，∴______，∵是的中点，∴，在和中，∴∴______，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴______，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；小明进一步研究发现：若，则四边形为_________．19．近日，榨菜咖啡走红网络，咖啡主理人受涪陵榨菜三腌三榨传统工艺启发，将榨菜的咸鲜与咖啡的醇苦融合，形成“咸引醇，脆衬柔”的复合体验．主理人准备推出新品“浮云沉香”，招募了一批咖啡体验员，分成了青年组和中年组两组，分别对“浮云沉香”打分．从这两组对咖啡的喜爱度打分中各随机抽取了个体验员的打分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（分数用表示，分为四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：抽取的青年组的打分：66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100；抽取的中年组打分在组的数据：，，，，，，．抽取的对“浮云沉香”的打分情况统计表组别平均数中位数众数组所占百分比青年组中年组根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：________，________；________；（2）根据以上数据，你认为咖啡正式上市后，会更受青年、中年哪个年龄段的人喜欢？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若共有人对咖啡进行打分，估计其中打分在等级的人数．20．先化简，再求值：，其中．21．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每30元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价40元时，每天可售出200套；若每套售价提高1元，则每天少卖2套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？22．如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，．

（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．23．如图，四边形是某公园游览步道．我班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正西方向、点在东北方向，在点处测得点在正东方，点在南偏西方向；第二小组测得米．（参考数据：，）（1）计算的长度；（2）某同学欲从去往处，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米）24．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标；25．已知，在中，，，E是边上一点．（1）如图1，点是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接．若，，求的面积；（2）如图2，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，连接．试探究线段，，之间的数量关系；（3）如图3，连接，为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点是点关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最小值时，请直接写出的值．

答案1．【正确答案】A【分析】本题考查实数的分类，掌握实数的分类方式是解题关键．实数分为正实数、0和负实数，根据分类判断即可．【详解】实数分为正实数、0和负实数，故既不是正数也不是负数的数为0，故选A．2．【正确答案】A【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形和中心对称图形的特征是解题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的特征逐项判断即可．【详解】选项A：有对称轴，旋转180°后可以与原图形重合，故既是轴对称图形又是中心对称图形；选项B：有对称轴，但旋转180°后不能与原图形重合，是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项C：无对称轴，旋转180°后可以与原图形重合，不是轴对称图形，是中心对称图形；选项D：有对称轴，但旋转180°后不能与原图形重合，是轴对称图形，但不是中心对称图形；故选A．3．【正确答案】A【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意；B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意；C、大漠孤烟直是随机事件，故本选项符合题意；D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意；故选A4．【正确答案】D【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，．故选D．5．【正确答案】D【分析】本题考查抛物线的对称轴，掌握抛物线顶点式的性质是解题关键．抛物线的对称轴是直线，观察所给顶点式，判断对称轴即可．【详解】∵，∴对称轴为直线，故选D．6．【正确答案】C【分析】本题综合考查命题的真假、菱形的判定、等边三角形的对称性、圆周角定理和多边形内角和定理，掌握所学数学概念进行判断是解题关键．根据所学数学概念，逐项判断即可．【详解】选项A：对角线相等且垂直的四边形不一定是菱形，还需要对角线平分的条件，故选项A是假命题；选项B：等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形（旋转180°不重合），故选项B是假命题；选项C：根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，故选项C为真命题；选项D：六边形内角和为，故选项D为假命题，故选C．7．【正确答案】D【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，得出规律，解决问题．先根据题意找出其中的规律，即可求出第八个图形中◆的个数．【详解】解：第一个图形一共有2个◆，第二个图形一共有：个◆，第三个图形一共有个◆，第四个图形一共有个◆，…第八个图形一共有：个◆．故选D．8．【正确答案】B【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．【详解】随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除C，D，由于经停车交费后，汽车进入通畅的城市道路，一会就顺利到达了中山古镇景区，故此时间段应该是走势比较陡，故选B．9．【正确答案】D【分析】根据不等式组无解求出a的取值范围，根据分式方程求出y的值再结合分式方程的解为正数即可得出答案．【详解】解：不等式整理得：，由不等式组无解，得到a+3＞1，解得：a＞﹣2，分式方程去分母得：2﹣y﹣a＝y﹣2，解得：y＝，由分式方程的解为正数，得到＞0且≠2，解得：a＜4，且a≠0，∴﹣2＜a＜4，且a≠0，a为整数，则符合题意整数a的值为﹣1，1，2，3，共4个，故选D．10．【正确答案】C【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程，根据新定义运算即可判断①；根据题意得出，解方程即可判断②；根据题意得出，得到，结合题意得出或或或，求解即可，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．【详解】解：①已知，则它的伴随多项式，故①正确；②已知，则它的伴随多项式，∴，解得：或，故②错误；③二次多项式，则它的伴随多项式是，∴，解得：，∵关于x的方程有正整数解，∴或或或，解得：或或或，即a的整数值有4个，故③正确；故选C．11．【正确答案】【分析】本题考查科学记数法的表示，掌握科学记数法的表示方式，并找对所给数据的位数是解题关键．将数据965000用科学记数法表示，需确定系数a和指数n的值，根据数据按照科学记数法的表示方式表示即可．【详解】由科学记数法的表示形式：，，故对于数据965000，将小数点向左移动5位，得到9.65，所以，，所以．12．【正确答案】【分析】本题考查古典概型求概率，掌握古典概型求概率的公式是解题关键．从中任意摸出1个球共有10种等可能结果，其中摸到红球的有3种结果，根据概率公式计算即可．【详解】，故共有10个球，从中任意摸出1个球，有10种等可能的结果，其中红球有3个，故，因此摸到红球的概率是．13．【正确答案】【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．首先确定二次函数图象的对称轴为，根据二次项系数可知图象开口向上，根据点，的横坐标和对称轴的位置即可判断的大小．【详解】解：∵二次函数，∴其对称轴为直线，又∵二次项系数，∴二次函数开口向上，图象上的点的横坐标距离对称轴越远，点的纵坐标越大，∵，，，∴．14．【正确答案】【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，找到阴影面积可以由哪些规则图形的面积作和或差得到是解题关键．连接，通过平行关系得到，通过圆周角定理得到，从而得到，再通过用三角形面积减去扇形面积作差即可得到阴影面积．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵直径为6，∴半径为3，∴，，∴，∴，∴，∴阴影部分的面积为.15．【正确答案】【分析】过点F作交延长线于点H，由已知可求得，再证明，得；在中可求得，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F作交延长线于点H，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∵F是的中点，∴，∴，由勾股定理得，∵，∴，∴，，∵绕点逆时针旋转得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴；在中，，由勾股定理得：，∴，∴，∴.16．【正确答案】；【分析】本题考查了新定义，整式加减的应用，二元一次方程的应用，设，则，则，，要取最小的“叁叁数”，则取最小值，则最小值为，又各个数位上的数字均不为零且互不相等，所以取最小值，则最小值为，从而求得最小的“叁叁数”是，由，所以，从而得，，然后求出，则有，然后可得或或或，再求出或（舍去）即可，解题的关键是准确理解题意，列出二元一次方程求解．【详解】解：设，则，∵，，∴要取最小的“叁叁数”，则取最小值，则最小值为，∵各个数位上的数字均不为零且互不相等，∴取最小值，则最小值为，∴最小的“叁叁数”是，设，则，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∵除以的余数为，，∴，或（此时不是“叁叁数”，舍），∴，∵为完全平方数，，，∴为，，，，∴或或或，即或或或，解得：或（舍去），∴，，∴的值为.17．【正确答案】（1），；（2），【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可.【详解】（1）∵，∴∴，；（2）提公因式得：∴或∴，；18．【正确答案】（1）见详解；（2）；；；正方形．【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形、正方形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．（）作平分线即可；（）由，则，证明，所以，再证明四边形是平行四边形，又，从而可知平行四边形是菱形，再通过正方形的判定即可求证．【详解】（1）解：如图，（2）证明：四边形为菱形．证明：∵，∴，∵是的中点，∴，在和中，∴∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；小明进一步研究发现：若，则，则四边形为正方形.19．【正确答案】（1），，；（2）更受中年组年龄段的人喜欢，理由：中年组中位数高于青年组中位数，中年组众数高于青年组中位数（答案不唯一）；（3）估计其中打分在等级的人数为人．【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数，样本估算总体，扇形统计图，掌握知识点的应用是解题的关键．（）先求出组所占百分比为，然后通过，从而求出，再由中年组中位数为第个和第个数据，即落在组，再把数据从小到大排序即可得到的值，根据由抽取的青年组打分可知出现次最多，从而求出的值；（）通过中位数、众数进行分析即可；（）根据题意列出即可求解．【详解】（1）解：∵抽取的中年组打分在组的数据：，，，，，，，共个，∴组所占百分比为，∴组所占百分比为：，∴，∴中年组组人数为（人），组人数为（人），组人数为人，组人数为（人），∴中年组中位数为第个和第个数据，即落在组，由，，，，，，从小到大排序为：，，，，，，，∴，由抽取的青年组打分可知出现次最多，∴.（2）解：更受中年组年龄段的人喜欢，理由：中年组中位数高于青年组中位数，中年组众数高于青年组众位数（答案不唯一）；（3）解：青年组组人数为人，中年组组人数为人，∴（人），答：估计其中打分在等级的人数为人．20．【正确答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，求立方根及零指数幂，正确化简分式是关键；按照分式的混合运算顺序，先计算括号里的减法，再计算除法，求出m的值，再代入求值即可．【详解】解：，，原式．21．【正确答案】（1）；（2）每套售价定为85元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是6050元．【分析】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，根据题意正确列式是关键．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元，根据题意列式即可；（2）根据总利润（售价进价）销售量列式，得到，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元，由题意得：，即该商品销售量y与x之间的函数关系式为（2）解：由题意得：，，当时，有最大值，最大值为，答：每套售价定为85元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是6050元．22．【正确答案】（1），；（2）画见详解，当时随的增大而增大（答案为不唯一）；（3）当时，．【分析】（）根据题意当时，，当时，，当时，，（）根据画函数图象的方法即可求解；（）通过函数图象即可求解；本题考查了函数图象的性质，画函数图象，矩形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，由题意得：，，当时，，当时，，当时，，∴，；（2）解：列表：描点：连线：当时随的增大而增大（答案为不唯一）；（3）解：根据图象可知：当时，．23．【正确答案】（1）的长度为米（2）线路①的路程较短【分析】本题考查勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键：（1）作于点，作于点，则：，，在中求出的长，在中求出的长即可；（2）求出两条路径的长，进行比较判断即可．【详解】（1）解：作于点，作于点，由题意，可得：，，，在中，，，∴，∴，，在中，，∴；答：的长度为米；（2）由①知：，∴，选择线路①的路程为：米；选择路线②的路程为：米；∵，故选择线路①的路程较短．24．【正确答案】（1）（2）最大值