天津市红桥区2025~2026学年上册九年级期末数学试题【附解析】

/天津市红桥区2025−2026学年上学期九年级期末数学试卷一、单选题1．在一些美术字中，有的汉字是中心对称图形．下面4个汉字中，可以看作是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（

）A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件3．的值等于（

）A．1 B． C． D．4．方程的两个根为（

）A． B．C． D．5．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．在分别写有的四张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（

）A． B． C． D．7．如图，线段，相交于点，，若，，，则线段的长为（

）A．3 B．6 C．9 D．118．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（

）A． B．C． D．9．如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（

）A． B． C． D．10．如图，在正方形中，点在边上，将以点为中心逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长与边相交于点，连接，下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．11．如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（

）A． B．8 C． D．1012．小明很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，上抛和下降的飞行路径可看作是抛物线的一部分，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分，且当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段．有下列结论：①当时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为；②当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，的值为；③当时，小明的前方有一堵高的围栏，若纸飞机可以顺利飞过围栏，则小明距离围栏的水平距离最少为，最多为．其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13．不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、4个绿球、2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．14．在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，的大小为（）．15．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是．16．将抛物线向上平移个单位长度，若平移后的抛物线与轴有两个不同的公共点，则的值可以是（写出一个即可）．17．如图，在中，为斜边的中点，．（1）线段的长为；（2）过点作的垂线，与相交于点，若，则边的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形的顶点在格点上，以为直径的圆经过点，连接．（1）的大小等于（度）；（2）点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题19．如图，在中，，，，求，，的值．20．已知反比例函数（为常数，）．（1）若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围；（2）若点在该反比例函数的图象上．①求该反比例函数的解析式；②当时，求的取值范围．21．已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点．（1）如图①，若，求的大小；（2）如图②，若，，求弦的长．22．已知为的直径，交于点，为上一点，与相交于点，过点作的切线交的延长线于点．（1）如图①，若，求的大小；（2）如图②，若，，求线段的长．23．四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．设运动的时间为．当时，点的位置如图①所示．当时，的面积（单位：）与运动的时间（单位：）之间的对应关系如图②所示．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：运动的时间2345的面积32②填空：四边形的边的长为_______cm；③请直接写出的面积与运动的时间之间的函数解析式；（2）当的面积时，求运动的时间的值（直接写出结果即可）．24．在平面直角坐标系中，为原点，是等边三角形，点，点在第一象限，为边的中点．以点为中心，逆时针旋转，得，点，的对应点分别为．记旋转角为，其中．（1）填空：如图①，当时，与相交于点，点的坐标为_____，点的坐标为_____；（2）如图②，当时，与轴相交于点，求点，的坐标；（3）为线段的中点，求的面积的取值范围（直接写出结果即可）．25．已知抛物线．（1）当时，求抛物线的顶点的坐标；（2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点，为线段上横坐标为的点．①过点作轴的垂线，分别与抛物线、直线相交于点，当取得最大值为9时，求的值；②连接，当取得最小值为时，求的值．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义“一个图形绕某一点旋转后能够和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选B．2．【正确答案】C【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件．【详解】解：∵交通信号灯的变化是随机的，∴经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号，∴该事件是随机事件．故选C．3．【正确答案】C【分析】本题考查了二次根式的乘法，特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．直接代入已知三角函数值计算即可．【详解】解：∵，，∴，故选C．4．【正确答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答．【详解】解：∵，∴，解得，故选D．5．【正确答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先利用一元二次方程根与系数的关系判断出m和n的符号，从而确定点所在象限．【详解】解：设方程的两个实数根为，，且，，则，，，所以，，所以的横坐标为正，纵坐标为负，该点位于第四象限，故选D．6．【正确答案】B【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．【详解】解：由题意，列表如下：1212共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有4种；∴；故选B．7．【正确答案】C【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线得到，即可求出长，再根据线段的和差解答即可．【详解】解：∵，∴，即，解得，∴，故选C．8．【正确答案】A【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．根据反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入函数关系式计算各点的横坐标，再比较大小．【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，∴，，，∴，即，故选A．9．【正确答案】B【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，根据矩形的性质，证明，得到，证明，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：过点作，如图所示：则，∵矩形，，是边上的三等分点，，，∴，，，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴；故选B．10．【正确答案】B【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，先根据正方形的性质和旋转的性质得到，，，然后根据得到，即可得到证明选项．【详解】解：∵是正方形，∴，，由旋转可得，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，故选B．11．【正确答案】A【分析】本题考查作垂线，勾股定理，圆的相关定义，根据作图得到，然后根据勾股定理求出长，然后再在中求出长即可．【详解】解：连接，由作图可知，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，故选A．12．【正确答案】D【分析】根据进入滑行阶段的函数解析式与，，可求得此时的函数值，以此可判断①；当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，此时纸飞机已在滑行阶段，由此可求得的值，从而可判断②；先求出直线的解析式，再根据小明的前方有一堵高的围栏，求出抛物线的解析式中的范围，再当时，求出一次函数的值，再求出当时，的范围，两个范围合并即可得出小明距离围栏的水平距离最少与最多的值，由此可判断③．【详解】解：因为当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分，所以当，时，，故①正确；落地点在，此时纸飞机已在滑行阶段，所以落地点在直线上，且此时，所以，所以，又因为在处，抛物线与直线高度相等，所以，所以，故②正确；当时，，，当时，，解得：，所以直线的解析式为，，当时，，解得：，，所以当时，，又，，所以，当时，，解得：，所以当时，，又，，所以，所以当时，飞机高度，可以飞过，所以小明距离围栏的水平距离最少距离为，最多为，故③正确，综上所述，三个结论都正确，故选D．13．【正确答案】【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解概率公式．根据概率的定义，绿球的数量与总球数的比值即为所求概率．【详解】解：因为不透明袋子中装有9个球，其中绿球有4个，所以从袋子中随机取出1个球是绿球的概率为.14．【正确答案】2【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．根据反比例函数关系，设，利用已知条件求出比例系数，再代入计算的值．【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为（）．当时，，代入，得，解得：．因此反比例函数表达式为．当时，．15．【正确答案】【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式，列出不等式求出m的取值范围即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根，∴，即，解得.16．【正确答案】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象与轴的交点坐标，先求出平移后抛物线的解析式，再根据时对应的一元二次方程的判别式求出的取值范围即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：把抛物线向上平移个单位后得到的解析式为，即，∵平移后的抛物线与轴有两个不同的公共点，∴方程有两个不等实根，即，解得，∴可取任意大于的数，例如.17．【正确答案】；【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质求解；（2）通过延长中线，再证明四边形是矩形，接着说明垂直平分，然后用勾股定理得到关于的方程求解，再利用勾股定理求得．【详解】（1）解：∵在中，，D为斜边的中点，，∴​．（2）解：延长到点F，使，连接、、，如图．∵D为斜边的中点，∴，∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴平行四边形是矩形．∴，，，．∴，∵，∴是线段的垂直平分线．∴．∵，∴．∴．∴，∴，又，∴，∴，∴，∴（舍去）或，∴．18．【正确答案】；取圆与网格线的交点，，连接交于点，连接并延长交圆于点，连接交于点，则点即为所作【分析】本题考查圆周角定理的推论，矩形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．（1）根据直径所对的圆周角是直角解答即可；（2）先构造矩形，连接交于点，点即为圆心，然后连接并延长交圆于点，即可得到，然后连接交于点，根据圆周角定理的推论得到结论即可．【详解】解：（1）∵是圆的直径，∴.（2）如图，取圆与网格线的交点，，连接交于点，连接并延长交圆于点，连接交于点，则点即为所作．理由为：∵是圆的直径，∴，∴是矩形，∴，即为圆的圆心，∴，∴．19．【正确答案】，，【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．根据正弦、余弦、正切的定义求解即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，，．20．【正确答案】（1）（2）①②【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）结合在其图象的每一支上，随的增大而增大，得，故，即可作答．（2）①直接把代入，进行计算，得，故，②先分别算出把代入，得；把代入，得；再结合反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，进行分析，即可作答．【详解】（1）解：∵反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而增大，∴，解得；（2）解：①依题意，把代入，得，解得，∴；②由①得，依题意，把代入，得；把代入，得；∵中的，∴反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，∴当时，则．21．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角性质，垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．（1）根据等边对等角得到，，然后根据三角形的外角性质得到解答即可；（2）根据（1）中结论求出，过点O作于点F，则，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可【详解】（1）解：连接，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：由（1）可得，，过点O作于点F，则，∵，，∴，∴，∴．22．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理，掌握切线的性质定理是解题的关键．（1）连接，根据等边对等角得到，然后根据切线的性质得到，即可求出的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等求出的度数，再根据三角形的内角和解答即可；（2）连接，仿照（1）的解答即可得到，设，在中利用勾股定理求出x的值，然后根据线段的和差解答即可．【详解】（1）解：连接，∵，∴，∵，∴，又∵是的切线，∴，∴，∴，（2）解：连接，∵，∴，∵，∴，又∵是的切线，∴，∴，∴，设，则，∴，在中，，即，解得，∴．23．【正确答案】（1）①；；

②

③（2）或【分析】本题考查动点的图象，勾股定理，解直角三角形，根据点的运动过程分段计算函数解析式是解题的关键．（1）①根据值，判断点M的位置，然后根据三角形的面积公式计算即可；②根据勾股定理计算即可；③分为；；三种情况，根据点M的位置，利用解直角三角形和三角形的面积公式计算即可；（2）分为三种情况，令，解方程求出时间的值即可【详解】（1）①解：当时，点M在上，，，，∴；当时，点M在上，，，，∴；当时，点M在上，，，∴.运动的时间2345的面积32；②过点D作于点E，∵，，∴，∴是矩形，∴，，∴，∴.③当时，点M在上，，，∴，∴；当时，点M在上，，∴，∴；当时，点M在上，如图，过点M作于点F，，∵，∴，∵，∴；综上所述；（2）解：当时，令，解得（舍）或，当时，令，解得：（不符合题意，舍去），当时，令，解得或（不符合题意，舍去），综上所述，当的面积时，求运动的时间的值为或．24．【正确答案】（1），（2），（3）【分析】（1）先根据等边三角形的性质和，得出，，从而可得，，，再求出，从而可得，进而求得，从而可求得点的坐标，然后分别求出直线的表达式，直线的表达式，联立可求得；（2）先根据旋转的性质得出，，，，从而可求得点，再说明是等腰直角三角形，，然后利用勾股定理求得，从而可求得，于是可得，再利用解直角三角形求得点的坐标；（3）先画出图形，确定点M运动的路径，再确定的面积最大、最小时的位置，再求解即可．【详解】（1）解：∵是等边三角形，，∴，，∵为边的中点，∴，，，∴，∴，∵以点O为中心，逆时针旋转，得，旋转角为，∴，，，∴，点的横坐标为，纵坐标为，∴点，设直线的表达式为，则，∴，∴直线的表达式为，设直线的表达式为，∴，∴，∴直线的表达式为，，解得：，∴.（2）解：∵以点O为中心，逆时针旋转，得，旋转角为，∴，，，，∴点的横坐标为，纵坐标为，∴点，∵，∴，∴是等腰直角三角形，，∴，，，∴，∵，∴的对顶角为，∴点到y轴的距离为，点到x轴的距离为，∴点的横坐标为，纵坐标为，∴；