重庆市开州区德阳初中教育集团2025~2026学年上册第三次学业水平测试九年级数学试题【附解析】

/重庆市开州区德阳初中教育集团2025−2026学年上学期第三次学业水平测试九年级数学试卷一、单选题1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．3．若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（

）A．201 B．202 C．203 D．2054．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（

）A． B．C． D．5．下列事件中，为必然事件的是（

）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．13个人中至少有2人的出生月份相同C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7D．抛掷一枚硬币，正面朝上6．如图，点在中，若，则的度数是（

）A． B． C． D．7．如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若，则旋转角的度数为（

）A． B． C． D．8．某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（

）A． B．C． D．9．如图，在正方形中，为边上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，使得，连接和，令，则为（

）A． B． C． D．10．已知均为正数，为正整数．规定，下列说法：①若，则关于的方程有两个不相同的实数根；②若均为从小到大排列的连续正整数，且，则；③若，且，则中，小于2的数最多只有两个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是12．某校运动会有米、跳远、实心球、跳高四个运动项目，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项运动的概率是13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为14．在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则图中阴影部分的面积为15．如图，是的外接圆，，是的切线，，点E是弧的中点，连接，，若，，则，16．如果一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差的绝对值为1，那么称为“明德数”，那么最小的“明德数”是；若把的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称为“整明德数”．若（其中，，，且、y均为整数，M是“整明德数”，则满足条件的的最大值与最小值的和为．三、解答题17．解答下列各题：（1）解方程：．（2）计算：．18．四边形是菱形，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；若试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空．证明：四边形是菱形，，①___________，，是等边三角形．②___________．又，③___________．（三线合一）在和中，四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．平行四边形是菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形）19．今年12月学校组织学生进行安全教育竞赛，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：；；；），下面给出了部分信息：八年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：81，85，85，85，85，86，88，89．九年级20名学生竞答成绩是：65，67，72，79，83，85，87，87，88，89，89，89，89，90，91，94，97，99，100，100．年级平均数中位数众数八年级87a85九年级8788b八年级所抽取学生竞答成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中___________，___________，___________；（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生安全教育竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校八年级有学生600人，九年级有学生700人，请估计该校八、九年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共是多少？20．如图，为的直径，点在上，，，是的切线且，交的延长线于点（1）求的半径．（2）求的长．21．今年巫山文旅推出爬龙脊赏红叶活动，开州区徒步协会组织前往巫山龙脊山徒步．巫山文旅以每个30元的价格购进该款纪念币，以每个58元的价格出售．经统计，9月份的销售量为400件，11月份的销售量为625件．（1）求该款纪念币9月份到11月份销售量的月平均增长率？（2）经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商店为了增加销量，采用降价促销方式，调查发现，该纪念币每降价1元，月销售量就会增加25件．当该纪念币售价为多少元时，月销售利润达17500元？22．如图1，在矩形中，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，设点的运动时间为的面积为．（1）直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围：（2）在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质；（3）若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围．23．小陶和小乐计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从超市出发，从不同的道路到体育馆点，点在点的正东方向，点在点的西北方向，点在点的正西方向且在点的北偏西方向．米，米．（参考数据：）（1）求的长度；（结果保留根号）（2）小陶从出发沿方向慢跑，小陶速度均为90米每分，小乐也从出发沿方向慢跑．小乐速度均为80米每分，请计算说明两人谁先到达点．（结果精确到）24．抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式：（2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一个动点，轴交于点E，轴交y轴于点F；点M为x轴上的一个动点，连接，当最大时．求点P的坐标及的最小值；（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线的方向平移3个单位得到新抛物线，点Q为点P平移后的对应点，连接，，点M为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有M点的坐标．25．在中，，，绕点逆时针旋转角度得到．（1）如图1，若，连接交于点，若，求的长；（2）如图2，若，平分交于点，连接，过点作，在射线上取点使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明；（3）如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接、，当取得最小值时，点是直线上一动点将沿翻折得到，连接、，当同时取得最小值时，请直接写出的面积．

答案1．【正确答案】C【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念辨析，解决本题的关键在于准确理解并区分两种图形的概念．根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形和中心对称图形的定义；中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；逐个选项分析即可．【详解】解：选项A：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；选项B：既是轴对称图形，也是中心对称图形；选项C：是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D：不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C．2．【正确答案】D【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），判断各选项是否符合.【详解】选项A：含两个未知数和，故不符合题意；选项B：含两个未知数和，故不符合题意；选项C：分母含未知数，不是整式方程，故不符合题意；选项D：只含未知数，最高次数为，且为整式方程，符合题意．故选D．3．【正确答案】D【分析】该题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用方程根的定义，将所求表达式变形后代入求值．【详解】解：∵a是方程的实数根，∴，∴，∴，∴．故选D．4．【正确答案】A【分析】本题考查了二次函数的对称轴，属于基础题，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解题的关键．根据二次函数对称轴的公式可直接求解出结果．【详解】解：A、对称轴；

B、对称轴；

C、对称轴；

D、对称轴．

∴只有选项A的对称轴为．故选A．5．【正确答案】B【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，故A不符合题意；B、13个人中至少有2人的出生月份相同是必然事件，故B符合题意；C、掷一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故C不符合题意；D、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故D不符合题意；故选B．6．【正确答案】C【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；等腰三角形中，等边对等角；三角形内角和等于，熟练掌握以上性质和定理是解题的关键．由圆周角定理得，由得，最后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故选C．7．【正确答案】D【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．根据旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：由旋转的性质得：，∴，∴．故选D8．【正确答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月增长率为，根据进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．【详解】解：设进馆人次的月增长率为，由题意得，．故选A．9．【正确答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，解决本题的关键是求解出点H为的中点，进而得到为等腰三角形．作辅助线，延长交于点H，连接，先使用边角边的判定方法证明与全等，即可得，，再证明与全等，再证明为等腰三角形，再结合三角形内角和为即可求解度数．【详解】解：延长交于点H，连接，如图，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，使得，∴，在与中，，∴，∴，，，∴，在与中，，∴，∴，∵点为边上靠近点的三等分点，设，，则，，∴，在中，，即，整理可得，，∴，∴点H为中点，∴，即为等腰三角形，∴，∵，∴，∴，在中，，在中，则为故选B．10．【正确答案】D【分析】①根据题意求出关于的方程，利用判别式确定根的情况即可；②根据题意可知，，⋯，，则，再计算即可；③利用反证法推理即可．本题考查判别式，数字的变化规律，反证法的应用，熟练掌握一元二次方程判别式与根的关系，反证法的定义是解题的关键．【详解】解：①当时，，∴，∵，∴关于的方程有两个不相同的实数根；故①符合题意；②均为从小到大排列的连续正整数，且，∴，∴，故②符合题意；③假设中，小于2的数至少有三个，不妨设，，，，，⋯，，∴，，，，⋯，，∴，这与矛盾，∴中，小于2的数最多只有两个，故③符合题意．故选D．11．【正确答案】【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．12．【正确答案】【分析】本题考查概率的计算，通过列举法分析所有可能结果是解题关键．列出所有可能的选择结果，找出“选择同一项目”的结果数，代入概率公式计算．【详解】解：如图，为所有可能的选择结果．根据上表由种不同的情况，甲、乙选择同一种项目的情况为种，他们选择同一项目的概率为：．13．【正确答案】，【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及一元二次方程与二次函数的关系．先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可知，关于直线的对称点为，因此一元二次方程的根为1与；【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为，∴关于直线的对称点为，一元二次方程的根为与；即，．14．【正确答案】【分析】本题考查扇形的面积，矩形的性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是证明．证明，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形是矩形，，，，，，，.15．【正确答案】10；【分析】连接，与交于点G，过点D作交延长线于点F，连接，根据垂径定理得出，通过勾股定理求出的值，设的半径为r，则，利用三角形中位线定理得出的表达式，进而利用勾股定理列出方程求解r的值，从而得出的值；根据已知条件证明出，利用相似三角形对应边成比例的性质得出和的值，再证明得出和的值，最后利用勾股定理求出的值．【详解】解：如图，连接，与交于点G，过点D作交延长线于点F，连接，∵点E为中点，∴由垂径定理可知，，∴，在中，，由勾股定理得，，设的半径为r，则，∵，O为中点，G为中点，∴，在中，由勾股定理得，，∴，解得，∴，，∵是切线，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴，在中，.16．【正确答案】1182；10789【分析】本题主要考查整式的加减运算、分式的值及消元思想，熟练掌握整式的加减运算、分式的值及消元思想是解题的关键；设“明德数”的千位数字是e，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，由题意得，则可得最小“明德数”；由可知数M的千位数字是，百位数字是n，十位数字是x，个位数字是y，然后可得，进而分类进行求解即可．【详解】解：设“明德数”的千位数字是e，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，由题意得：，要使这个“明德数”为最小，则，∴最小的“明德数”是1182；∴，∴，∵∴数M的千位数字是，百位数字是n，十位数字是x，个位数字是y，∴，，∴或，当时，则，∵x、y、m、n均为整数，且M是“明德整数”，，，，，∴当或或或时，均符合题意；∴当时，；当时，；当时，；当时，；当时，则，同理可得：当时，；当时，；当是，；当时，；当时，；综上所述：满足条件的M的最大值为7627，最小值为3162，∴的最大值与最小值的和为：．17．【正确答案】（1）（2）【分析】本题主要考查了解一元二次方程和分式的运算，熟练掌握配方法和因式分解的方法是解本题的关键．（1）对一元二次方程进行配方，求解即可；（2）根据公式法分解因式化简后进行运算即可．【详解】（1）解：，，，，，．（2），，，，．18．【正确答案】图形见详解；；；；【分析】本题主要考查了垂线的画法，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据过已知点作已知直线的垂线的方法画出图形；再证明，可得，即可解答．【详解】解：如图，即为所求；证明：四边形是菱形，，，，是等边三角形．．又，．（三线合一）在和中，四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．平行四边形是菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形）19．【正确答案】（1）87，89，15（2）九年级学生安全教育竞赛的成绩较好，理由见详解（3）485人【分析】本题考查了众数、中位数的计算，统计量的意义及用样本估计总体．（1）根据众数、中位数的定义及扇形统计图的相关知识来求解即可；（2）通过比较两个年级成绩的中位数来判断哪个年级成绩更好；（3）利用样本中不低于90分的人数比例来估计总体中优秀的人数即可．【详解】（1）解：在八年级所抽取学生中，成绩中位数为第10、11位学生成绩之和的平均数，∴八年级A组成绩人数为：（人），∴第10、11位学生成绩分别为：88分、86分，∴，在九年级学生成绩中，出现成绩次数最多的是89分，共4次，∴，在八年级所抽取学生中，B组成绩人数占比为：，∴C组成绩人数占比为：，即.（2）解：九年级学生安全教育竞赛的成绩较好，理由：因为两个年级的平均数相同，但九年级学生的中位数大于八年级，所以九年级学生的安全教育竞赛成绩较好．（3）解：在九年级中成绩不低于90分的人数占比为：，∴该校九年级成绩不低于90分的学生人数为：（人），该校八年级成绩不低于90分的学生人数为：（人），∴总人数为：（人）．20．【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）过点作于点F．则，连接，证明四边形是正方形，则，求出，即可得到；（2）求出，证明，根据相似的性质进行解答即可．【详解】（1）解：过点作于点F．则，连接，∵是的切线，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴即的半径为；（2）∵四边形是正方形，∴,∴，∵为的直径，∴，∵，∴，∴∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∴∵，∴，∴∴解得21．【正确答案】（1）（2）55元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．（1）该款纪念币9月份到11月份销售量的月平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设该款纪念币售价为元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：该款纪念币9月份到11月份销售量的月平均增长率为，由题意得：，解得：（不符合题意，舍去）答：该款纪念币9月份到11月份销售量的月平均增长率为．（2）解：设该款纪念币售价为元，则每件的销售利润为元，根据题意得：，解得：，∵采用降价促销方式，（舍去），故，答：该款纪念币售价为55元时，月销售利润达17500元．22．【正确答案】（1）（2）见详解；当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（3）【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．（1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可；（2）用两点法画出函数图象，写出性质即可；（3）根据图象进行解答即可．【详解】（1）解：当时，，当时，，∴关于的函数关系式为；（2）解：当时，；当时，；当时，；∴函数图象过点，如图，即为所求，

当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小；（3）解：如图，当直线过点时，；当直线过点时，；∴当，直线与（2）中的函数图象有两个交点．23．【正确答案】（1）（2）小陶先到达点【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用三角函数求出相关线段长度，进而求得．先作、，利用和求，再结合矩形性质得，最后在中用三角函数求．（2）分别计算小陶和小乐到达点的路程与时间，路程依据图形线段关系确定，时间路程速度，比较时间判断谁先到达即可．本题主要考查了解直角三角形的实际应用（方向角问题）、矩形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义、矩形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）解：过点作交延长线于，过点作于．在中，米，，，米．由题意可得，，四边形中，、，与方向关系（在正东、在正西），∴，四边形是矩形，米．在中，，即．∴米；（2）解：∵，∴是等腰直角三角形，∴，由（）得四边形是矩形，∴，∵在中，，即．∴，∴，∴小陶所用时间为（分钟），小乐所用时间为（分钟），，∴小陶先到达点．24．【正确答案】（1）（2），（3）或【分析】（1）将已知点代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C坐标，设点，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据已知条件设，将通过含t的关系式表示出来，此时为开口向下的二次函数，有最大值，求得t值，再将t值代入点P坐标即可得出，延长交x轴于点H，作直线绕点A逆时针旋转的直线l，过点P作，交x轴于点M，当点Q，M，P三点共线时，的值最小，利用解含30°的特殊直角三角形的性质及勾股定理即可求得最小值；（3）先求出平移后的抛物线解析式，再分析题中已知条件，将角度进行转化，此时分情况讨论：①当点M在下方时：过点A作的平行线，交于点，设直线表达式，得到其k值，再设直线表达式为，求出后联立即可得到点的坐标；②当点M在上方时：过点作，证明出，设，利用相似三角形对应边成比例关系列出含m的方程并求解，随即得出点的坐标．【详解】（1）解：∵点A，点B在抛物线上，∴，解得，∴．（2）解：当时，，∴点，设点，直线的解析式为，∵直线经过点，，∴，解得，∴直线的解析式为，∵轴交于点E，∴，∴，∵轴交y轴于点F，∴，∴，当时，有最大值，∴点，此时点C与点F重合，