江西省多校联考2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题（湘教版）（含解析）

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线C:x²=8y的焦点坐标为A.(2,0)B.(0,2)C.(4,0)D.(0,4)时的瞬时速度为A.1.25m/sB.1.5m/sC.2.125m/sA.(1—√2,1+√2)B.(-1—√2,-1+√2)4.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且A.1260B.1060C.980【高二1月质量检测·数学第1页(共4页)】湘教|PF₂|=10a,则C的离心率为7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S₁₂=273S₄,且S₄≠0,则A.17B.188.某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l₁:ax-y-1=0,l2:x—ay+2=0,若L₁//L2,则l₁与l2间的距离可能为AB.√2CD.2√210.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为S,若a₈<0,a1+a1₄>0,则C.使得S>0的n的最大值为13D.数列是递减数列【高二1月质量检测·数学第2页(共4页)】湘教【高二1月质量检测·数学第3页(共4页)】湘教三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.3名同学计划去A,B,C,D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是.(用数字作答)13.已知函数f(x)=-ax²+Inx在[1,+∞]上单调递减，则实数a的取值范围为_14.已知点A是抛物线C:y²=x上位于第一象限内一点，B为C上位于第四象限内一点，O为坐标原点，OA⊥AB,且直线AB的斜率是直线OB的斜率的2倍，则直线OA的斜率为_四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知(n∈N*)的展开式的二项式系数和为64.(1)求n的值；(2)求展开式中的常数项.16.(本小题满分15分)已知椭圆C:1(a>b>0)的焦距为2,点在C上.(1)求C的方程；(2)若直线y=√2x+√2与C交于M,N两点，T17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ax³+bx(a,b∈R)在处取得极,g(x)=In(x+1).18.(本小题满分17分)已知数列{an}的前n项和为S,且满足S,=2an+2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记b=nan,求数列{b}的前n项和T;三项.19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=e-ax²—x—1(a∈R).(3)若对任意非零实数x1,x2,都有,求a的值.【高二1月质量检测·数学第4页(共4页)】湘教1.B由题知2p=8,p=4,故C的焦点坐标为(0,2).故选B.3.A由题知1²+(1-a)²<3,解得1—√2<a<1+√2.故选A.4.C由题知则,所以.故选C.端的站法有1440—480=960种.故选D.6.C设双曲线C的焦距为2c,不妨设点P在第一象限，则解得又PF₁⊥PF₂,所以16a²+36a²=4c²,即13a²=c,所以C的离心率.故选C.7.A设{an}的公比为q,则S₁₂=S₄+q⁴S₄+q⁸S₄=273S₄,解得q⁴=16,所以.故选A.8.C若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有C(Cl+C+C)=70种；若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有CC?=30种，所以满足条件的不同的派遣方案有70+30=100种.故选C.0,所以g'(x)<0,所以g(x)=x²·f(x)在(0,+∞)上单调递减.又f(x)为R上的奇函数，所以g(x)=x²·f(x)为R上的奇函数，所以g(x)=x²·f(x)在(-∞,0)上也单调递减.因为f(2)=0,所以g(2)=4·f(2)=0,g(-2)=g(x)=x²·f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以g'(2)<0,即2×[2·f(2)+2·f(2)]<0,所以f(2)<0,B正确；因为g(x)=x²·f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以g(1)>g(2),即f(1)>4f(2),C错误；因为g(x)在(0,+∞)上单调12.64由题意知每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是4³=64.【高二1月质量检测·数学参考答案第1页(共4页)】湘教【高二1月质量检测·数学参考答案第2页(共4页)】湘教13.,f(x)在[1,十∞]上单调递减，即y=—2ax²+1≤0在(1,+∞)14.1设点A,B的坐标分别为(x₁,y₁)(y₁>0),(x₂,y2)(y₂<0),则.因为OA⊥AB,所,整理得y?+y₁y₂=-1①.又直线AB的斜率是直线OB的斜率的2倍，所以,整理得y2=—2y₁②.由①②解得y₁=1,所以直线OA的斜率为1.15.解：(1)由题知2#=64,解得n=6.…………………5分(2)展开式的第r+1项为令12—3r=0,得r=4,故常数项为第5项，且T₅=C·(-2)⁴=240,即展开式中的常数项为240.………………………13分16.解：(1)由题知………………………3分所以C的方程……………7分(2)设M,N,T的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,ys),则△=8²-4×5×2=24>0,……11分所以…………13分………………15分由题知……………………4分由—3x²+1=1,得x=0,且f(0)=0,所以f(x)在(0,0)处的切线方程为y=x…………………11分又,由,得x=0,且g(0)=0,所以g(x)在(0,0)处的切线方程为y=x……………所以直线y=x与曲线y=f(x),y=g(x)均相切…………15分所以数列{an}是首项为—2,公比为2的等比数列，所以an=-2×2“-1=-2”,即—4×29=-4×20—2',整理得20=1+2一p-2………………………12分因为q一p≥1,r—p≥2,所以20D≥2,2一p-²≥1…………13分所以20-↗为偶数，故必有2-0²=1,即r—p-2=0,r=p+2…………15分又29一P=2,所以q=p+1…………………16分故ap,a,a,是数列{an〉中连续的三项……………………17分令f(x)>0,得x>0;令f'(x)<0,得x<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减………………2分(2)因为f(x)有两个极值点，所以子(x)=e²—2ax—1有两个零点.令g(x)=e²-2ax-1,则g'(x)=e²-2a.当a>0时，令g'(x)>0,得x>ln2a;令g'(x)<0,则x<ln2a,所以g(x)在(In2a,+∞)上单调递增，在(一∞,In2a)上单调若g(x)有两个零点，则g(ln2a)=2a-2aln2a-1<0……………………6分【高二1月质量检测·数学参考答案第3页(共4页)】湘教所以a的取值范围为.……………9分又f(0)=0,所以f(x)在(一∞,0)和(0,十∞)上均大于0,即f(x₁)f(x2)>0.若x₁,x2异号，则x₁x₂<0,那么不等式不成立