《机械设计基础》-第６章

６.１

扭距、扭矩图６.１.１扭转的概念由图６－１可以看出，杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反，作用面相互平行的力偶矩。杆件的变形特点是：各横截面绕轴线相对转过一定的角度，纵向线发生倾斜如图６－１所示。杆件的这种变形称为扭转变形。工程中把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。研究圆轴扭转问题的方法与研究轴向拉（压）杆问题类似，首先要计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最后进行轴的强度及刚度计算。下一页返回６.１

扭距、扭矩图６.１.２外力偶矩的计算为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往不是直接给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。功率、转速和力偶矩之间存在如下关系：６.１.３扭矩圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形时，其横截面上将产生内力。圆轴扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩Ｔ称为截面上的扭矩。上一页下一页返回６.１

扭距、扭矩图扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米（Ｎ·ｍ）及千牛·米（ｋＮ·ｍ）。扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手手心握着轴，四指沿扭矩的方向曲起，则大拇指的指向表示扭矩矢量的方向。拇指的方向离开截面，扭矩为正，如图６－２（ａ）、（ｂ）所示；反之，若拇指的方向指向截面，扭矩为负，如图６－２（ｃ）、（ｄ）所示。这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号相同。通常，扭转圆轴各截面上的扭矩是不同的，扭矩Ｔ是截面位置ｘ的函数。即上一页下一页返回６.１

扭距、扭矩图以与轴线平行的ｘ轴表示横截面的位置，以垂直于ｘ轴的Ｔ轴表示扭矩，则由函数Ｔ＝Ｔ（ｘ）绘制的曲线称为扭矩图，如图６－３所示。对于同一根轴来说，若把图６－３（ａ）中主动轮Ａ安置在Ｂ的位置，则该轴的扭矩图如图６－３（ｂ）所示。所以，传动轴主动轮和从动轮的安放位置不同，轴所承受的最大扭矩（内力）也就不同。显然，图６－３（ａ）的布局是不合理的。上一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件６.２.１圆轴扭转时横截面上的应力在研究了横截面的内力———扭矩后，还应考虑应力的计算。由于应力与变形有关，因此先从观察圆轴的扭转变形着手。取图６－４所示圆轴，在其表面画出一组平行于轴线的纵向线和横向线，表面形成许多小矩形。当轴上作用外力偶以后，可以观察到以下现象。（１）各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变化，各圆周线绕轴线转动了不同的角度。（２）所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度。下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件根据观察可知，圆轴横截面边缘上各点（即圆周线）变形后仍在垂直于轴线的平面内，且距轴线的距离不变。对于圆轴内部的变形由于无法观察，因而作出如下假设：假设圆轴扭转变形过程中，横截面始终保持为平面，且形状与大小均不变。这就是扭转变形的平面假设。在平面假设的基础上，扭转变形可以看做是各横截面像刚性平面一样，绕轴线做相对转动，由此可以得出。（１）扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。（２）扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了相对转动并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。上一页下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件（３）扭转变形时，由于圆轴的半径不变，故横截面上切应力的方向垂直于半径；再由横截面绕轴线转动时，其截面上每一条半径线都转过了相同的转角，因此半径上每一点滑移的一段弧长，便是各点的绝对剪切变形。从图上可以看出，距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪切比例极限内，切应力与切应变总是成正比，这就是剪切胡克定律。因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布规律如图６－５所示。因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布规律如图６－５所示。横截面上任一点处的切应力的大小，与该点到圆心的距离成正比。上一页下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件也就是说，在截面的圆心处切应力为零，在周边上切应力最大。显然，在所有与圆心等距离的点处，切应力均相等。实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布规律如图６－５所示，切应力的方向与扭矩的方向一致。在横截面上离圆心为ρ的点处，取微面积ｄＡ，如图６－６所示。微面积上的内力系的合力是ζρｄＡ，它对圆心的力矩等于ζρｄＡ·ρ，整个截面上这些力矩的总和等于横截面上的扭矩Ｔ，即上一页下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件将式代入式（６－２），得因Ｇ、ｄφ/ｄｘ均为常量，故式（６－３）可写成积分∫Ａρ２ｄＡ与横截面的几何形状、尺寸有关，它表示截面的一种几何性质，称为横截面的极惯性矩，用ＩＰ表示，即上一页下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件于是，式（６－４）可写成横截面上距圆心为ρ处的切应力计算公式为对于确定的轴，Ｔ、ＩＰ都是定值。上一页下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件因而最大切应力必在截面周边各点上，即ρ=Ｒ时ζρ＝ζｍａｘ若令则式（６－８）可写成如下形式ＷＰ称为抗扭截面系数，其单位为ｍｍ３或ｍ３。上一页下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小与截面的形状和尺寸有关。６.２.２圆截面的极惯性矩ＩＰ及抗扭截面系数ＷＰ的计算通常，工程上经常采用的轴有实心圆轴和空心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按下式计算。１.实心圆截面设直径为Ｄ，则上一页下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件２.空心圆截面设外径为Ｄ（半径为Ｒ），内径为ｄ，α＝ｄ／Ｄ，则式（６－１０）可写成圆环形截面的抗扭截面系数ＷＰ为上一页下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件６.２.３圆轴扭转时的强度条件为保证圆轴正常工作，应使危险截面上最大工作切应力ζｍａｘ不超过材料的许用切应力。由此得出圆轴扭转的强度条件对于阶梯轴，因为抗扭截面系数ＷＰ不是常量，最大工作应力不一定发生在最大扭矩所在的截面上。要综合考虑扭矩和抗扭截面系数ＷＰ，按这两个因素来确定最大切应力。圆轴扭转时的许用切应力［ζ］值是根据试验确定的，可查阅有关设计手册。它与许用拉应力［σ］有如下关系：上一页下一页返回６.２圆轴扭转时横截面上的应力和强度条件塑性材料［ζ］＝（０.５～０.６）［σ］脆性材料［ζ］＝（０.８～１.０）［σ］应用扭转强度条件，可以解决圆轴强度计算的３类问题：校核强度、设计截面和确定许可载荷。上一页返回６.３圆轴扭转时的变形及刚度条件６.３.１圆轴扭转时的变形圆轴扭转时，任意两横截面产生相对角位移，称为扭转角，是扭转变形量的量度。轴的扭转变形用横截面间绕轴线的相对转角即扭转角来表示。由式（６－６）可知，相距ｄｘ的两截面间的扭转角为所以，对于相距Ｌ的两横截面间的扭转角则为式（６－１５）就是等直圆轴相对转角的计算公式。下一页返回６.３圆轴扭转时的变形及刚度条件相对转角φ的单位是弧度(ｒａｄ)，其转向与扭矩的转向相同，所以扭转角的正负符号随扭矩的正负符号而定。注意：对于阶梯轴，因为极惯性矩不是常量，所以最大单位长度扭角不一定发生在最大扭矩所在的轴段上。要综合考虑扭矩和极惯性矩来确定最大单位长度扭角。由式（６－１５）可以看出，当Ｔ和Ｌ一定的情况下，ＧＩＰ越大，则扭转角φ越小，说明圆轴的刚度越大。故称ＧＩＰ为截面的抗扭刚度，它反映了材料和横截面的几何因素对扭转变形的抵抗能力。根据扭转刚度条件，可以解决刚度计算的３类问题，即校核刚度、设计截面和确定许可载荷。上一页下一页返回６.３圆轴扭转时的变形及刚度条件６.３.２圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时，不仅要满足强度条件，还应有足够的刚度，否则将会影响机械的传动性能和加工所要求的精度。工程上通常是限制单位长度上的转角θ，使它不超过规定的许用转角［θ］。于是，建立圆轴扭转的刚度条件为上一页下一页返回６.３圆轴扭转时的变形及刚度条件工程实际中