广东省佛山市南海区2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷（含答案）

九年级数学试卷说明：本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若一个菱形的边长为2，则该菱形的周长是（

）A.16 B.8 C.6 D.42.一元二次方程x(x−2)=0A.x=2 B.C.x1=0，x2=−2 3.若线段a、b、c、d是成比例线段，且a=1，b=2，c=3A.1.5 B.4 C.6 D.84.一个暗箱中放有m个球，其中有两个红球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回暗箱.通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%左右，那么可以估算m的值是（

）A.8 B.10 C.15 D.205.如题5图，在∆ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC若AD=5，BD=2

A.52 B.8C.32 6.一天下午小明先参加了校运动会男子200m比赛，过一段时间又参加了男子400m比赛，如题6图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（

）

A.乙照片是参加200m的 B.甲照片是参加200m的C.乙照片是参加400m的 D.无法判断甲、乙两张照片7.观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x−15=0的一个近似解是（x1.11.21.31.41.5x2+12x−15−0.590.842.293.765.25A、1.1<x<1.2 B、1.2<x1.3C、1.3<x<1.4 D、1.4<x<1.58.点（−1.37，y1），（−2.23，y2）都在反比例函数y=3.14159x的图象上，则y1与y2A.y1>y2 B.y1≥y2C.y1<y2 D.y1≤y29.如题9图，在矩形ABCD中，两条对角线交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则AD长为（

A.2 B.43C.43 10.如题10图，∆ABC和∆ADE是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC

A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11.反比例函数y=k−112.在∆ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若AB=613.若关于x的一元二次方程(a−1)x14.如题14图是某校音乐社团购买的一种乐器。乐器上的一棍AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则A，D15.如题15图，∠CAB=∠CBD，AB=103，BC=4，AC=5，BD三、解答题：本大题共8小题，16−18题每题7分，19−21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分。16.解方程：x217.“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。南海区某运动商城的自行车销售量自2025年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车100辆，4月份销售了144辆。求该商城2月到4月自行车销售量的月均增长率。18.小明想测量学校路灯灯柱的高度。他手持一根标尺，通过调整距离，使标尺刚好挡住灯柱，用此方法可测量路灯灯柱的高度。如题18图，已知小明与标尺的水平距离CF=0.3m，与路灯灯柱的水平距离CG=9m19.甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A，B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字，如题19−1图所示．游戏规则：甲转动转盘A一次，乙转动转盘B一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上则无效，要重新转动转盘．（1）用列表或画树状图的方法，求乙获胜的概率；(2)如题19−2图，把质地相同的两个转盘C，D平均分成3份和4份，游戏规则不变，请在转盘C，D中的每一份内分别标上一个自然数，使这个游戏对甲、乙双方公平(不需要写出理由)．20.如题20图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，AE与BF交于点O，连接OD．（1）写出线段AE与BF的数量关系和位置关系，并证明；（2）求证：∠BAO21.新定义：给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“减半矩形”．（1）阅读探究过程并完成填空：已知矩形A的相邻两边的长分别为6和1时，小宁同学是这样研究的：设矩形B的相邻两边的长分别是x和y，由题意得方程组{x消去y，化简整理得2x∵b2∴x1=

所以矩形B是矩形A的“减半矩形”；（2）如果已知矩形A的相邻两边的长分别为3和1，请你仿照小宁的方法研究是否存在矩形B；（3）如果矩形A的相邻两边的长分别为m和n，请你研究m，n满足什么条件时矩形B存在．22.(1)如题22−1图，∆ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC求BD的长；(2)在(1)的条件下，如题22−2图所示，点E、F分别是边BC、AC上的点(点E不与点B、C重合)，且∠AEF=∠ABC，AE、BD①如果BG=2CF，求②如果∆AEF是以AE为腰的等腰三角形，请直接写出BE23.我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯(Pappus，300−350)给出了一种方法．【实践与操作】步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数y=步骤3：以P为圆心，2OP的长为半径作弧，交函数y=步骤4：过点P和R分别作x轴和y轴的平行线，两线交于点M．步骤5：连接OM，得到∠MOB【实践探索】(1)如题23−1图，过点P作x轴的垂线，交OM于点Q，连接PQ，QR，可以得到QR∥（2）在（1）的条件下，连接PR，交OM于点C．求证：∠MOB(3)如题23−2图，在(1)的条件下，在矩形PQRM中，若PM=2PQ，点D为边PM上的一个动点，线段QD绕点Q顺时针旋转60°得到线段QD'，连接DD'，RD'．线段RD'的长度是否存在最小值，若存在，请求出线段RD'的长度最小时25-26上九年级区期末数学试题参考答案与评分标准一、选择题题号123456789答案BDCBBAACC二、填空题11．k<1；12．3；13．2（答案不唯一）；14．30.6；15．24三、解答题16．方法一：解：xx2x2(xx−2=±3∴x−2=3或x∴x1=5，方法二：解：(xx−5=0或x∴x1=5，17．解：（1）设该商城自行车销量的月均增长率为x，根据题意得：………………1分100(1+x解得：x1=0.2=20%，答：该商城自行车销量的月均增长率为20%。……………18．解：∵DE∥∴∠CDE=∠CAB∴∆CDE∵CF和CG分别是∆CDE和∆∴CFCG∴0.3∴AB答：路灯CD的高度为6

m19.解：（1）列表如下：B盘234A盘1（1，2）（1，3）（1，4）A盘3（3，2）（3，3）（3，4）……………3分共有6种等可能的结果，两数之和为奇数的结果有4种：(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)……………4分∴乙获胜的概率为：46（2）在C盘中任意填3个自然数，在D盘中填两个奇数和两个偶数。……………9分20.证明：（1）AE=BF，∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC∵E，F分别为边BC，CD∴BE=∴BE在∆ABE和∆{∴∆ABE∴AE=BF∵∠CBF∴∠∴∠AOB∴AE（2）延长BF交AD的延长线于N，……………6分∵AN∴∠N=∠CBF又∵∴∆BCF∴BC∵∴∵AE⊥BF，∴∠AON∴OD∴∠DAO∵∠BAO+∠DAO∴∠BAO21.解：（1）32（2）不存在，理由如下：设所求矩形B相邻两边的长分别是a和b，根据题意得：{a消去b，整理得：2a∵(−3)²−4×2×2=9−16=−7<；0，……………4分∴此方程无解，∴不存在满足要求的矩形B；……………5分（3）设矩形B的相邻两边长分别为x，y，根据题意得：{x整理得：2x当Δ=(即m222.解：(1)∵∠ABC=2∠C∴∠ABD∴BD=CD，又∵∠BAD=∠∴△ABD∽△∴ABAC=ADAB=∴CD=∴BD=（2）①由（1）得AB∴46=10∵∠AEC=∠AEF∠AEF∴∠FEC又∵∠ABD=∠∴△ABG∽△∴ABCE又∵BG=2CF，∴4CE=∴BE过D作DH∥BC∴DHCE=ADAC，即DH2∴BGDG=BEDH=38②BE=165或123．(1)证明：∵PQ∴PQ∥y轴，∵PM∥x轴，RM∴PQ∥RM，PM∴四边形PQRM是平行四边形，∠