2025-2026学年安徽省宣城市第六中学上册九年级数学第三次月考试卷 附答案

/安徽省宣城市第六中学2025−2026学年上学期九年级数学第三次月考试题一、单选题1．下列函数表达式中，是的二次函数的是（

）A． B． C． D．2．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，此次发射采用了先进的3.5小时快速交会对接方案达到更精确的发射和入轨控制，已知空间轨道周长约为42500000米，这个数字用科学记数法可以表示为（

）A． B． C． D．3．在中，，则的值是（

）A． B． C． D．4．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．5．函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．k为任意实数6．如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（

）A．扩大2倍 B．保持不变 C．缩小到原来的 D．以上都有可能7．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（

）A． B． C． D．8．已知二次函数（）的图象如图所示，则正确的是（

）A． B． C． D．9．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，若，连接，则的值为（

）A． B． C． D．10．如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（

）A． B． C．2 D．二、填空题11．分解因式．12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是.13．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．14．已知二次函数（）．（1）函数的对称轴为．（2）当时，对于每一个x的值，始终成立，则a的取值范围是．三、解答题15．计算：．16．如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．（1）请在方格图中画出位似中心；（2）请在方格图中将补画完整；（3）求的面积．17．观察下列关于自然数的等式：①；②；③；…根据上述规律解决下列问（1）第4个等式：________；（2）写出第2025个等式：________；（3）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．18．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象相交于点，点C在x轴上，且，．（1）求m的值及反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标．19．如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离是多少？（结果保留到．参考数据：，）20．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G．（1）求证：；（2）当点E为的中点时，求证：．21．为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从全年级700名学生中随机抽取20名学生进行调查．同时对调查数据进行如下统计分析．【收集数据】抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：3

7

5

10

5

9

6

7

4

7

8

7

10

8

7

9

6

9

8

5【整理数据】结果如表：【分析数据】数据的平均数是_________，方差是_________．【解决问题】回答下列问题：（1）请补全频数分布表和频数直方图；（2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数．22．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．（1）当时，求函数图象顶点坐标；（2）当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围；（3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围．23．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，．（1）求证：．（2）G为中点，交于点O，，垂足为H．①求证：；②求证：．

答案1．【正确答案】A【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数．分析各选项，只有A选项明确满足条件．【详解】解：∵二次函数要求最高次项为，且系数不为零．对于A：，其中，是二次函数．对于B：，是一次函数，不是二次函数．对于C：，不是二次函数．对于D：，可能为0，不一定是二次函数．∴只有A是二次函数．故选A．2．【正确答案】C【分析】本题考查科学记数法．将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数字42500000用科学记数法可以表示为．故选C．3．【正确答案】A【分析】本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即．【详解】解：，，故选A．4．【正确答案】C【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断．【详解】解：五边形五边形，，，．已知，，则．选项A：，错误，该选项不符合题意；选项B：，错误，该选项不符合题意；选项C：，即正确，符合题意；选项D：，，而不是，选项不符合题意；故选C．5．【正确答案】C【分析】本题考查函数图象与x轴的交点问题．注意分情况讨论是解题的关键．函数图象与x轴有交点，即方程有实数根，需考虑时函数为一次函数，恒有交点；时为二次函数，判别式，综合得．【详解】解：∵函数的图象与x轴有交点，∴方程有实数根。当时，方程为，解得，有交点；当时，函数为二次函数，∵图象与x轴有交点，，解得，综上，．故选C．6．【正确答案】B【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可．【详解】解：在中，不妨设，∴，∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后，∴锐角A的正切值保持不变，故选B．7．【正确答案】B【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，由矩形矩形可得，，又可证，得到，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，连接，∵矩形矩形，∴，，∵，∴，又∵于点，∴，∴，∴，∴，∴，故选．8．【正确答案】C【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点对应的、、的符号及代数式取值是解题的关键．根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，确定、、的符号，再分析各选项代数式的取值．【详解】解：∵图象开口向上，∴，∵对称轴在轴右侧（），，∴，∵图象与轴交于负半轴，∴，∴，故A项错误．∵二次函数与x轴的一个交点为，另一个交点的横坐标大于且小于0，∴对称轴满足，∴，∴，故B项错误．∵当时，，由图象知时，∴，故D项错误．∵图象过，∴，∵，即∴，∴，故C项正确．故选C．9．【正确答案】C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作的垂线，利用正方形性质及垂直关系，通过两次相似三角形的证明，推导出线段与正方形边长的比例，最后计算的值．【详解】解：过点作于，设正方形边长为，，．∵四边形是正方形，是对角线，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，．，∴，，∴，又∵，∴，即，得．∵，∴，又，∴，且，∴，∴，即，化简得，解得．在中，．故选．10．【正确答案】B【分析】通过构造正方形，利用正方形和等腰直角三角形的性质证明三角形相似、全等，确定点的运动轨迹（过且与夹角为的直线），再结合垂线段最短求的最小值．【详解】解：取、的中点、，连接．∵矩形中，，，点、是、的中点，∴，，，∴四边形是平行四边形，∵，且，∴四边形是正方形，∴，，，∴∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．∴，∴，即点在过且与夹角为的直线上运动．当时，最小．∵，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，最终的最小值为．故选B．11．【正确答案】【分析】本题考查因式分解，先提取公因式2，再利用平方差公式法进行分解因式即可．【详解】解：12．【正确答案】0【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入，求得和，再相加即可．【详解】解：∵函数的图象经过点和，∴有，∴.13．【正确答案】3【详解】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，则∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE=，∴O′E=，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3.考点：解直角三角形．14．【正确答案】直线；且【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．（1）直接利用二次函数对称轴公式求解。（2）构造，得到新二次函数，根据开口方向分和两种情况讨论，利用函数在区间上的单调性及最大值条件求解．【详解】解：（1）二次函数中，对称轴为直线．（2）设，当时，始终成立，等价于恒成立，当时，．分两种情况：当时，二次函数开口向上，时，，若在范围内恒成立，则需满足在时，，即，解得，；当时，二次函数开口向下，对称轴为直线，当时，z随x的增大而减小，时，，在范围内恒成立，综上可知，a的取值范围是且．15．【正确答案】【分析】本题主要考查特殊三角函数值、负指数幂与零指数幂的运算，掌握“、，以及、”是解题的关键．【详解】原式．16．【正确答案】（1）见详解（2）见详解（3）6【分析】本题主要考查了位似图形的性质（对应点连线过位似中心）及三角形面积的计算，熟练掌握位似图形的性质、利用网格计算图形面积是解题的关键．（1）位似中心是对应点连线的交点，因此连接、，交点即为位似中心；（2）根据位似性质，确定的对应点，连接、补全三角形；（3）利用网格，通过割补法或三角形面积公式计算的面积．【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：，故选．17．【正确答案】（1）17（2）（3）见详解【分析】本题主要考查了数字规律探索、完全平方公式的应用及整式的运算，熟练掌握从已知等式中提取规律并进行代数验证是解题的关键．（1）观察已知等式的计算结果，前三个结果依次是5、9、13，差值为4，按此规律计算第4个等式的结果．（2）先找出等式中左边底数的规律（第一个底数是奇数，为；第二个底数是自然数），再代入得到等式，最后计算结果．（3）根据前几题的规律写出第个等式，再通过整式运算验证左右两边相等．【详解】（1）解.（2）解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；；∴故第个等式，．∴第2025个等式为，即.（3）解：猜想第n个等式为：验证：左边右边，∵左边=右边∴猜想成立．18．【正确答案】（1）；（2）点的坐标为【分析】（1）将点代入直线，求得，然后将点代入，求得，即可求解；（2）过点作轴，根据得到，求出或，根据，得出，即可求解．【详解】（1）解：∵点在直线上，，，把B点的坐标代入得，，，∴反比例函数的表达式为．（2）解：如图，过点B作轴，，，，，，，，，解得：或，，，点的坐标为．19．【正确答案】【分析】本题考查了利用平行线间距离解决问题，线段垂直平分线的性质，其他问题（解直角三角形的应用）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离．【详解】解：设平面镜上两个反射点为A、B，过A作于C，过B作于D．由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为，∴．对于的光线：∴是等腰直角三角形（）．在中，，即，解得：．又∵垂直平分，∴．对于的光线：在中，，即，解得：．同理，垂直平分，∴．∴．20．【正确答案】（1）见详解（2）见详解【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可．【详解】（1）证明：∵，，而，∴，∵，∴，∴，，∴；（2）证明：作交的延长线于，如图，∵，∴，∵点为的中点，，，∴，∴，∴，即．21．【正确答案】[分析数据]7，[解决问题]（1）见详解（2）【分析】本题考查平均数和方差的定义、条形图的应用，熟练掌握从图中获得信息是解题的关键．根据平均数和方差的定义，进行计算求解即可；（1）一共抽查学生总人数为人，据此进行计算求解即可；（2）先计算抽查人数中参加公益活动次数超过6次的人数所占百分比，再计算该校八年级全部学生参加公益活动次数超过6次的人数即可．【详解】解：数据的平均数是：，；方差是：，因此数据的平均数是，方差是；（1）由题意得，“”的频数为，频数分布表为：次数x分组画记频数T2正5正

下8正5频数直方图为：（2）（人），答：该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为人．22．【正确答案】（1）顶点坐标为（2）（3）【分析】本题考查二次函数图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，（1）当时，点代入，求出