2025-2026学年北京市首都师范大学第二附属中学上册八年级期中数学试卷 附答案

/北京市首都师范大学第二附属中学2025−2026学年上学期八年级期中数学试题一、单选题1．以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（）A．北汽新能源 B．长城新能源C．东风新能源 D．江淮新能源2．下列长度的三条线段能构成三角形的是（

）A．3，4，8 B．3，4，7 C．5，6，10 D．5，6，113．如图，，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（

）A． B．C． D．6．在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(

)A．点 B．点 C．点 D．点7．已知，，则的值为（

）A．5 B．6 C．8 D．108．若，则M，N的大小关系为（）A． B． C． D．无法确定9．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD=（

）A．40° B．30° C．20° D．10°10．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝PC∶PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③二、填空题11．已知和关于轴对称，则的值为．12．计算：．13．等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是．14．如图，在中，，是高．若，则．15．如图，是等边三角形的中线，，则．

16．如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为．17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF=cm.18．如图，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为三、解答题19．计算：（1）；（2）．20．已知，求代数式的值．21．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．22．如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．（1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请直接写出、关于直线的对称点、的坐标：______、______；（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______；（3）已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹）23．如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若．（1）求证：是等边三角形；（2）请判断线段与的大小关系，并说明理由．24．将四个长为，宽为的长方形如图1，拼成如图2的“回形”正方形和正方形．观察与发现：（1）请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式；运用与探究：（2）根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值；实践与拓展：（3）将两个正方形，如图3摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和．25．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.（1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）；（2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.26．在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为变换．若某个图形上既有点作了变换，又有点作了变换，我们就称该图形为双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ（2）变换，变换后的坐标是；点作Ⅱ（2）变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题：（1）当时，①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是；②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标；（2）已知点，，①若线段是双变换图形，则的取值范围是；②已知点在第一象限，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积．

答案1．【正确答案】C【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故错误；B、是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故正确；D、是轴对称图形，故错误．故选C．2．【正确答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，3+4=7＜8，不能组成三角形；B中，3+4=7，不能组成三角形；C中，5+6=11＞10，能够组成三角形；D中，5+6=11，不能组成三角形．故选C．3．【正确答案】B【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”建立角度之间的关系．利用三角形外角性质（外角等于不相邻的两个内角和），结合已知的和的度数，直接计算的度数．【详解】解：已知是的外角，因此有．将代入上式，得：解得：．故选B．4．【正确答案】A【分析】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解题的关键．根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题．【详解】解：A．根据幂的乘方，，故此选项符合题意；B．根据同底数幂的乘法，，故此选项不符合题意；C．根据积的乘方，，故此选项不符合题意；D．根据同底数幂的除法，，故此选项不符合题意．故选A．5．【正确答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，结合，解答即可．【详解】解：A．若添加，在和中，∴，故不符合题意．B．若添加，又，，符合，此种方法不能判定两个三角形全等，故符合题意．C．若添加，在和中，∴，故不符合题意．D．若添加，在和中，∴，故不符合题意．故选B．6．【正确答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图，连接，根据网格得出，，在与中∴，∴，即平分∴到两边距离相等的格点应是点，故选A7．【正确答案】B【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算性质，熟练掌握（，、为实数）是解题的关键．利用指数运算性质，将转化为与的乘积形式，再代入已知值计算．【详解】解：∵，，，∴．故选B．8．【正确答案】B【分析】本题考查整式的混合运算，作差法比较M，N的大小关系即可．【详解】解：，∴；故选B．9．【正确答案】B【分析】由D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点可得AD=BD,可得∠ABC=∠BAD=50°,可得∠CAD的度数.【详解】解：由题意得：D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，AD=BD,∠ABC=∠BAD=50°,∠BAC=20°,∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°,故选B.10．【正确答案】B【分析】①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．【详解】解：①∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠PAB+∠APB，∴∠CAB+∠ACB=2（∠PAB+∠APB），∴∠CAB+∠ACB=2∠PAB+2∠APB，∴∠ACB=2∠APB；故①正确；②过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，如图所示：∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC：S△PAB=（AC•PN）：（AB•PM）=AC：AB，而AC：AB不一定等于PC：PB，∴S△PAC∶S△PAB不一定等于PC∶PB，故②错误；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE，故③正确；④∵PG∥AD，∴∠FPC=∠DCP，∵PC平分∠DCB，∴∠DCP=∠PCF，∴∠PCF=∠CPF，故④正确．综上分析可知，①③④正确，故B正确．故选B．11．【正确答案】1【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标变化，灵活利用轴对称的特点“关于轴对称的两点纵坐标不变，横坐标互为相反数”求点坐标是解题的关键．根据关于轴对称点的特征确定出与的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：和关于y轴对称，，12．【正确答案】【分析】本题考查整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可．【详解】解：．13．【正确答案】或【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角，分类讨论是正确解答本题的关键．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论．【详解】当是底角时，顶角的度数为；当是顶角时，顶角度数即为．14．【正确答案】【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．15．【正确答案】/15度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用等腰三角形的三线合一的性质得出，，再根据等边对等角和三角形内角和为180度进行求解即可．【详解】∵是等边三角形的中线，∴，，∴，∵，∴，∴.16．【正确答案】【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质得到，再根据，，求出，最后根据平行线的性质得出答案，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：由折叠的性质可得：，∵，，∴，∵，∴.17．【正确答案】3【分析】由角平分线的性质易得CE=点E到AB的距离等于3cm，需求CF，根据等角的余角相等可得∠CEF=∠CFE，∴CF=CE=3cm．【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，∴CE=点E到AB的距离=3cm，∠BAE=∠CAE，∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，∴∠AEC=∠AFD，∵∠CFE=∠AFD，∴∠CEF=∠CFE，∴CF=CE=3cm．故答案为3．18．【正确答案】【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF=FD，根据FD≥FH，可求出FD的最小值，从而解决问题．【详解】解：如图，过点F作FH⊥BC，连接DF，设AF=x，则BF=4－x，∵EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，∴DF=AF=x，∵，∴，∵FD≥FH，∴，解得：，∴AF最小值是，∴BF的最大值是．19．【正确答案】（1）5（2）【分析】此题考查了零指数幂，同底数幂的除法，单项式乘以多项式和单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）首先计算零指数幂，同底数幂的除法，然后计算乘方，最后计算加法；（2）首先计算单项式乘以多项式和单项式乘以单项式，然后合并即可．【详解】（1）；（2）．20．【正确答案】11【分析】本题考查整式的乘法，平方差公式等知识，按照相关的运算法则计算即可．【详解】解：原式当，即时，原式．21．【正确答案】（1）见详解；（2）3【分析】（1）由CF∥AB，可得，，又由E是边AC的中点，可得△ADE≌△CFE；（2）由（1）CF=AD=7，AE=CE=5，由∠B=∠ACB，可得AB=AC=2CE=10，可得DB的长.【详解】解：（1）证明：∵E是边AC的中点,

∴AE=CE.

又∵CF∥AB,

∴，.

在△ADE与△CFE中,∴△ADE≌△CFE.

（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF=7,∴CF=AD=7.

又∵∠B=∠ACB,

∴AB=AC.

∵E是边AC的中点，CE=5,

∴AC=2CE=10.∴AB=10.

∴DB=ABAD=107=3.22．【正确答案】（1），；（2）；（3）见详解．【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的求解问题，以及求最短距离的问题．分别作出点、关于直线的对称点、，根据网格可知点的坐标是，点的坐标是；由可知当直线是第一、三象限的角平分线，关于直线对称的两个点的坐标，只需将该点横纵坐标互换即可得到对称点；根据将军饮马问题，求点到两点之间距离之和最小，点关于直线的对称点，连接，交直线于点，当点、、三点共线时，的值最小.【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、关于直线的对称点、，根据网格可知点的坐标是，点的坐标是.（2）解：由可知，坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为.（3）解：如下图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，由对称可知，，当点、、三点共线时，的值最小.23．【正确答案】（1）见详解；（2），理由见详解．【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论；（2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解．【详解】（1）证明：∵，点D是边的中点，∴垂直平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形；（2）解：，理由如下：∵是等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∵点D是边的中点，∴，∴．24．【正确答案】（1）；（2）；（3）．【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义与代数应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．（1）通过观察图2中大正方形、小正方形和长方形的面积关系，推导、、之间的等量关系．（2）利用（1）中得出的等量关系，将的平方转化为与、相关的形式，进而求解．（3）设正方形边长，根据面积和与的长度列出方程，再结合（1）的结论和阴影部分面积的组成求解．【详解】解：（1）∵大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个长方形的面积和为，大正方形面积小正方形面积四个长方形面积，∴．（2）设，则，，即．由（1）的结论可得，∵，，∴，∴，即．（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，．由，∵，，∴，∴，即．∴，∴或（舍去），∴阴影部分面积为．25．【正确答案】（1）∠DBC；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，见详解.【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴