2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级上册期中数学试卷 附答案

/浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025−2026学年八年级上学期期中数学试卷一、单选题1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（

）．A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，11 D．6，3，33．已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数是（

）A． B． C．或 D．4．不等式的解集在数轴上表示为（

）A． B．C． D．5．下列命题中，其逆命题是假命题的是（

）A．若，则B．若，则a与b互为倒数C．直角三角形两个锐角互余D．角平分线上的一点到角的两边距离相等6．下列说法错误的是(

)．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（

）A． B． C． D．8．如图，在中，，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论不正确的是（

）

A． B． C． D．垂直平分线段9．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（）

A． B． C． D．10．如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（

）A．3 B． C． D．二、填空题11．等腰三角形两底角相等的逆命题是．12．点在第三象限内，则整数的值为．13．如图，已知，为的中点，若，，则．14．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围．15．如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为．16．如图，中，，平分，，，则的长为．三、解答题17．（1）解不等式：；（2）解不等式组18．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）以格点为顶点，作，使，，．（2）在（1）的基础上，在线段上画一点G，使．19．2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）：甲款数量/件乙款数量/件进货总费用/元第一次1081200第二次6121080（1）求甲、乙两款玩具战机的进货单价；（2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？20．已知点，解答下列各题．（1）若点P在y轴上，求点P的坐标．（2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标．（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．21．如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．（1）求证：是等腰三角形．（2）若，求CM的长度．22．已知为直角三角形，，作．平分，点为的中点，过作，且，．（1）求证：；（2）求的长23．如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结，，取的中点为点G．（1）求证：；（2）当时，求证：是等边三角形；（3）在（2）的条件下，当时，求的长．24．问题背景：如图1，在与中，，，．求证：．类比探究：如图2，在中，，，点D为边上任意一点（不是中点），求证：．拓展应用：如图3，在四边形中，，，，，，求的长．

答案1．【正确答案】A【分析】本题考查了轴对称的定义，熟记轴对称的定义是解本题的关键．根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．【详解】解：选项中B，C，D均有对称轴，为轴对称图形，A不是轴对称图形，故选A2．【正确答案】B【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3，不符合题意；B、3+4>5，符合题意；C、4+5<11，不符合题意；D、3+3=6，不符合题意；故选B．3．【正确答案】A【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，分这个外角是顶角的外角和底角的外角两种情况讨论，结合三角形外角的性质，三角形内角和定理求解即可.【详解】解：设底角为，则顶角为．∵若外角是顶角的外角，则顶角的外角等于两个底角之和，即，∴．∵若外角是底角的外角，则底角的外角等于顶角与另一个底角之和，即，∴．此时三角形两底角之和为，不符合三角形内角和定理，故舍去．∴底角为．故选A4．【正确答案】B【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是求出不等式的解集．先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定．【详解】解：∵，∴，在数轴上表示不等式的解集为：，故选B．5．【正确答案】A【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A、逆命题是“若，则”，因为当时，可以相等，也可以互为相反数，故为假命题；B、逆命题是“若与互为倒数，则”，是真命题；C、逆命题是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题；D、逆命题是“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是真命题．故选A．6．【正确答案】C【分析】根据不等式的性质进行判断．【详解】解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；C、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意；D、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；故选C．7．【正确答案】B【分析】本题考查了点的坐标，根据A，B两点的坐标建立平面直角坐标系，再由图形即可得解，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键．【详解】解：∵表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，∴建立平面直角坐标系如图所示：，∴由图形可得，叶杆“底部”点C的坐标为，故选B．8．【正确答案】B【分析】根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，根据作图可知，，垂直平分，得到，推出，进而得到，三线合一，推出垂直平分线段，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，进行判断即可．【详解】由作图可知：，∴垂直平分，又∵点E在上，∴B，故A正确，但不合题意；∵∴，又∴，又∴∵垂直平分，∴是等腰三角形，∴又，∴，∴，故C正确，但不符合题意．由可知，垂直平分线段，故D正确，但不符合题意．由点A在线段的垂直平分线上知，，∴．故B不正确，但符合题意．故选B．9．【正确答案】B【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键．【详解】由题意可知，，∴．设的长为，则，所以．在直角中，，即，解得：．故选B．10．【正确答案】B【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可．【详解】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、、于点、，，连接、，如图所示：∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，∴，，；，，，∴，∴，∵两点之间线段最短，∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∴，设，则，∴，解得，∴，同理：，∴，即当的周长取最小值时，的长为．故选B．11．【正确答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，命题中有题设和结论，将题设和结论互换一下，就可以得到原命题的逆命题．【详解】解：等腰三角形两底角相等的逆命题是，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.12．【正确答案】2【分析】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握点的坐标的特征是解题关键．根据第三象限内的点的横、纵坐标均小于0建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：∵点在第三象限内，∴，解得，则整数的值为2.13．【正确答案】【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行线的性质求出，再证明，根据全等三角形的性质即可求出的长，最后由线段和差即可求出的长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵为的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴.14．【正确答案】【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围．【详解】解：∵，由①得：；由②得：，即．∴不等式组的解集为．由于只有四个整数解，且，因此整数解为1，0，，．为确保解集包含但不包含，∴．15．【正确答案】/【分析】本题考查了两点之间的距离公式、实数的加法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出动点第次运动的路径长，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：动点第1次运动的路径长为，动点第2次运动的路径长为，动点第3次运动的路径长为，动点第4次运动的路径长为，则动点第次运动的路径总长为，观察可知，动点运动的路径长是以为一个循环往复的，∵，∴经过第110次运动后，动点经过的路径长为.16．【正确答案】【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，过点作于点，作于点，先求出的长，再利用三角形的面积公式求出的长，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，作于点，∵平分，∴，∵在中，，，，∴，∴，∵，，∴，即，解得，又∵平分，，∴，∴在中，.17．【正确答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法是解题的关键．（1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解．（2）分别求出两个不等式的解集，即可求解．【详解】解：（1），去括号得：，移项合并同类项得：，解得：；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，所以不等式组的解集为．18．【正确答案】（1）见详解（2）见详解【分析】题目主要考查勾股定理与网格，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键．（1）根据题意，利用网格作三角形即可；（2）利用网格作出等腰直角三角形即可【详解】（1）解：如图1所示：即为所求作；；（2）如图2，点G即为所求，；∴，∴为等腰直角三角形，∴．19．【正确答案】（1）甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元；（2）商家最少需购进甲款玩具战机60件．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程组或不等式，然后求解．（1）设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元，列出方程组然后求解即可；（2）设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件，列出不等式然后求解即可．【详解】（1）解：设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元。根据题意，得：，解得；答：甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元．（2）解：设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件，根据题意，得：，解得；答：商家最少需购进甲款玩具战机60件．20．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键．（1）根据在y轴上的点横坐标为0，得到，解出的值，由此得到答案．（2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案．（3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到与互为相反数，故，解出的值，由此得到答案．【详解】（1）解：∵点在轴上，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵直线轴，∴，解得，∴，∴．（3）解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，∴，解得，此时点，∴．21．【正确答案】（1）见详解（2）3【分析】（1）根据角平分线平分角，对顶角相等，以及等角的余角相等，推出，进而得到，即可得证；（2）作于点F，角平分线的性质得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，即可．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）作于点F，如图所示，∵，平分，∴，∵，∴，∵，∴，即，解得，由（1）知：，∴，即的长度为3．22．【正确答案】（1）证明过程见详解（2）【分析】（1）根据，可得，根据角平分线和垂直的性质可得，根据等边对等角的性质即可求解；（2）根据可证，如图所示，连接，可证，由此可得，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，即，∴，∵平分，∴，且，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，如图所示，连接，∵是等腰三角形，点为的中点，∴，即，∵，∴，∴，∴，在中，且，，∴，∴．23．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）．【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等