2025-2026学年重庆南开中学九年级上册12月月考数学试卷 附答案

/重庆南开中学2025−2026学年九年级上学期12月月考数学试卷一、单选题1．下列四个实数中，是无理数的是（

）A． B． C． D．3.142．下列图案中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．下列调查方式，你认为最合适的是（

）A．调查一批冬枣的甜度情况，采用全面调查B．调查一批小米汽车电池的使用寿命，采用全面调查C．调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查D．调查歼战斗机的零部件质量，采用抽样调查4．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为4，则的面积为（

）A．6 B．8 C．9 D．255．按如图所示的规律拼图案，其中第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★……按照这一规律，则第个图中★的个数是（

）A．52 B．53 C．68 D．696．若，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．7．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（

）A． B． C． D．8．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“快乐”方程．已知是“快乐”方程，且，则下列结论正确的是（

）A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根 D．无法确定方程根的情况9．如图，四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在的延长线上取一点，使得，连接、，交于点，则的值为（

）A． B． C． D．10．已知整式，其中，，，，，为正整数，满足，且．下列说法：①当，时，满足条件的整式有且只有一个；②若且，则满足条件的整式的最高次项系数之和为20；③满足条件的整式中，二次三项式有个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．投掷一枚质地均匀的骰子，落地后朝上的点数不超过4的概率为；12．已知，则实数的整数部分为．13．已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于秒，那么这个工具1秒可以擦除次（用科学记数法表示）．14．如图，正八边形的顶点，，，在坐标轴上，顶点，，，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为．15．如图，在圆的内接四边形中，，，点为四边形对角线交点，过点的切线与的延长线交于点，若，，则圆半径为，．16．若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为8，则称为“能量数”，并将分解成的过程称为“能量分解”．例如，，，所以968是“能量数”，968分解成的过程就是“能量分解”．按照这个规定，最小的“能量数”是．把一个“能量数”进行“能量分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，将放在的右边组成一个四位数，若能被8整除，且（为整数），则满足条件的整数的值是．三、解答题17．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得____________________；（2）解不等式②，得____________________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为____________________；（5）原不等式组的整数解为____________________．18．小明在研究等腰直角三角形的性质的时候，发现过顶点作的角平分线，再作的垂直平分线可以构造菱形，并且部分图形在面积上也有一定的关系．请你根据小明的思路，完成以下作图和填空．（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接、．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：四边形是菱形，且．证明：垂直平分，①____________________，，．平分，②____________________．在和中，，（）．③____________________，，四边形是菱形，，④____________________，，．在等腰中，，，，是等腰直角三角形，，．19．先化简，再求值：，其中．20．校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：b．丙运动员10次测试成绩：

c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差甲乙丙丁平均数12.512.512.5中位数12.512.812.45方差0.0560.0340.056（1）表中的值为______；的值为______；（2）表中______0.056（填“＞；”“＝”或“＜；”）；（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为____________________．21．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍．（1）求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？（2）为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量．22．如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动，同时，动点以每秒个单位长度从点出发，沿运动，、两点同时停止运动．记的面积为；点为直线上的动点，满足，点到的距离记为，设点的运动时间为秒．（1）请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．23．小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，）（1）求南环线的长度（结果保留小数点后一位）；（2）小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位）24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式（）分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值；（3）如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程．25．在中，，D是延长线上一点，，E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，交于点H．（1）如图1，过点C作于点K，交于点G，证明：；（2）在（1）的条件下，如图2，M是线段上一点，连接，若，，求证：；（3）如图3，连接，将关于对称得到，连接，以为斜边在左侧作等腰，连接，若，，当最小时，直接写出的面积．

答案1．【正确答案】C【分析】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．由此即可判断选项．【详解】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；C、是无理数，故本选项符合题意；D、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；故选C．2．【正确答案】D【分析】本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，据此逐项判断即可．【详解】解：选项A、该图形上下、左右都不对称，无法找到一条直线，使该图形沿着这条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形；选项B、该图形无法找到一条直线，使该图形沿着这条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形；选项C、该图形无法找到一条直线，使该图形沿着这条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形；选项D、该图形沿着中间竖直的直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形；故选D．3．【正确答案】C【分析】本题考查了全面调查和抽样调查，全面调查适用于对象数量少、非破坏性且要求精确的情况；抽样调查适用于对象数量多、破坏性调查或全面调查不现实的情况，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：、调查冬枣甜度具有破坏性，不宜全面调查；、调查电池使用寿命具有破坏性，不宜全面调查；、全市观众数量大，全面调查困难，抽样调查合适；、歼零部件质量要求高，必须全面检查以确保安全；故选．4．【正确答案】C【分析】此题是位似变换，考查了位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．先求出，然后根据位似三角形的性质求解即可．【详解】解：，，∵，∴，和是以点为位似中心的位似图形，，．的面积为4，的面积为9．故选C．5．【正确答案】B【分析】本题考查了根据图形个数找规律，解题的关键是分析每个图案中★个数的规律，推导公式．先分析前几个图中★个数的规律，进而推导第个图中★个数的公式，最后将代入公式计算．【详解】解：设第个图中★的个数为，则：根据规律求和可得：因此，将代入：故选B．6．【正确答案】D【分析】本题考查“二次函数的图象与性质”，掌握二次函数图象开口方向，对称轴与增减性的关系是解题关键．根据解析式判断出二次函数图象的增减性，再根据三个点的横坐标与对称轴的距离大小判断纵坐标的大小即可．【详解】∵抛物线，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∵，，，，∴点A是顶点，为抛物线的最低点，点B在三个点中离对称轴最远，为三个点中的最高点，∴，故选D．7．【正确答案】A【分析】本题考查了切线的性质，关键是熟练应用性质解题；先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，故选A．8．【正确答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据“快乐”方程的定义可知，即，再根据可得，即可计算判别式的值，再确定根的情况即可．【详解】解：是“快乐”方程，，，，，，方程有两个相等的实数根，故选．9．【正确答案】D【分析】过点作于点，交于，则，则四边形为矩形，设，则，证明，则可设，则，那么得到，解得，则，，，由勾股定理求解，再由勾股定理求解，可得，即可求解．【详解】解：过点作于点，交于，则∵四边形是正方形，∴∴四边形为矩形，∴，∵且，∴设，则由勾股定理得，∵∴，∴，∴，设，则∴由得到，解得，∴，∴∴∴∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，故选D．10．【正确答案】B【分析】本题考查整式，不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．需要根据条件，且，分别验证三个说法的正确性．①找出所有时的可能情况进行判断；②找出且时的所有可能情况，并计算最高次项系数的和；③找出时的所有可能，逐一讨论，结果相加即可．【详解】解：当时，，条件为且，∴可取6，7，∴有两个：，故①错误；时，，条件为，，，则，且，满足条件的有：最高次项系数分别为8，，，，其和为，故②错误；二次三项式即，且，满足当时，，（6个）（4个）（2个）共个；当时，前面已得4个；时，，不满足条件；∴二次三项式共有个，故③正确；正确的个数1个．故选B．11．【正确答案】【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用点数不超过4的结果数除以点数朝上的所有结果数即可得到答案．【详解】解：∵投掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一共有6种情况，其中朝上的点数不超过4的情况有4种，且朝上的点数的6种情况是等可能性的，∴落地后朝上的点数不超过4的概率为.12．【正确答案】2【分析】本题考查了二次根式的化简及无理数的估算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质．通过估算的近似值，再计算的值，从而确定其整数部分即可．【详解】解：∵，，∴．由得，∴，即，∴的整数部分为2．13．【正确答案】【分析】本题考查“科学记数法的运算”，理解题意，先统一单位再根据定义计算是解题关键．计算1秒内擦除次数，需将总时间1秒除以每次擦除时间（400皮秒），统一时间单位计算即可．【详解】每次擦除时间为400皮秒，已知1皮秒等于秒，因此每次擦除时间为秒，所以擦除次数等于.14．【正确答案】/【分析】此题考查了正多边形的性质、等腰直角三角形的性质、求反比例函数是比例系数．作轴于点，求出，根据在反比例函数的图象上即可得到答案．【详解】解：作轴于点，在正八边形中，内角的度数，∵轴，∴轴，∴三点共线，∵，∴，∴是等腰直角三角形，同理可得，是等腰直角三角形，∴∴，∵在反比例函数的图象上，∴.15．【正确答案】；【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、相似三角形及解直角三角形的综合应用等，解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系找到角的关系，结合三角函数和相似三角形求解．连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，先证明，结合，得出，设，则，，利用，得，求出，即可求半径，利用平行证明，，利用，求出，即可得，利用相似的性质即可求解．【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，设，∵，∴，设，则，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，得，∴，∵，∴，即，即，解得：．16．【正确答案】；【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，理解“能量数”的概念及计算方法是关键．①根据题意设，则，，则，当的值最小时，“能量数”最小，由此即可求解；②根据题意，设，则，，分别表示出的值，那么，结合（为整数），即，推出即是完全平方数，，然后分类讨论即可求解．【详解】解：①∵，是正整数，∴设，则，，∴，，当的值最小时，“能量数”最小，∴时，的值最小，此时，，∴，∴最小的“能量数”是；②设，则，，∴，，∴，∵能被8整除，∴是8的倍数，∵（为整数），即，∴，即是完全平方数，，∴，∴当时，，∴，此时，∵不是8的倍数，∴不符合题意，舍去；当时，，∴（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），，此时，∵不是8的倍数，∴不符合题意，舍去；当时，，∴（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），，此时，∵，能被8整除，∴符合题意；当时，∵，∴不符合题意，舍去；综上所述，，，则.17．【正确答案】（1）（2）（3）数轴见详解（4）（5）、、【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．（1）先移项、合并同类项，求解即可；（2）先移项、合并同类项，求解即可；（3）将不等式的解集画在数轴上即可；（4）观察数轴发现，解集为中间部分，注意端点值取不到；（5）根据（4）中的解集，找到整数解即可．【详解】（1）解：不等式①为，移项得解得.（2）解：不等式②为，移项得解得.（3）解：数轴如图：（4）解：由（3）可知，原不等式组的解集为.（5）解：由（4）可知，原不等式组的解集为，则整数解有、、18．【正确答案】（1）见详解（2）见详解【分析】本题考查了复杂作图——垂直平分线，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识是解题关键．（1）根据垂直平分线的作法正确作图即可；（2）根据垂直平分线的性质和全等三角形的性质，得出四条边相等，可证四边形是菱形，再证明，结合等腰直角三角形的性质，得到是等腰直角三角形，再利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：如图即为所求作；（2）解：垂直平分，①，，．平分，②．在和中，，．③，，四边形是菱形，，④，，．在等腰中，，，，是等腰直角三角形，，．19．【正确答案】，【分析】先进行整式的混合运算，同时括号内进行异分母减法运算，再进行分式的乘除运算，最后通分计算结果为，将x化简后代入求值．【详解】解：

；∵，∴原式．20．【正确答案】（1）；（2）（3）乙、丁、甲、丙【分析】本题考查数据统计图，熟练从折线统计图上获取信息是解题的关键．（1）根据中位数的定义求解，平均数的定义求解即可；（2）根据方差的定义计算乙的方差，再进行比较即可；（3）先比较平均数得出丙最弱，再比较方差得出乙最强，最后根据比较测试成绩小于平均数的次数得出结论即可．【详解】（1）解：甲的10次测试成绩排列为：、、、、、、、、、，则中位数为，丙的平均数为.（2）解：由题意可知，乙的平均数为，则方差为因此.（3）解：由（1）可知，丙的平均数为，则丙的平均数最大，实力最弱，由（2）可知，乙的方差为，方差：，则乙的实力最强，丁的测试成绩中位数为，第、次成绩总和为，则前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数的次数有2次，说明丁比甲强，因此，这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙.21．【正确答案】（1）每天生产甲材料包20个，乙材料包40个；（2）10个【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．（1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解；（2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解．【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个．根据题意，，解得，所以，答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个；（2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则，生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个，由，得，由，得，代入，得，即，解得：．经检验，是原分式方程的解，答：每天生产甲材料包的增加数量为10个．22．【正确答案】（1）（2）见详解；性质：在时，随x的增大而增大（合理即可）（3）当时，（上下限范围误差在0.2之间即可）．【分析】本题考查“动点函数图象”“函数图象与不等式的关系”，通过动点的运动情况，根据几何关系列出函数表达式是解题关键．（1）观察图形，用含x的式子表示各线段的长，根据三角形的面积公式写出函数表达式即可；（2）根据（1）中所写的表达式，画出函数图象即可；（3）观察函数图象，先求出交点的横坐标，再结合两个函数图象的位置关系，判断取值范围即可．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∴，对于，由图可知，的面积有两种情况，第一种：当点P在上时，即时，由题意，得，∴，第二种：当点P在上时，即时，由题意，得，∴，故对于，由图可知，，由题意，得，，∴，整理，得，综上，；（2）解：作出图象如图所示，由图象可知，的图象由两段线段组成，故可填性质参考如下，任选其一即可，或写其他性质，合理即可，性质1：在时，随x的增大而增大；性质2：在时，随x的增大而减小；性质3：的最大值为6；（3）解：如图，和两个函数图象分别在和有两个交点，令，解得（负值已舍去），令，解得（不合题意，舍去），或，通过不断乘方计算逼近可知，，故，，故，故由图象可得，当时，（上下限范围误差在0.2之间即可）．23．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得南环线的长度即可；（2）过点作的延长线于点可得和，设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小黄和小月两人同时到达景点，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可．【详解】（1）解：过点作于点，如图：、、，，，，，，答：南环线的长度为；（2）解：过点作的延长线于点，如图所示：、，设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，，、，，在中，由勾股定理得，，由于小黄与小月两人同时到达景点，则，整理得，，，解得，因此北环线的长度为答：北环线的长度为．24．【正确答案】（1）（2）；（3）或【分析】（1）根据题意求出点的坐标，由，求出点的坐标，理由待定系数法，将点、两点代入抛物线函数解析式，求出、的值，从而得到抛物线函数解析式；（2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，在中，由勾股定理得出的长度，进而得到和，设，其中，，，根据过点P作交直线于点D得到、和，利用的周长得到，进而得到当时，周长最大为，此时，从而得到点的坐标；将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、，得出，由平移的性质可得四边形是平行四边形，即，结合，得出的最大值；（3）根据题意得到和对称平移后的抛物线，当点在直线的左边时，作轴于点，此时，进而得到，设，则，，根据，解出的值，注意点在直线的左边，判断的值是否符合题意；当点在直线的右边时，令直线交轴于点，作点关于直线对称点，与抛物线的交点为，根据正切的定义得到，即点，设，根据题意列出方程，求出，设直线的解析式为，将点代入解析式得到直线的解析式为，与抛物线联立求出点的横坐标即可．【详解】（1）解：根据题意得，抛物线函数解析式，，，当时，，则，，则，即、，将、两点代入抛物线函数解析式得：，解得，因此，抛物线函数解析式为：；（2）解：设直线的解析式为，将、两点代入解析式得：，解得，则直线的解析式为，设直线的解析式为，将、两点代入解析式得：，解得，则直线的解析式为，在中，、，由勾股定理得，，则、，由于点P是直线上方抛物线上的一动点，轴交直线于点E，

设，其中，，，则，过点P作交直线于