2026年高考数学二轮复习专题06 圆锥曲线（高频考点）（天津）（解析版）

专题06圆锥曲线

内容概览

01命题探源·考向解密（分析近3年高考考向与命题特征）

02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）

03高频考点·妙法指津（4大命题点+6道高考预测题，高考必考·（20-25）分）

考点一圆锥曲线基本性质

命题点1双曲线基本性质

命题点2抛物线基本性质

高考预测题3道

考点二圆锥曲线综合问题

命题点1轨迹方程

命题点2存在性/定点/定值/定直线/最值问题

高考预测题3道

04好题速递·分层闯关（精选15道最新名校模拟试题+10道高考闯关题）

考点考向命题特征

1.范围：2.对称性：关1.分层设题，梯度清晰选择/填空题：前半部分考查基础性质

于轴对称3.顶点：原点；（离心率、渐近线），难度低；后半部分考查定义应用或小综

圆锥曲线基本焦点，准线4.离心合（如椭圆与圆的交汇），难度中等。

性质率：5.定义性质：抛物线2.侧重代数运算，强调逻辑严谨性

（3年3考）上点到焦点距离=到准线核心方法是“设线→联立→判别式→韦达定理→代换化简”，

距离对计算能力要求高，需避免计算失误。

含参问题需分类讨论，如直线斜率存在与否、参数取值范围对

交点个数的影响。

3.注重定义与几何性质的灵活应用

部分题目用定义解题更简便（如抛物线的焦半径、椭圆的焦点

三角形），可简化运算步骤，避免复杂联立。

圆锥曲线综合1.直线与圆锥曲线的位置1.梯度分明，层层递进

问题关系解答题分2-3问，第一问多为求曲线方程或直线方程，考查基

（3年3考）2.定点、定值问题础性质，属于送分题；第二、三问考查定点定值、最值范围，

3.最值与范围问题需综合运用韦达定理、代数变形，区分度强。

4.向量与圆锥曲线的交汇2.重运算，轻技巧，强调通性通法

5.轨迹方程求解命题不依赖特殊技巧，核心方法是“设线→联立→判别式→韦

达定理→代换化简”，对计算的准确性和耐心要求高，避免因

计算失误丢分。

3.注重几何性质与代数方法的结合

部分题目用几何定义（如抛物线的焦半径、椭圆的焦点三角形

性质）可简化运算，减少联立方程的复杂度，体现“几何优先”

的解题思路。

4.考法稳定，创新点集中在条件呈现

天津高考圆锥曲线综合题命题套路固定，创新多体现在条件的

包装（如结合新定义、几何图形），但解题的核心逻辑不变，

仍以韦达定理为核心工具。

【圆锥曲线基本性质常用结论】

在椭圆的定义中条件2aF1F20不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．

否则：①当2aF1F2时，其轨迹为线段F1F2；②当2aF1F2时，其轨迹不存在．

利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：

（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；

（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值

1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤

（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；

（2）定量：依据条件及a2b2c2确定a,b,c的值；

（3）写出标准方程；

x2y2

2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为1(m0,n0,mn)；

mn

3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2By21(A0,B0,且AB)，将点的坐标代入，解方程

组求得系数。

22

一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，AF1+AF2，AF1AF2之间

的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（F1AF2=）

性质1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（两个定义）

拓展：∆AF1F2的周长为AF1+AF1+F1F2=2a+2c

∆ABF1的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a

2222

性质2：4c=F1F2=AF1+AF2−2AF1AF2cosθ（余弦定理）

1、求椭圆离心率的3种方法

（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．

（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的

一元二次方程求解．

（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

2、求椭圆离心率范围的2种方法

x2y2

（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a

a2b2

＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；

（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系

式，适用于题设条件直接有不等关系。

（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件：

PF1PF22aF1F2（a0），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；

若PF2PF12aF1F2（a0），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F1的一支；

（2）若常数a满足约束条件：PF1PF22aF1F2，

则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；

（3）若常数a满足约束条件：PF1PF22aF1F2，则动点轨迹不存在；

（4）若常数a0，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

1、由双曲线标准方程求参数范围

x2y2

（1）对于方程1，当mn0时表示双曲线；

mn

当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0,n0时表示焦点在y轴上的双曲线.

x2y2

（2）对于方程1，当mn0时表示双曲线；

mn

当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0,n0时表示焦点在y轴上的双曲线.

（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再

根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。

2、待定系数法求双曲线方程的五种类型

x2y2x2y2

（1）与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；

a2b2a2b2

bbx2y2

（2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)；

aaa2b2

x2y2x2y2

（3）与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)；

a2b2a2－kb2＋k

x2y2x2y2

（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)；

mnmn

x2y2x2y2

（5）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)

a2b2a2－λλ－b2

求双曲线中的焦点三角形PF1F2面积的方法

（1）①根据双曲线的定义求出PF1PF22a；

②利用余弦定理表示出PF1、PF2、F1F2之间满足的关系式；

③通过配方，利用整体的思想求出PF1PF2的值；

1

④利用公式SPFPFsinFPF求得面积。

21212

1

（2）利用公式SFFy求得面积；

212p

b2

S

（3）若双曲线中焦点三角形的顶角FPF，则面积，结论适用于选择或填空题。

12tan

2

1、求双曲线的离心率或其范围的方法

c2a2＋b2b2

（1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.

a2a2a2

（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等

式)求解，注意e的取值范围．

（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能

有效简化计算．

（4）通过特殊位置求出离心率．

x2y2

2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：

a2b2

bc2－a2c2b

当k>0时，k＝＝＝－1＝e2－1；当k<0时，k＝－＝－e2－1.

aaa2a

解决中点弦问题的两种方法：

1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；

2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点

x2y2

坐标和斜率的关系，具体如下：直线l(不平行于y轴)过双曲线1上两点A、B，其中AB中点为

a2b2

2

，b

P(x0y0)，则有kk.

ABOPa2

x2y2

111

222222

abx1x2y1y2

证明：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有，上式减下式得，

x2y2a2b2

221

a2b2

y2y2b2yyyyyy2yb2b2

∴12，∴1212120，∴.

2222kABkOP2

x1x2ax1x2x1x2x1x22x0aa

1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看

到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．

pp

2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.

22

与抛物线有关的最值问题的转换方法

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原

理解决．

1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物

线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．

2、待定系数法

（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方

程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；

（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，

对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．

另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方

程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．

，，，2

设直线与曲线的两个交点A(x1y1)、B(x2y2)，中点坐标为P(x0y0)，代入抛物线方程，y12px1，

yy2pp

212

y22px2，将两式相减，可得y1y2y1y22px1x2，整理可得：kAB1、

x1x2y1y2y0

2

一般弦长：设AB为抛物线y2px(p0)的弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

1

AB1k2xx1yy（k为直线AB的斜率，且k0）.

12k212

2

2、焦点弦长：如图，AB是抛物线y2px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中

点M(x0,y0)，过点A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为点A1，B1，M1，

根据抛物线的定义有AFAA1，BFBB1，ABAFBFAA1BB1

故ABAFBFAA1BB1.

又因为MM1是梯形AA1B1B的中位线，所以ABAA1BB12MM1，

从而有下列结论；

（1）以AB为直径的圆必与准线l相切.

p

（2）AB2x0(焦点弦长与中点关系)

2

（3）ABx1x2p.

2p

（4）若直线AB的倾斜角为，则AB.

sin2

p2

（5）A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即xx，yyp2.

12412

112

（6）为定值.

AFBFP

【圆锥曲线综合问题常用结论】

1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代

数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，

求定值问题常见的解题方法有两种：

法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；

法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。

2、直接法解题步骤

第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：ykxb或xmyn、点的坐标；

第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行

正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；

第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。

1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，

那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y的方

程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。

2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。

3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或

曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或

曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。

解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤：

1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横

纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。

圆锥曲线最值问题的解题步骤：

1、设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；

2、联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x（或y）的一元二次方程；

3、建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；

4、求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值。

圆锥曲线几何证明问题的解题策略：

1、圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某

直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等

与不等）；

（2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质

应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明。

考点一圆锥曲线基本性质

《解题指南》

解题步骤与技巧：1.求曲线方程

（1）待定系数法（已知曲线类型）

步骤：①设标准方程（椭圆分焦点在x/y轴，双曲线同理，抛物线分开口方向）；②列a,b,p的关系式；

③解方程求参数；④写方程。

技巧：椭圆/双曲线若焦点位置不确定，可设统一方程：椭圆mx2+ny2=1(m>0,n>0,)；双曲线mx2-ny2=1(mn>0)。

（2）定义法（已知动点满足的几何条件）

步骤：①分析动点到两定点/定点与定直线的距离关系；②匹配椭圆、双曲线、抛物线的定义；③求a,c,p；

④写方程。

技巧：双曲线需注意“差的绝对值”，抛物线需找准定点（焦点）和定直线（准线）。

2.离心率计算

步骤：①找a,b,c的关系式（利用几何性质，如三角形边角、渐近线斜率等）；②消去b（椭圆用b2=a2-c2，

双曲线用b2=c2-a2）；③转化为关于e的方程；④解方程求e（注意e的范围）。

技巧：①椭圆双曲线可结合渐近线斜率快速计算；②遇到焦点三角形，优先用余弦定理+定义列方程。

3.渐近线相关问题

命题点01双曲线基本性质

x2y2

【典例01】（2025·天津武清·模拟预测）双曲线1a0,b0的右焦点为F4,0，设A、B为双

a2b2

曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直

37

线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）

7

234

A．22B．2C．D．

33

【答案】B

【分析】设A(m,n)(m0,n0),B(m,n)，运用中点坐标公式表示点M,N，由OMON，以及斜率公式

解方程组可得m,n，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合a,b,c的关系，求得a,b，即可得离心率.

【详解】由题意，c2a2b216，设A(m,n)(m0,n0),B(m,n)，

4mn4mn

则M,，N,，

2222

因为原点O在以线段MN为直径的圆上，可得OMON，

4m4mnn

所以OMON0，即m2n216①，

2222

37n37

又直线AB的斜率，可得②，

7m7

联立①②可得m7,n3，即A7,3，

79

又点A在双曲线上，可得1，

a2b2

c4

又a2b216，解得a2,b23，所以e2.

a2

故选：B.

x2y2

【典例02】（2025·天津北辰·三模）已知双曲线C:1a0,b0的右焦点､左顶点分别为F,A，过

a2b2

点F且倾斜角为150的直线交C的两条渐近线分别于点M,N.若AMN为等边三角形，则双曲线C的离心

率为（）

23

A．2B．C．3D．23

3

【答案】A

【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，

即可求出离心率.

【详解】

3

设过点F且倾斜角为150的直线为yxc，

3

cacbcbc

bxy

与双曲线的渐近线yx联立可得:ba3b,aba3b,

a1313

aa

cacbcbc

bxy

同理与双曲线的渐近线yx联立可得:ba3b,aba3b,

a1313

aa

acacbcbc

a3ba3ba3ba3b

由AMN为等边三角形，则MN的中点G坐标为,，

22

由题意可得：kAGtan603，

bcbc

bcbc

a3ba3b

即23a3ba3b3，

acacacac

2a

a3ba3baa3ba3b

2

bca3bbca3b

3，

aca3baca3b2aa3ba3b

222

23b2ccace1e

311，

2a2c2aa23b2a2ca4a23c2e43e2

e21ee1e

11e2e43e，

e13e443e

2

e24e40e20,

所以解得e2,

故选：A.

命题点02抛物线基本性质

x2

【典例01】（2025·天津·二模）已知抛物线y22px（p0）的焦点F是双曲线y21（a0）的一

a2

个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若FAB是正三角形，则p的值

为（）

268623

A．B．C．D．

3333

【答案】A

【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数p表示出各点坐标，代入求得参数的值.

【详解】

如图所示，设双曲线线的另一个顶点为C，

pπ

依题意a，可知BFO，FCp，可知BC3p，BF2p，

23

3

不妨设A在第一象限，则Ap,3p在双曲线上，

2

9

p2

4226

所以23p1，解得p，

p3

4

故选：A．

【典例02】（2025·天津·二模）已知抛物线y22pxp0的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线

PB

与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（）

BF

A．1B．2C．3D．3

【答案】B

【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点A,B的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点P的坐

标，再利用抛物线定义求出比值.

ppp

【详解】抛物线y22px的焦点F(,0)，准线l:x，D(,0)，

222

22

由对称性，不妨令点A在第一象限，设A(2pt1,2pt1),B(2pt2,2pt2)(t1t20)，

pp

则DA(2pt2,2pt),DB(2pt2,2pt)，由B在线段AD上，

121222

pp1p

得2pt(2pt2)2pt(2pt2)，整理得tt，而P(,2pt)，

21212212421

p

则FP(p,2pt),FB(2pt2,2pt)，由P，B，F共线，

1222

2p2133

得2pt1(2pt2)p2pt2，整理得2t1t2t1t2，解得t,t，

221226

p|PB||PB||PF|2p

于是P(,3p)，过B作BEl于E，所以2.

2|BF||BE||DF|p

故选：B

高考预测题

2

1．已知抛物线C:x2pyp0的焦点为F0,1，倾斜角为45的直线l过点F．若l与C相交于A,B两点，

则以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为．

【答案】27

【分析】首先求出抛物线方程及直线l的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到yAyB6，再

由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长.

【详解】因为抛物线C:x22pyp0的焦点为F0,1，

p

所以1，解得p2，则抛物线C:x24y，

2

yx1

直线l的方程为yx1，由2，

x4y

则y26y10，显然0，

所以yAyB6，故|AB|yAyBp628，

所以以AB为直径的圆的圆心的纵坐标为3，半径为4，

故以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为216927.

故答案为：27

2．过点(0,2)且斜率为1的直线l与抛物线C:y22px(p0)交于A，B两点，已知直线l经过抛物线C的

焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为.

【答案】(x6)2(y4)264

【分析】根据已知条件先求得直线和抛物线的方程，联立求得交点坐标，然后求得圆心和半径，进而写出

标准方程.

【详解】已知直线l过点(0,2)且斜率为1，因此其方程为yx2.

p

抛物线的方程为y22px（p0），其焦点坐标为,0.

2

p

由于直线l经过抛物线的焦点，代入焦点坐标得到02，

2

解得p4，因此抛物线的方程为y28x，焦点为(2,0).

将直线方程yx2代入抛物线方程y28x得到：(x2)28x,

展开并整理得：x212x40,

解得x642，对应的y值为y442，

因此交点A和B的坐标分别为642,442和642,442.

以线段AB为直径的圆的圆心为AB的中点，坐标为：

642642442442

,6,4,

22

Δx82,Δy82,

AB(82)2(82)212812825616,

半径为8，因此圆的标准方程为：(x6)2(y4)28264,

故答案为：(x6)2(y4)264.

x2y2

3．已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，点(2,3)为双曲线右支上一点，以坐标

a2b2

原点O为圆心，以OF1为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段OF2中垂线

上，则该双曲线的标准方程为（）

2y22x2x2y2x2y2

A．x21B．y21C．1D．1

333993

【答案】C

【分析】根据题意可知OPF2是等边三角形，进而可知双曲线浙近线OP的倾斜角为60，进而得到ba的

关系，再将点2,3代入双曲线方程求解即可.

【详解】如图，根据圆的性质可知OF2POPF2．

又点P在线段OF2中垂线上，则OF2PPOF2，则OPF2是等边三角形，

故双曲线浙近线OP的倾斜角为60．

bx2y2

所以tan603，即b23a2，则双曲线方程为1．

aa23a2

43

将点代入双曲线方程，得，解得2，

2,3221a3

a3a

x2y2

则双曲线方程为1，

39

故选：C．

考点二圆锥曲线综合问题

《解题指南》

解题步骤与技巧：圆锥曲线综合大题（天津高考常为解答题第19/20题）核心解法是“代数化几何问题”，

通用流程为设线→联立→判别式→韦达定理→转化求解，以下分步骤拆解并附专项技巧。

一、通用解题步骤（必背流程）

1.审题定模型，设参化简约

第一步：确定曲线类型（椭圆/双曲线/抛物线），写出已知条件（如焦点、顶点、渐近线、过定点等），若

曲线方程含参数，先根据条件求曲线方程。

第二步：设直线方程（关键避坑点）

若直线过定点P(x0,y0)：斜率存在时设y-y0=k(x-x0)；斜率不存在时单独讨论（设x=x0）。

若直线斜率存在且不为0，或与抛物线联立：优先设x=my+t（避免斜率不存在的讨论，简化计算）。

2.联立方程，判别式定范围

将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成关于x或y的一元二次方程：Ax2+Bx+C=0或Ay2+By+C=0。

计算判别式=B2-4AC，根据直线与曲线有两个交点，得判别式>0（后续求参数范围的依据）。

3.韦达定理代换，化繁为简

,

设直线与曲线交点为A(x_1,y_1)、B(x_2y_2)，写出韦达定理结论：

x1+x2=-B/A,x1x2=C/A

核心原则：不直接解x1,x2，而是将所求几何量转化为x1+x2和x1x2的代数式。

4.转化几何条件，代数求解

把题目所求（弦长、面积、定点、定值、最值等）转化为坐标表达式，代入韦达定理结论化简。

若含参数，结合\Delta>0确定参数范围；若为定值/定点问题，消去参数得到常数或定点坐标。

5.检验总结，规范书写

检验计算过程中是否忽略斜率不存在的情况，是否满足判别式>0的限制。

整理步骤，写出最终结论。

二、专项题型解题技巧

1.弦长与面积问题

2.中点弦问题（点差法优先）

3.定点定值问题（消参核心）

4.最值与范围问题（转化函数）

三、避坑关键技巧

1.斜率不存在必讨论：设y=kx+b时，务必单独验证斜率不存在的情况（直线垂直x轴），避免漏解。

2.判别式不能忘：联立后得到的参数范围（\Delta>0）是最终参数范围的前提，尤其最值问题需结合此条

件。

3.优先用定义简化：涉及焦半径、焦点弦时，用椭圆/双曲线/抛物线的定义转化，如抛物线焦半径r=x0+P/2，

避免复杂联立。

4.计算分步写，少跳步：联立后的一元二次方程系数、韦达定理结论单独写，代数变形时分步化简，减少

计算错误。

命题点01轨迹方程

x2y266

【典例】（天津静海三模）已知椭圆的离心率为，且经过点2,，

012025··C:221(ab0)

ab33

直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A,B两点.

(1)求椭圆C的方程；

9

(2)若点E坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线分别交直线x和l于点P,M，若|PM|23|AB|，求直

2

线l的斜率.

x2y2

【答案】(1)1

62

341

(2)1或.

41

c6

a3

42

【分析】（1）根据题意得221，解出a,b即可求解；

a3b

a2b2c2

（2）当l的斜率不存在时，验证是否满足题意，当l斜率存在且不为0，设直线l的方程为xmy2，与椭

圆方程联立消元，由韦达定理得y1y2,y1y2，利用弦长公式求弦长AB和PM，利用|PM|23|AB|即可

求解.

c6

a3

42a6

【详解】（1）由题意知221，

a3bb2

a2b2c2

x2y2

椭圆C的方程为：1.

62

9132226

（2）E2,0为椭圆的焦点，当l的斜率不存在时，显然PM2，AB，显然

2263

PM23AB，

l斜率存在且不为0，设直线l的方程为xmy2，Ax1,y1，

xmy222

Bx2,y2，Mx0,y0，22m3y4my20，

x3y6

16m28m2324m21，

4m2

所以yy，yy，

12m2312m23

2

26m2126m1

AB1m2yy1m2，

12m23m23

2

y1y22m2m6

此时y0，x2，

2m230m23m23

62m29269

M,，kPMm，PM1mx01m，

m23m232m232

2

26926m141

1m23，解得m1或m，

m232m233

341

直线l的斜率为1或.

41

x2y2

【典例02】（2025·天津·一模）已知椭圆C:1ab0，过右焦点F的直线l交C于A，B两点，

a2b2

过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点.当lx

2

轴时，AB2，椭圆C的离心率为.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)证明：直线MN过定点，并求定点坐标；

9

(3)设G为直线AE与直线BD的交点，GMN面积的为，求直线AB的方程.

20

x2

【答案】(1)y21；

2

(2)证明见解析；

2

(3)x