T8联考暨“五市十校”教学联盟2026届高三上学期12月检测训练数学试卷

T8联考暨“五市十校”教学联盟2026届高三上学期12月检测训练数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．[2025秋·高三·湖南·月考]已知集合，，则()A. B.C. D.1．答案：B解析：，或，，,或.2．[2025秋·高三·湖南·月考]已知复数z满足，则()A.4 B. C.2 D.2．答案：C解析：方法一：.方法二：，.3．[2026届·内蒙古锡林郭勒盟·一模校考]已知，，，则的最小值为()A.3 B.2 C. D.13．答案：D解析：因为，，，所以，，当且仅当时取等号，.故选：D.4．[2025秋·高三·湖南·月考]已知点G为的重心，若，则()A.0 B.1 C. D.34．答案：B解析：如图，延长AG交BC于点D，则，且不共线，.5．[2025秋·高三·湖南·月考]已知数列的前n项和为，且满足，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是()A. B. C. D.5．答案：A解析：已知数列的前n项和为，且满足，，则当时，，整理得，所以，又当时，，故数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以，故，所以，当时，，则，当时，，所以，综上可得：，若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是.故选：A.6．[2025秋·高三·湖南·月考]图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为.设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则()A. B. C. D.6．答案：A解析：由题得筒车半径为2m，转动一圈需要40s，且轴心O距水面高度为，.又以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，.又.7．[2025秋·高三·湖南·月考]已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作圆的切线.交双曲线C的右支于点M，若，则实数()A. B. C.2 D.7．答案：D解析：如图，设点M在第一象限，过点作于点G，设N为圆O的切点，连接.在中，，由双曲线定义得.8．[2025秋·高三·内蒙古鄂尔多斯·月考校考]已知函数,,若恰有4个零点,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.8．答案：B解析：,,故关于y轴对称,又,且恰有4个零点,所以当时,恰有2个零点,当时,恰有2个零点,当时,,,时,,当且时,即有2个解,令且,,则,解得或,所以或时,,单调递减,时,,单调递增,,,故函数图象如下：故时,有2个交点,即若恰有4个零点,则实数k的取值范围是.故选：B.二、多项选择题9．[2025秋·高三·湖南·月考]已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比()A.极差相同 B.平均数不同 C.方差不同 D.中位数相同9．答案：AB解析：设数据中最大的数为M，最小的数为N，则原数据的极差为，新数据为，则新数据的极差为，因此新数据与原数据的极差相同，故A正确；原数据的平均数为，新数据的平均数为，由于，则新数据与原数据的平均数不同，故B正确；原数据的方差为，新数据的方差为，则新数据与原数据的方差相同，故C错误；不妨设，若n为偶数，则原数据的中位数为，此时，则新数据的中位数为，由于，则新数据与原数据的中位数不同，故D错误.故选：AB10．[2025秋·高三·湖南·月考]已知函数，，，则下列说法正确的是()A. B.不等式的解集为C. D.1为函数的极大值点10．答案：ACD解析：，选项A正确；，在区间上单调递增.又，解集为，选项B错误；，且，，，由，，选项C正确；，时，；时，.又，为极大值点，选项D正确.11．[2025秋·高三·湖南·月考]已知正四棱锥的底面边长为1，高为h，该正四棱锥的顶点P在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是()A.h的取值范围是B.若正四棱锥的侧棱长为，则C.当点P为正方体的上底面的中心时，正四梭锥外接球的表面积为D.当点P为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为11．答案：ACD解析：记正方形ABCD和正方形的中心分别为O和，则点P在线段（不含端点O）上，易知选项A正确；在中，选项B错误；如图，记四棱锥的外接球球心为G，则点G则在OP上，连接CG.在中，，则，∴选项C正确；该正方体恰好放入与四棱锥体积相同的6个四棱锥，∴公共部分的体积为正方体内切球体积的公共部分的体积为选项D正确.三、填空题12．[2025秋·高三·内蒙古鄂尔多斯·月考校考]已知的展开式中,第6项系数与第7项系数之比为.则n的值为___________________.12．答案：6解析：二项式的展开式的第项为,所以第6项的系数为,第7项的系数.又第6项系数与第7项系数之比为,所以,所以,所以,解得.故答案为：6.13．[2025秋·高三·湖南·月考]已知抛物线的焦点为F.斜率为1的直线l与抛物线C交于M，N两点.则的值为__________.13．答案：解析：设，由抛物线定义得..14．[2025秋·高三·湖南·月考]已知，，则的最小值为__________.14．答案：-3解析：令，则，或，或.∴点（）在圆位于第一、二、四象限（包括坐标轴）的部分上.∵点到直线距离为,又.下求d的最大值.如图，d的最大值为点（-1，0）到直线的距离，,.四、解答题15．[2025秋·高三·湖南·月考]在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足.(1)求角C的大小；(2)若点D在边AB上，且满足，求的值.15．答案：(1)(2)2解析：（1）因为，，所以，即，由正弦定理得，即，又，所以，所以，即，又，所以，所以，又，所以.（2）因为，所以.在中，，则.在中，；在中，.因为，所以.因为，所以.将，代入上式得，，又，两式相除得，.所以.16．[2025秋·高三·湖南·月考]（1）1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度（相对于原点O，质点向右移动了i（）个单位长度后位置记为i，向左移动了i（）个单位长度后位置记为）.已知质点每次向右移动的概率为（）.记X为质点从原点O出发，移动2次后的位置，求满足随机变量X的期望大于0的p的取值范围；（2）1个质点从平面直角坐标系中某点A出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点A的概率.16．答案：（1）；（2）解析：（1）由题可知X的可能取值为，0，2，，，，X的分布列如下：X02P，得.（2）移动四次，样本空间的样本点总数为，每个样本点出现的可能性相等，且为有限个，记质点经过4次移动后回到点A为事件B，要4次回到起点A，则向左移动次数与向右移动次数相等，且向上移动的次数与向下移动的次数相等，包含下列情况：①4次移动中向上，下，左，右各一次，②向上和向下各2次，③向左和向右各2次；所以事件B包含的样本点个数为，所以，所以质点经过4次移动后回到点A的概率为.17．[2025秋·高三·湖南·月考]如图，在斜三棱柱中，，，，O是BC的中点.（1）求证：平面平面；（2）若底面ABC，且直线与底面ABC所成角为，D是棱的中点，求平面与平面ABC夹角的余弦值.17．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：如图，连接，.，，，，.为BC中点，.又，.又，平面，平面，平面.平面，平面平面.（2）平面，为与平面ABC所成的角，即.由题可知，，两两垂直，以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，，，，.，，，，，.设平面的一个法向量为，令，.平面，取平面ABC的法向量，记平面与平面ABC的夹角为，则，∴平面与平面ABC夹角的余弦值为.18．[2025秋·高三·湖南·月考]已知椭圆的左、右焦点分别为，.且椭圆C过点，椭圆的下顶点为E.（1）求桶圆C的方程：（2）过右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A在点B的上方），与y轴交于点P（点P在点E的下方）.Q为点P关于原点的对称点，QB交x轴于点R，设，，的面积分别为，，.①若直线l的斜率为2，求的值；②是否存在直线l，使Q，R，，A四点共圆？若存在，试判断直线l的条数；若不存在.请说明理由.18．答案：（1）（2）存在，1条解析：（1）椭圆C的左、右焦点分别为，，且过，，，.，椭圆C的方程为.（2）①直线l方程为，设，.联立消去x，得，，.由题得.②假设存在直线l，设直线l方程为，，.联立消去x，得，恒成立，，，.如图，延长QA交x轴于点S，若Q，R，，A四点共圆，则.，.又，.由，得，，，.由点P在点E下方得，，记，，.又，，存在直线l，条数为1条.19．[2025秋·高三·湖南·月考]约翰•卡尔•弗里德里希•高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，.已知函数.（1）当和时，求的值；（2）设，，，.①求的表达式；（，，）②求的表达式