江西省新十校协作体2025-2026学年高二上学期第一次联考试题数学含解析

江西省新十校协作体2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试题一、单选题1．复数在复平面内的对应点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知点，，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．23．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（

）A．1 B．3 C．5 D．134．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则此三角形（

）A．无解 B．有一解 C．有两解 D．无法判断有几解5．一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（

）A． B． C． D．6．已知点在圆上，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知向量，，则（

）A． B．C．与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为10．下列四个命题中正确的是（

）A．向量是直线的一个方向向量B．直线在坐标轴上的截距之和为C．直线与直线之间的距离为D．直线的倾斜角的取值范围是11．过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（

）A．当为等边三角形时， B．的最小值为4C．的最小值为 D．直线过定点三、填空题12．若，则.13．如图，在圆锥中，已知的直径，点为的中点，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，则直线与所成的角为.

14．已知点，是圆上位于第三象限内的不同两点，，则的最大值为.四、解答题15．已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)设，为第二象限角，求的值.16．已知直线的方程为.(1)求直线过定点的坐标；(2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？17．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：

(1)平面；(2)平面平面.18．在中，内角，，所对的边分别是，，，且.(1)求；(2)已知的角平分线交于点.（ⅰ）若，，求的长；（ⅱ）若点满足，求的值.19．已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称.(1)求圆的标准方程；(2)若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分；(3)设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

题号12345678910答案BDCCBACAABDBC题号11答案ACD1．B计算，写出的对应点，从而得解.【详解】复数在复平面内对应点为，在复平面内的对应点位于第二象限，选项B正确.故选：B.2．D利用两点的斜率公式计算可得.【详解】因为，，所以直线的斜率.故选：D.3．C根据椭圆的定义直接得出结果.【详解】由题知，所以点到另一个焦点的距离为.故选：C.4．C【详解】根据余弦定理求出有两个解，即可得出答案.根据余弦定理可得，代入数据得，即，解得.所以此三角形有两解.故选：C.5．B由光学知识可知点关于轴的对称点在反射光线上，利用两点坐标写出直线方程即可.【详解】由题知，点关于轴的对称点在反射光线上，所以反射光线所在直线的方程为，即.故选：B.6．A先化简变形，令，则，利用圆与直线的位置关系列不等式计算即可.【详解】由题意，.令，则，由题知，圆与直线有公共点，故圆心到直线的距离，整理得，解得，所以，所以的取值范围为.故选：A.7．C由题意可得圆与圆有两个交点，由两圆的位置关系求解即可.【详解】由题知圆的标准方程为，圆与圆有两个交点，故，解得.故选：C.8．A根据题目条件求出，利用图象平移规律得到函数，再根据的单调性可得答案.【详解】由图知函数的最小正周期，所以.由，得，即.因为，所以，所以，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数，由得，所以的单调递增区间为，可得，则，解得，又因为对，在上都不单调，所以，解得.综上，.故选：A.9．ABD根据模长的坐标公式可判断A；根据两个向量垂直的坐标公式可判断B，根据向量夹角的坐标公式可判断C；根据投影向量的坐标公式可判断D.【详解】因为，，所以，A正确；因为，，所以，B正确；设与的夹角为，则，且，因此与的夹角为，C错误；在方向上的投影向量为，D正确.故选：ABD10．BC根据直线方向向量的定义，可判断A错误；求得直线在坐标轴上的截距，可判定B正确，根据两平行直线间的距离公式，可判定C正确，根据直线倾斜角的定义，可判定D错误.【详解】对于A，由直线，可得直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，因为与不共线，所以不是直线的一个方向向量，所以A错误；对于B，当时，；当时，，可得直线在坐标轴上的截距之和为，所以B正确；对于C，由直线可化为，两平行直线间的距离为，所以C正确；对于D，直线的斜率为，因为，所以，故直线倾斜角的取值范围是，所以D错误.故选：BC.11．ACD利用余弦定理和勾股定理计算可判断A，B，根据三角形等面积法计算得，可计算并判断C，通过设点的坐标为，可得以线段为直径的圆的方程为，与圆方程联立可得交线的方程为，从而可得出定点判断D.【详解】对于A，若为等边三角形，则，又，根据余弦定理，，故A正确；对于B，由，得，故B错误；对于C，在中，根据等面积法，可得，得，故C正确；对于D，设点的坐标为，以线段为直径的圆的方程为，整理得，将代入可得直线的方程为，可知点一定在直线上，故D正确.故选：ACD.12．由，可求得，再结合正切两角和公式即可求解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.13．先根据的长证明，然后作辅助线，证明平面，最后根据余弦定理求出结果.【详解】由题知的周长为，设圆锥的母线长为，圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，设扇形的半径为，则，，解得，即，所以，即.又点为的中点，所以为等腰直角三角形，.取的中点，连接，则，；取的中点，连接，则，故（或其补角）即为与所成角，连接，则平面，取的中点，连接，，则，故平面，又平面，所以，其中，，，，，，在中，由余弦定理得，故，，所以，则直线与所成的角为.故答案为：.

14．如图作辅助线，观察可得，利用三角形的边角关系，结合三角恒等变换以及正弦函数的性质可求得最值.【详解】

如图，作直线，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，过作直线的垂线，垂足为，过作直线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，.设，则.又，所以，，则，当时，取得最大值为，所以，即的最大值为.故答案为：.15．(1)，(2)（1）先对函数进行三角恒等变换，化为正弦型函数，再根据正弦函数的单调性求解单调递减区间.（2）先根据已知条件求出，再结合角的范围求出，最后利用两角差的余弦公式求出.【详解】（1）由题意，令，，解得，，所以的单调递减区间为，.（2）由，得.因为为第二象限角，所以，，，所以，即的值为.16．(1)(2)时，到直线的距离最大，最大距离是.（1）化简直线为，联立方程组，即可求解；（2）根据题意，得到当与直线垂直时，点到直线的距离最大，列出方程，求得的值，得到直线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】（1）直线的方程可化为，联立方程组，解得，所以直线过定点的坐标为.（2）当与直线垂直时，点到直线的距离最大，因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，解得，即的方程为，则点到直线的最大距离为，故当时，到直线的距离最大，最大距离是.17．(1)证明见解析(2)证明见解析（1）设与交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）取中点，连接交于点，连接，证得，再由平面平面，证得平面，得到，证得平面，进而证得平面平面.【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以是中点，又因为是中点，所以，因为平面，且平面，所以平面.

（2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接，因为，所以，又因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因为平面，所以，所以，因为，且，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.

18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）（1）利用正弦定理化简可得，从而得，化简得，即可求解；（2）（ⅰ）由余弦定理可得，再结合，从而可求解；（ⅱ）由，可得，从而得，，从而得，再结合即可求解.【详解】（1）由正弦定理对化简，可得.又因为，所以，由，得，又，则.（2）（ⅰ）由余弦定理，知，所以.又，所以.由，得，整理得.（ⅱ）因为，所以.因为为的平分线，所以，则.又，，所以，，，所以.19．(1)(2)证明见解析(3)存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值.【详解】（1