2026年数学建模与算法设计实践题集

2026年数学建模与算法设计实践题集第一部分：优化模型设计题（共3题，每题20分）题目1（15分）：智慧物流路径优化——基于动态交通流量的配送中心选址与路径规划背景：某电商平台在长三角地区计划开设3个区域配送中心，覆盖上海、苏州、杭州、南京4个城市。已知各城市间高速公路正常通行时间（分钟）、运输成本（元/吨公里）及各城市日均订单量（吨）如下表所示。要求：1.建立多目标优化模型，以最小化总运输成本和配送总时间，并考虑各配送中心服务半径不超过60公里；2.设计算法求解最优配送中心位置（城市选择）和配送路径（使用遗传算法或模拟退火算法）；3.若某日上海突发暴雨导致部分路段通行时间翻倍，如何动态调整配送方案。|城市|上海|苏州|杭州|南京|订单量（吨/天）||--|||||||上海|0|20|45|30|200||苏州|20|0|30|15|150||杭州|45|30|0|25|180||南京|30|15|25|0|120||正常时间（分钟）|-|20|45|30|||成本（元/吨公里）|-|2|3|2.5||题目2（15分）：新能源发电站选址——基于多因素约束的混合整数规划模型背景：某省计划在山区建设风电场和光伏电站，需考虑地形坡度、光照资源、电网接入距离及环保约束。已知5个备选区域的地理参数如下表，要求：1.建立混合整数规划模型，以最大化年发电量（风电+光伏）并满足坡度＞25%区域禁建、电网接入距离≤50公里等约束；2.设计分支定界算法求解最优选址方案（风电场数量、光伏场规模）；3.若政策调整要求风电占比不低于40%，如何重新优化。|区域|坡度（%）|光照时数（小时/年）|距离电网（公里）|风电容量上限（MW）|光伏容量上限（MW）||--|-|-|--|-|-||A|28|2000|45|100|80||B|15|1800|60|80|120||C|22|2200|30|120|90||D|35|1600|55|60|70||E|12|2100|40|90|100|题目3（20分）：城市交通信号灯智能配时——基于强化学习的动态调度模型背景：某城市十字路口高峰期车流量数据如下表，要求：1.建立马尔可夫决策过程（MDP）模型，以最小化平均等待时间（行人+车辆）；2.设计Q-learning算法优化信号灯切换策略（绿灯时间分配）；3.若政策要求优先保障公共交通（公交车道车流量占比30%），如何调整模型。|时间段|东向流量（辆/小时）|南向流量（辆/小时）|西向流量（辆/小时）|北向流量（辆/小时）|公交车流量（辆/小时）||--|||||-||早高峰|1800|1600|1500|1700|500||晚高峰|1600|1800|1700|1500|600|第二部分：数据分析与预测题（共4题，每题25分）题目4（25分）：电商用户行为预测——基于ARIMA与LSTM的销售额波动分析背景：某服饰电商平台2020-2024年季度销售额数据如下，要求：1.使用ARIMA模型拟合历史数据，预测2025年各季度销售额；2.设计LSTM神经网络模型捕捉销售额的长期波动规律；3.比较两种模型预测效果，分析LSTM的优势场景（如突发促销活动影响）。|年度|Q1销售额（万元）|Q2销售额（万元）|Q3销售额（万元）|Q4销售额（万元）||||||||2020|120|150|180|200||2021|130|170|200|220||2022|150|200|230|260||2023|170|230|260|290||2024|190|250|280|320|题目5（25分）：空气质量污染溯源——基于空间插值与主成分分析的多源数据融合背景：某省会城市2024年PM2.5监测数据如下表，要求：1.使用Kriging插值法估算未监测区域的PM2.5浓度；2.结合工业排放、交通流量、气象数据（风速、湿度），通过主成分分析（PCA）提取关键污染因子；3.若某日PM2.5浓度突增，如何快速定位污染源类型（工业/交通/气象主导）。|区域|PM2.5监测值（μg/m³）|工业排放量（吨/天）|交通流量（万辆/天）|风速（m/s）|湿度（%）||--|-|-|||-||A区|75|50|8|3|65||B区|88|70|12|2|55||C区|62|40|6|5|70||D区|95|80|15|1|50|题目6（25分）：农作物产量预测——基于机器学习与气象数据的动态建模背景：某地区水稻产量与气象数据关联性分析如下，要求：1.设计随机森林模型预测未来3年亩产量，考虑降雨量、温度、土壤肥力等变量；2.若某年极端高温事件（温度＞35℃持续超过5天）发生，如何修正模型预测结果；3.分析政策补贴（如化肥补贴）对产量的影响权重。|年份|降雨量（mm）|平均温度（℃）|土壤肥力（有机质%）|亩产量（kg）|补贴力度（万元/亩）||--|--|||-|||2021|1200|28|3.5|500|5||2022|950|30|3.2|480|6||2023|1100|27|3.8|550|4||2024|1300|26|4.0|600|7|题目7（25分）：金融信贷风险评估——基于逻辑回归与集成学习的反欺诈模型背景：某银行信贷数据包含用户行为特征，要求：1.构建逻辑回归模型，预测贷款违约概率，并解释L1正则化的作用；2.设计随机森林集成算法，处理样本不平衡问题（正负样本比1:10）；3.若某笔申请的异常特征（如IP地址频繁变更）被检测到，如何提高风险分类的置信度。|特征|违约（1）/正常（0）|贷款金额（元）|年龄（岁）|信用查询次数|异常交易比例|||-|-||--|--||用户1|1|50000|25|8|0.15||用户2|0|30000|32|3|0.05||用户3|1|80000|28|12|0.30||...|...|...|...|...|...|第三部分：算法设计与实现题（共2题，每题30分）题目8（30分）：社交网络社区发现——基于图论与谱聚类的动态网络分析背景：某企业内部通讯录形成社交网络，节点代表员工，边代表频繁协作关系，部分数据如下表，要求：1.设计PageRank算法计算节点重要性，识别潜在项目负责人；2.使用谱聚类算法划分部门（如技术部、市场部），要求部门内协作密度＞70%；3.若新员工加入导致网络结构变化，如何增量更新社区划分。|员工ID|部门|协作对象（边权重之和）||--|--|||101|技术|15||102|市场|8||103|技术|12||104|市场|5||...|...|...|题目9（30分）：供应链中断风险预警——基于蚁群算法的路径鲁棒性优化背景：某企业依赖3条原材料供应路径，每条路径存在中断概率，成本如下表，要求：1.设计蚁群算法计算当前最优路径（最小期望成本）；2.若某供应商因疫情中断（中断概率从0.05升至0.3），如何动态调整路径；3.评估引入备用供应商（增加路径数量但成本更高）的性价比。|路径|成本（元/吨）|中断概率|备用供应商成本增量（元/吨）||--|--|-|--||A|120|0.05|30||B|100|0.02|25||C|150|0.03|35|答案与解析（此处省略详细解析，仅提供核心步骤）题目1答案：1.目标函数：-成本最小化：∑(订单量×距离×成本系数)-时间最小化：∑(订单量×距离×时间系数)约束：配送中心服务半径≤60km，各区域覆盖量≥80%订单。2.遗传算法：编码为城市组合（如"上海-杭州-苏州"），交叉算子保留长三角城市，变异概率为10%。3.动态调整：优先覆盖暴雨影响小的区域（如南京），重新规划剩余订单路径。题目4答案：1.ARIMA(1,1,1)预测：通过ACF/PACF图确定模型参数，2025年Q1预估145万