北师大版四年级下册数学知识点归纳总结

北师大版四年级下册数学知识点归纳总结

目录

一、数与代数.................................................3

1.1大数的认识...............................................3

1.1.1亿以内数的认职.........................................4

1.1.2数的产生和十进制计数法.................................5

1.1.3亿以上数的认一只.........................................6

1.1.4计算工具的认一只.........................................7

1.2角的度量.................................................8

1.2.1直线、射线和角.........................................8

1.2.2角的度量单位...........................................9

1.3三位数乘两位数...........................................9

1.3.1□算乘法..............................................10

1.3.2笔算乘法..............................................11

1.4平行四边形和梯形.......................................12

1.4.1垂直与平行............................................12

1.4.2平行四边形............................................13

1.5除数是两位数的除法......................................14

1.5.1□算除法..............................................15

1.5.2笔算除法..............................................16

二、空间与图形..............................................17

2.1观察物体（二）..........................................17

2.1.1从不同方向观察物体....................................19

2.1.2物体的三视图.........................................20

2.2四则运算................................................21

2.2.1加减法的意义和各部分间的关系.........................22

2.2.2乘除法的意义和各部分间的关系.........................23

三、统计与概率..............................................24

3.1条形统计图.............................................26

3.1.1简单的数据收集和整理..................................27

3.1.2条形统计图的特点....................................28

3.2平均数..................................................29

3.2.1平均数的意义.........................................30

3.2.2求平均数的方法.......................................31

四、综合应用................................................31

4.1数学广角---优叱.......................................32

4.2总复习..................................................33

4.2.1四则运算的复习........................................34

4.2.2空间与图形的复习......................................35

4.2.3统计与概率的复习....................................35

一、数与代数

1.整数的认识

•理解自然数的概念，包括1至100的数，以及它们的顺序和大小关系。

•掌握数位顺序表，理解数位和计数单位的关系。

•学习整数的表示方法，包括数位表示法和数位顺序表示法。

•理解正数、负数和零的概念，以及它们在数轴上的位置。

2.小数的认识

•理解小数的意义，包括小数的位数和小数点的作用。

•掌握小数的读法和写法，包括整数部分和小数部分。

•学习小数的大小比较方法，包括相同数位比较和数位扩展比较。

•了解小数的近似值，以及如何进行四舍五入。

3.分数的认识

•理解分数的意义，包括分数表示的意义和分数单位。

•掌握分数的读法和写法，包括真分数、假分数和带分数。

•学习分数的大小比较方法，包括同分母比较和异分母比较。

•理解分数的加减乘除运算规则，以及如何进行分数的运算。

4.代数式的认识

•理解代数式的概念，包括代数式的组成和表示方法。

•掌握代数式的书写规范，包括字母表示数的方法。

•学习代数式的化简方法，包括同类项合并和多项式乘法。

•理解代数式的应用，包括用代数式表示实际问题。

5.方程的初步认识

•理解方程的意义，包括等式和未知数的概念。

•掌握方程的表示方法，包括文字方程和代数方程。

除了学习如何准确地读写大数，我们还掌握了比较两个或多个大数大小的方法。这

通常通过比较最高位上的数字来实现，如果最高位相同，则继续比较下一位，直到找到

不同之处。这种方法可以帮助我们在实际生活中快速判断出哪个数值更大或者更小，从

而做出合理的决策。

四舍五入与估算：

在处理大数的过程中，四舍五入和估算是非常实用的技能。当我们不需要精确的答

案时，可以通过四舍五入将一个复杂的数字简化为更接近但更容易处理的形式。而估算

则是在没有具体数据的情况下，根据己知条件对结果进行大致预测的能力。这两种方法

都能有效提高解决问题的速度，并增强我们对数学的信心。

通过对“大数的认识”的学习，学生们不仅提升了自己对于数字的理解和操作能力，

同时也为将来更深入地学习数学打下了坚实的基础。希望每位同学都能够在这部分的学

习中找到乐趣，勇敢迎接挑战，成为数字世界的探索者！

1.1.1亿以内数的认识

一、数的组成

1.认识计数单位：亿以内有十亿、千万、百万、十万、万、千、百、十个等计数单

位。

2.认识数位：从右到左，依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、

千万位、亿位。

二、数的读写

1.读数：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连

续几个0都只读一个零。

2.写数：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个

数位上写Oo

三、数的大小比较

1.比较两个数的大小，首先比较它们的数位，数位多的数大；如果数位相同，从最

高位开始比较，相同数位上的数大的那个数就大。

四、数的认识应用

1.理解亿以内数的概念，能够熟练地进行数的读写。

2.掌握数的大小比较方法，能够进行简单的数的大小比较。

3.能够运用数的组成、数的读写和数的大小比较等知识解决实际问题。

1.1.2数的产生和十进制计数法

一、数的产生

1.数的产生是人类社会发展的必然结果，它源于人们对自然现象、生产活动和日常

生活中数量的需求。

2.最初，人们用实物计数，如手指、脚趾、石子等0

3.随着生产力的提高和认知能力的增强，人们开始使用符号来表示数量，逐渐形成

了数的概念。

二、十进制计数法

1.十进制计数法是一种基于10个基本数字（0-9）的计数方法。

2.每个数位上的数字都表示该数位上的单位数量，从右至左依次是个位、十位、百

位、千位、万位等。

3.每个数位之间的进率是10,即每增加一位，数值就扩大10倍。

4.十进制计数法具有以下特点：

a.数字的读法与写法简单易懂;

b.数字的运算规则简单，易于掌握；

C.数字的表示方法具有统一性和扩展性。

三、十进制计数法的应用

1.在日常生活中，我们用十进制计数法来表示时间、长度、面积、体积等量的大小。

2.在数学运算中，十进制计数法是进行加减乘除运算的基础。

3.在科学研究和工程技术中，十进制计数法被广泛应用于各种计量和计算。

四、学习十进制计数法的方法

1.理解数位的意义和进率；

2.掌握数字的读写规则；

3.通过实例练习，熟悉数的表示和运算；

4.在实际生活中运用十进制计数法，提高解决问题的能力。

1.1.3亿以上数的认识

亿是计数单位，表示一百万的平方，即10的8次方°在日常牛活中，亿是一个非

常大的数，用于表示大量的物品、人口、资金等。亿以上的数包括十亿、百亿、千亿等。

一、亿以上数的读写

1.读法：亿以上数的读法与亿以下的数相同，从高位到低位，每四位一组，每组读

作一个数，中间用“亿”连接。例如：一百零五亿写作105亿，三千四百五十亿

写作3450亿。

2.写法：亿以上数的写法与亿以下的数相同，从高位到低位，每四位一组，每组写

一个数，中间用“亿”连接。例如：105亿写作一百零五亿，3450亿写作三千四

百五十亿。

二、亿以上数的估算

亿以上数的估算方法与亿以下的数相同，可以使用“四舍五入”法、求整数近似数

法等方法进行估算。

1.四舍五入法：将亿以上数的每一位数进行四舍五入，保留到所需的位数。例如：

将一百零五亿估算为105亿。

2.求整数近似数法：将亿以上数的每一位数进行四舍五入，保留到所需的位数，并

在数的后面加上“亿”字。例如：将一百零五亿估算为一百零五亿。

三、亿以上数的运算

亿以上数的运算方法与亿以下的数相同，包括加减法、乘法、除法等。在进行运算

时，要注意以下几点：

1.对齐：在进行加减法运算时，要将亿以上数市齐，即相同数位对齐。

2.进位和借位：在进行加减法运算时，要注意进位和借位，保持数位的正确性。

3.乘除法：在进行乘除法运算时，要将亿以上数按照乘除法运算的规则进行计算，

注意结果的位数。

通过以上内容的学习，学生们应能熟练掌握亿以，数的读写、估算和运算，为后续

学习打下坚实的基础。

1.1.4计算工具的认识

在数学学习中，计算工具是帮助我们提高计算效率、解决复杂计算问题的重要辅助

工具。以下是几种常见的计算工具及其基本使用方法：

1.计算器：计算器是n常生活中最常用的计算工具之一。它可以帮助我们快速进行

加减乘除等基本运算，以及一些高级数学运算。使用计算器时，需要注意以下几

八占、、•.

•熟悉计算器的按键功能，如数字键、运算符键、等号键等。

•正确输入数字和运算符，确保计算结果的准确性。

•注意计算器的显示格式，了解如何查看和调整结果。

2.抄写工具：在解决一些较为复杂的数学问题时，我们可以使用抄写工具，如尺子、

圆规等，来进行辅助作图和测量。使用抄写工具时，需要注意以下几点：

•确保作图工具的清洁和准确，以保证图形的精确度。

•掌握各种几何图形的绘制方法，如直线、圆、三角形等。

•学会使用比例尺进行测量，以便在图纸上准确地表示实际距离。

3.估算工具:估算工具可以帮助我们在没有计算器的情况下，对数值进行快速估算。

常用的估算工具有：

•大数估算：将大数分解为几个较小的数，进行逐个估算，再求和。

•估算比例：利用已知比例关系，对未知数进行估算。

•估算范围：根据问题的实际情况，给出一个合理的数值范围。

通过认识和使用这些计算工具，我们可以在数学学习中更加高效地解决问题，提高

解题能力。同时，也要学会合理选择和使用工具，避免过度依赖“算器，培养自己的“

算能力和逻辑思维能力。

1.2角的度量

一、角的定义

角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，这两条射线称为角的边，公共端点称

为角的顶点。

二、角的分类

1.锐角：角的度数大于0°小于90°。

2.直角：角的度数等于90°。

3.钝角：角的度数大于90。小于180°。

4.平角：角的度数等于180°。

5.周角：角的度数等于360°。

三、角的度量工具

1.角度量角器：用于测量角的度数。

2.圆规：可用于绘制角，也可以通过圆规的半径来估算角的度数。

四、角的度量方法

1.使用角度度量器：将角度度量器的一条边与角的一边对齐，另一边指向角的另一

边，读取度数。

2.使用圆规：以角的顶点为圆心，以适当长度为半径画弧，弧与角的两边相交，测

量两交点间的弧长，根据弧长估算角度。

五、角的计算

1.角的加减：两个角的和或差可以通过它们对应的边进行计算。

2.角的倍数：一个角乘以一个整数，其结果是将原角的度数乘以这个整数。

六、角的性质

1.对顶角相等：两条直线相交时，它们形成的走顶角相等。

2.同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

3.内错角相等：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

4.同旁内角互补：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角之和为180。。

通过以上对角的度量的学习，学生能够掌握角的基本概念、分类、度量方法以及角

的性质，为后续学习几何知识打下坚实的基础。

1.2.1直线、射线和角

一、直线

1.定义：直线是没有端点、无限延伸的线。

2.表示方法：用一个小写字母表示，如直线AB。

二、射线

1.定义：射线有一个端点，从这个端点开始无限延伸的线。

2.表示方法：用一个小写字母表示射线的起点，加上一个箭头表示射线无限延伸的

方向,如射线AB。

三、角

1.定义：角是由两条射线有公共端点（顶点）所组成的图形。

2.分类：

a.锐角：角的度数小于90度。

b.直角：角的度数等于90度。

c.钝角:角的度数大于90度，小于180度。

d.平角：角的度数等于180度。

3.表示方法：用一个小写字母表示角的顶点，再在两个角的两边分别写出表示射线

的字母，如角ABJ

四、角的度量

1.单位：度（°）

2.角的度量方法：使用量角器测量角的度数。

五、角的性质

1.角的大小与角的开口大小有关，与角的边长无关。

2.直线上的两个角互为补角，即它们的度数之和为180度。

3.相邻角互补，即它们的度数之和为180度。

4.对顶角相等，即它们的度数相等。

六、角的画法

1.画射线：用直尺画出一条射线。

2.画角：用三角板上的角画一个等于所需角度的角。

通过以上内容，对直线、射线和角的相关知识进行了归纳总结，希望对同学们的学

习有所帮助。

1.2.2角的度量单位

在数学中，角是用来描述平面内两条射线（或线段）之间的夹角大小的几何图形。

角的度量单位是用来衡量角的大小的标准，以下是常用的角的度量单位及其换算关系：

1.度（°）：这是最常用的角的度量单位。一个完整的圆周被定义为360度。

2.半度（°/2）：半度是度的二分之一，即180度等干一个半圆.

3.弧度（rad）：弧度是另一种角的度量单位，主要用于数学和物理领域。一个完整

的圆周对应于2兀弧度。

4.换算关系：

•1弧度=180/冗度

•1度二元/180弧度

在实际应用中，我们通常使用度来度量角的大小。例如，直角是90度，锐角小于

90度，钝角大于90度但小于180度。通过掌握角的度量单位，学生可以更准确地描述

和计算角的大小，为后续学习平面几何、立体几何等知识打下基础。

1.3三位数乘两位数

在本章节中，我们将学习如何进行三位数乘以两位数的乘法运算。以下是这一部分

的主要内容：

1.乘法意义和计算法则

•意义：三位数乘两位数是求两个数相乘的结果，表示一个数是另一个数的多少倍。

•计算法则：按照整数乘法的计算方法进行，即从右到左，先乘个位，再乘十位，

最后乘百位。

2.计算步骤

•步骤一：将三位数和两位数按照数位对齐，确保个位对齐。

•步骤二：从右到左，先用两位数的个位去乘三位数的每一位数，得到一个个位数

的乘积。

•步骤三：再用两位数的十位去乘三位数的每一位数，得到一个个位数的乘积。

•步骤四：将两次乘得的积相加，得到最终的结果。

3.计算示例

例如，计算123乘以45的步骤如下:

1.将45写在下方，123写在上方，确保个位对齐。

2.用5乘以123的每一位，得到5X3=15,5X2=10,5X1=5,将结果写在下方，

注意进位。

3.用4（十位）乘以：23的每一位，得到4X3=24X2=8,4X1=4,将结果写在

下方，同样注意进位。

4.将两次乘得的积相加,得到最终结果：5535o

5.注意事项

•进位：在计算过程中，要注意进位，特别是在用十位去乘时。

•多位数乘法：三位数乘两位数的乘法运算可以看作是多位数乘法的基础，对于多

位数乘多位数的运算有很好的铺垫作用。

通过学习这一部分，同学们将能够熟练掌握三位数乘两位数的乘法运算，为后续的

学习打下坚实的基础。

1.3.1口算乘法

口算乘法是数学学习中的一项基本技能，它要求学生在不借助计算工具的情况下,

直接计算出两个或多个数的乘积。以下是□算乘法的一些关键知识点：

1.1两位数乘以一位数

•将两位数的个位与一位数相乘，得到一个一位数的积。

•将两位数的十位与一位数相乘，得到一个十位数的积。

•将上述两个积相加，得到最终结果。

例如：23X5

•3X5=15（个位）

•2X5=10（十位）

•10+15=25

1.2两位数乘以两位数

•将两位数的个位与另一个两位数的个位相乘，得到一个一位数的积。

•将两位数的个位与另一个两位数的十位相乘，得到一个十位数的积。

•将两位数的十位与另一个两位数的个位相乘，得到一个十位数的积。

•将两位数的十位与另一个两位数的十位相乘，得到一个百位数的积。

•将上述四个积相加，得到最终结果。

例如：34X25

•4X5=20（个位）

•3X5=15（十位）

•4X2=8（十位）

•3X2=6（百位）

•6+15+8+20=59

1.3两位数乘以三位数

•将两位数的个位与三位数的个位、十位、百位分别相乘，得到三个一位数的积。

•将两位数的十位与三位数的个位、十位、百位分别相乘，得到三个十位数的积。

•将两位数的十位与三位数的个位、十位、百位分别相乘，得到三个百位数的积。

•将上述九个积相加，得到最终结果。

例如：45X123

•5X3=15（个位）

•5X2-10（十位）

•5X1=5（百位）

•4X3=12（个位）

•4X2=8（十位）

•4X1=4（百位）

・15+12+8+10+5+4=54

1.3.2笔算乘法

笔算乘法是小学数学中非常重要的内容，它帮助我们在不使用计算器的情况下进行

多位数的乘法计算。以下是第算乘法的基本步骤和注意事项:

1.竖式乘法:

•将乘数和被乘数按照数位对齐，写在竖式的上下两行。

•从被乘数的个位数开始，依次与乘数的每一位相乘，得到的部分积写在下面，注

意对齐数位。

•如果部分积超过一位数，需要向左进位。

2.多位数乘多位数：

•对于多位数乘多位数，可以先计算每一位的乘积，再按照数位相加。

•在计算过程中，如果某个数位上的乘积是两位数或三位数，需要将进位考虑进去。

3.注意事项：

•乘法交换律：aXb=bXa,这意味着乘数的顺序可以互换，但乘积不变。

•乘法结合律：aX(bXc)=(aXb)Xc,这意味着乘法可以按照任意顺序进行组

合，乘积不变。

•估算：在实际计算中，可以先估算乘积的大致范围，帮助检查计算结果的合理性。

4.例题分析：

•例如,计算123x45：

1.将123和45写成竖式。

2.从123的个位数3开始，依次与45的每一位相乘，得到部分积。

3.将所有部分积相加，得到最终乘积。

通过掌握笔算乘法，学生能够提高计算速度和准确性，为后续的数学学习打下坚实

的基础。在练习时，应注意多加练习，熟练掌握乘法法则。

1.4平行四边形和梯形

一、平行四边形的特征

1.定义：平行四边形是指两组对边分别平行的四边形。

2.特征：

•对边平行且相等。

•对角相等。

•对角线互相平分。

二、平行四边形的性质

1.平行四边形的对边平行且相等：这是平行四边形的基本特征。

2.平行四边形的对角相等：即相邻的两个角和相对的两个角分别相等。

3.平行四边形的对角线互相平分：一条对角线被另一条对角线平分。

三、梯形的定义与分类

1.定义：梯形是指只有一组对边平行的四边形。

2.分类：

•等腰梯形：两腰（不平行的两边）相等的梯形。

•不等腰梯形：两腰不相等的梯形。

四、梯形的性质

1.梯形的一组对边平行：这是梯形的基本特征。

2.等腰梯形的性质：

•两腰相等。

•同位角相等。

•顶角和底角相等。

3.不等腰梯形的性质：

•两腰不相等。

•同位角不一定相等。

•顶角和底角不一定相等。

五、平行四边形和梯形的实际应用

1.平行四边形在生活中的应用：例如，门窗的形状大多为平行四边形，利用其稳定

性。

2.梯形在生活中的应用：例如，楼梯的形状大多为梯形，利用其节省空间的特点。

通过学习本节内容，学生应掌握平行四边形和梯形的定义、特征、性质，并能将这

些知识应用于解决实际问题。

1.4.1垂直与平行

一、垂直

1.定义：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

2.垂直的性质：

•如果一条宜线与平面内的另一条直线垂直，那么这条直线与这个平面也垂直。

•垂线与被垂直的直线之间形成的角是直角。

•垂直线段的长度相等。

二、平行

1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.平行的性质：

•平行线之间的距离处处相等。

•平行线上的对应角相等。

•如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。

二、垂直和平行的判定

1.垂直的判定：

•如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

•如果一条直线与平面内的两条平行线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

2.平行的判定：

•如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。

•如果两条直线上的同位角相等，那么这两条直线互相平行。

•如果两条直线上的内错角相等，那么这两条直线互相平行。

•如果两条直线上的同旁内角互补，那么这两条直线互相平行。

四、应用

1.利用垂直和平行的性质解决实际问题，如测量、设计等。

2.在几何图形中识别垂直和平行关系，理解其性质。

3.运用垂直和平行的知识解决数学问题，如证明、计算等。

1.4.2平行四边形

一、定义与性质

1.定义：平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

2.性质：

•对边平行且相等。

•对角相等。

•对角线互相平分。

•相邻角互补。

二、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行：如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平

行四边形。

2.两组对边分别相等：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平

行四边形。

3.一组对边平行且相等：如果一个四边形有一组对边平行且相等，那么这个四边形

是平行四边形。

4.对角相等：如果一个四边形的对角相等，那么这个四边形是平行四边形。

5.对角线互相平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四

边形。

三、应用

1.计算平行四边形的面积：面积二底X高。

2.解决实际问题：在几何图形的设计、建筑、测量等领域，平行四边形的概念和性

质有广泛的应用。

四、练习

1.判断一个四边形是否是平行四边形，并说明理由。

2.根据平行四边形的性质，画出对应的图形。

3.计算平行四边形的面积，并解决实际问题。

1.5除数是两位数的除法

一、概念理解

1.当我们进行除法运算时，如果除数是两位数，那么这种除法运算就称为除数是两

位数的除法。

2.在除数是两位数的除法中，被除数可以是三位数、四位数或更多位数。

二、计算步骤

1.确定除数和被除数：先明确除数和被除数，并确保被除数的位数不小于除数的位

数。

2.试商：从被除数的最高位开始，逐位试商，即尝试用除数去除被除数的前几位数。

a.如果除数能够整除前几位数，那么商就写在这一位上。

b.如果除数不能整除前几位数，则需要向下多试一位，即试除前几位和下一位组成

的数。

3.计算余数：在试商的过程中，如果除数不能整除被除数，那么会得到一个余数。

4.将商和余数写出来：将试出的商写在上面的横线上，余数写在被除数的下方。

5.如果被除数还有更多的位数，则重复以上步骤，直到所有的位数都被处理完毕。

6.确认结果：最后，检查商和余数是否正确，确保除法运算的准确性。

三、注意事项

1.在试商时，要注意不要遗漏任何一位数。

2.如果除数大于被除数，那么商就是0,余数等于被除数。

3.当被除数的某一位试商后，如果余数小于除数，则不能再试除更多的位数。

4.在进行除法运算时，要注意运算的顺序，先计算除法，再进行加减乘等运算。

四、实际应用

1.通过除数是两位数的除法，可以解决实际问题，如分配物品、计算时间等。

2.在数学学习中，除数是两位数的除法是基础运算，对于提高学生的数学能力具有

重要意义。

1.5.1口算除法

□算除法是学生在学习除法运算时的重要基础，它要求学生能够快速、准确地计算

出简单的除法结果。以下是口算除法的一些关键知识点:

1.熟练掌握乘法口诀：乘法口诀是口算除法的基础，学生需要熟练掌握1到9各数

乘以1到9的乘法结果。

2.利用乘法口诀进行除法计算：对于两位数或三位数除以一位数的情况，可以利用

乘法口诀找到与之相乘等于被除数的除数。例如，要计算56:8,可以找到8乘

以7等于56,因此56=8的结果是7。

3.灵活运用商不变性质：商不变性质指的是，在除法运算中，如果被除数和除数同

时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。例如，要计算72・9,可以同时将被

除数和除数都除以9,得到8+1,商仍然是8。

4.解决实际问题：口算除法不仅能用于计算，还能解决生活中的实际问题。例如，

计算购物时的找零、分配物品等。

5.练习方法：为了提高口算除法的速度和准确性，学生可以通过以下方法进行练习：

•制作口算练习题，每天坚持练习；

•参与口算比赛，提高口算兴趣；

•与同学互相出题，相互检查。

通过以上方法，学生可以逐步提高口算除法的技能，为后续学习更复杂的除法运算

打下坚实的基础。

1.5.2笔算除法

笔算除法是数学学习中的一个重要组成部分，它帮助学生理解数字之间的关系，并

为更高阶的数学概念打下坚实的基础。在四年级下册的学习中，我们将深入探讨笔算除

法，包括如何有效地进行多位数的除法运算，以及解决实际生活中遇到的相关问题。

一、除法的基本概念

首先，让我们回顾一下除法的基本概念。除法是指将一个数（被除数）按照另一个

数（除数）的大小分成若干等份的过程。结果称为商，如果不能完全分完，剩余的部分

则称为余数。例如，在计算中，18是被除数，3是除数，而6则是商，这

里没有余数。

二、竖式除法

对于更复杂的除法问题，如多位数除以一位数或多位数，我们通常使用竖式除法来

求解。竖式除法是一种系统化的方法，可以帮助我们一步一步地解决问题。步骤如下：

1.从左至右：总是从被除数的最高位开始处理。

2.比较与试商：查看当前部分是否大于或等于除数；如果是，则尝试找到一个数（即

商的一部分），使得除数乘以此数的结果最接近但不超过这部分被除数。

3.相减：用当前部分减去上一步骤得到的乘积，得到余下的数。

4.下降：把被除数中下一个位置的数字拉下来，与上一步骤的余数合并，形成新的

待除数。

5.重复：重复上述过程直到处理完所有位数。

三、练习与应用

为了更好地掌握笔算除法，学生应该通过大量的练习题来提高自己的技能。这些练

习可以包括但不限于简单的除法题目、填空题、选择题等。此外，还可以结合实际情况

提出问题，比如购物时计算找零、分配物品等，让学生明白除法不仅仅是一个拍象的概

念，而是日常生活中不可或缺的一部分。

四、注意事项

•在做笔算除法时，要注意每一位上的商和余数的正确性。

•如果遇到较大的数字，可能需要多次试商才能找到准确的答案。

•对于有余数的情况，确保最后写出完整的答案形式，如“商•余数”。

通过以上对笔算除法的学习，学生们不仅能够提升自己的数学能力，还能培养逻辑

思维能力和解决问题的能力。希望每位同学都能认真对待这一章节的内容，多多练习，

为以后的学习奠定良好的基础。

二、空间与图形

1.空间与图形的基本概念：

•空间：三维空间，由长、宽、高三个维度构成。

•图形：在空间中占据一定位置和形状的物体。

•面积：平面图形所占的空间大小。

•体积：立休图形所占的空间大小。

2.常见平面图形：

•长方形：有四个直角的四边形，对边平行且相等。

•正方形：四个角都是直角的四边形，四条边都相等。

•平行四边形：对边平行且相等的四边形。

•梯形：只有一组对边平行的四边形。

•等腰梯形：两腰相等的梯形。

•圆形：平面上所有点到圆心的距离都相等的图形。

•半圆：圆的一部分，由圆心和圆上两点构成的弧和这两点之间的直线组成。

3.常见立体图形：

•长方体：六个面都是长方形的立体图形，相邻面的夹角都是直角。

•正方体：六个面都是正方形的立体图形，相邻面的夹角都是直角。

•棱柱：两个平行且全等的底面，侧面都是矩形或平行四边形的立体图形。

•棱锥：一个底面和若干个三角形侧面组成的立体图形，底面和侧面相交的顶点称

为锥顶。

4.空间与图形的度量：

•面积的度量：使用平方单位，如平方厘米、平方分米、平方米等。

•体积的度量：使用立方单位，如立方厘米、立方分米、立方米等。

5.空间与图形的变换：

•平移：将图形沿某个方向移动一定距离。

•旋转：将图形绕某个点旋转一定角度。

•对称：将图形沿某条直线折叠，折叠后的两部分完全重合。

6.空间与图形的应用：

•在生活中，空间与图形的概念广泛应用于建筑、设计、地图、工艺品等领域。

•在数学学习中，空间与图形的知识有助于解决实际问题，提高空间想象力和思维

能力。

2.1观察物体（二）

在四年级下册的数学学习中，我们进一步深入探索如何从不同角度观察物体。这一

章节旨在帮助学生理解并掌握从不同位置和视角观察立体图形的方法，培养空间观念，

并学会用语言描述所看到的物体特征。

知识点一：不同角度观察物体：

当从不同角度观察同一个物体时，所见的形状可能会有所不同。例如，当我们站在

一个长方体的正前方看它时，我们可能只能看到它的正面；如果我们走到侧面，那么看

到的就是侧边的样子；而从上方往下看，则能看到顶部的形状。通过这种方式，我们可

以更全面地了解物体的结陶和特点。

知识点二：使用简单词汇描述物体:

本节还教导学生用简单的词汇来描述他们所观察到的物体，比如，“圆形”、“方形”、

“三角形”等基本几何图形的概念会被应用于描述物体的不同面或部分。止匕外，还会涉

及到“前面”、“后面”、“左边”、“右边”、“上面”和“下面”这样的方位词，以便准确

表达观察到的位置关系。

知识点三：画出从特定角度看物体的示意图：

为了更好地理解和记忆，学生们将练习根据自己的观察绘制简单的示意图。这不仅

有助于提高他们的绘画技能，更重要的是能加强他们对物体的空间想象能力。例如，给

定一个立方体模型后，要求学生分别画出从前、后、左、右四个方向看到的平面图。

知识点四：通过实物操作加深理解：

课堂上会安排一些实践活动，让学生亲手摆弄各种立体模型，如积木、球体、圆柱

体等。这些动手活动可以让学生更加直观地感受物体的真实形态及其变化，从而增强他

们对于抽象概念的理解。

总结来说，《观察物体（二）》这一章节强调了实后操作与理论知识相结合的重要性,

鼓励孩子们积极思考、勇于尝试，逐步建立起良好的空间感知能力和逻辑思维习惯。这

为今后学习更复杂的几何知识打下了坚实的基础。

2.1.1从不同方向观察物体

本节主要介绍了从不同角度观察物体的方法，以及如何描述物体的形状和特征。以

下是本节的核心知识点：

1.观察角度：观察物体时，可以从正面、侧面、上面、下面、左面、右面等多个角

度进行观察。

2.描述物体形状：在观察物体时，需要仔细观察物体的轮廓、线条、面等，并用准

确的语言描述物体的形状。

3.绘制三视图：根据从不同角度观察到的物体形状，可以绘制出物体的三视图，包

括主视图、左视图和俯视图。

4.三视图之间的关系：主视图展示物体的前后位置，左视图展示物体的左右位置，

俯视图展示物体的上下位置。三视图结合起来，可以完整地描述出物体的形状。

5.实物与视图的对应：在实际操作中，要学会将实物与从不同角度观察到的视图相

对应，加深对物体形状的理解。

6.举例说明：通过具体例子，如观察长方体、正方体、圆柱等常见几何体，学会从

不同角度观察物体并描述其形状。

7.应用拓展：在实际生活中，学会从不同角度观察物体，有助于我们更好地理解和

解决问题。例如，在设计建筑模型、绘画、摄影等领域，掌握从不同角度观察物

体的方法具有重要意义。

通过本节的学习，学生应能够熟练掌握从不同方向观察物体的方法，并能用准确的

语言描述物体的形状，为后续学习几何图形的特征打下坚实的基础。

2.1.2物体的三视图

在我们的日常生活中，物体可以从不同的角度观察到。例如，当我们从正面、侧面

或顶部看一个物体时，所看到的形状可能会有所不同。为了更准确地描述和理解物体的

形态，数学中引入了“三视图”的概念。三视图是将一个三维物体通过三个不同方向的

投影转换为二维图形的方法，这三种视图分别是：

•主视图(FrontView)：也称为正视图，是从物体的正面观察到的形状。它反映

了物体的高度和宽度。

•俯视图(TopView)：是从物体的上方垂直向下观察到的形状。它展示了物体的

长度和宽度。

•侧视图（SideView）：可以分为左视图和右视图，这里我们通常指的是从物体的

左侧或右侧观察到的形状。它显示了物体的高度和深度。

绘制三视图时，需要确保各个视图之间保持一定的对应关系，即：

•主视图和俯视图的长度相等；

•主视图和侧视图的高度相等；

•俯视图和侧视图的宽度相等。

了解并掌握三视图的绘制方法对于培养空间想象力非常重要，它不仅帮助我们在几

何学的学习中更好地理解物体的结构，而且在工程设计、建筑绘图等领域也有着广泛的

应用。通过练习画出不同物体的三视图，我们可以提高自己的观察能力和空间思维能力,

这对于解决实际问题非常有帮助。

在学习过程中，建议同学们多做练习，尝试从不同角度观察身边的物品，井试着画

出它们的三视图。这样不仅可以加深对知识点的理解，还能激发大家对数学的兴趣，让

学习变得更加有趣味性和实用性。

2.2四则运算

一、四则运算的概念

四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种基本算术运算。它是小学数学中的基础

内容，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

二、四则运算的运算顺序

在进行四则混合运算时，需要遵循以下运算顺序：

1.先算乘法和除法，后算加法和减法；

2.如果算式中同时含有乘法和除法，或者同时含有加法和减法，应按照从左到右的

顺序依次进行计算;

3.如果算式中含有括号，应先计算括号内的内容。

三、四则运算的计算方法

1.加法：将两个数相加，求它们的和。加法满足交换律和结合律。

2.减法：从一个数中减去另一个数，求它们的差。减法不满足交换律。

3.乘法：将两个数相乘，求它们的积。乘法满足交换律和结合律。

4.除法：将一个数除以另一个数，求它们的商。除法不满足交换律。

四、四则运算的应用

1.解决实际问题：通过四则运算，可以解决生活中的各种实际问题，如计算商品的

价格、计算物品的数量等。

2.图形问题：在几何图形的计算中，常常需要用到四则运算来计算面积、周长等。

3.比例问题：在解决比例问题时，往往需要用到四则运算来计算比例的值。

五、四则运算的注意事项

1.计算过程中要注意符号的书写，避免出现错误；

2.计算时要细心，避免囚粗心大意而造成的错误；

3.在解决实际问题时，要善于将问题转化为四则运算的形式，以便进行计算。

通过以上内容的学习，学生应熟练掌握四则运算的基本概念、运算顺序和计算方法,

并能将其应用到实际问题的解决中。

2.2.1加减法的意义和各部分间的关系

在北师大版四年级下册数学中，理解加减法的意义及其各部分之间的关系是构建数

学思维能力的重要基础。本节将探讨加法与减法的含义、它们如何互为逆运算，以及这

些运算中不同数学术语所代表的意义。

加法的意义:

加法是最基本的算术运算之一，它表示将两个或更多的数值合并成一个总数的过程。

这个过程可以用来计算当我们将不同集合中的物体数量组合在一起时得到的总数量。例

如，如果我们有3个苹果和5个橘子，那么通过加法我们可以得知一共有8个水果(3+

5二8)0在这个例子中，“+”符号代表着加法操作，“二”则表示等号两边的值相等。

•被加数：参与加法运算的第一个数。

•加数：加到被加数上的第二个数或更多数。

•和：加法运算的结果。

减法的意义：

减法是另一种基本的算术运算，它是加法的逆运算，意味着从一个较大的数值中移

除一部分以找出剩余的数量。比如，如果从10个糖果中拿走了4个，我们就可以用减

法来计算还剩下多少个糖果(10-4=6)。

•被减数：进行减法运算时起始的较大数值。

•减数：从被减数中减去的那个数值。

•差：减法运算后剩下的数值。

加减法各部分间的关系：

加法和减法之间存在密切联系，这体现在它们互为逆运算这一点上。换句话说，如

果你知道某个加法问题的答案，并且你想找到其中一个加数，你可以使用减法来解决这

个问题。同样地，如果有一个减法问题，而你知道答案和其中的一个数，你也可以用加

法来找回另一个数。例如：

•如果我们知道(a+6=c),那么我们可以说(c-d=切或者(c-6二a)。

•同样，如果("-e=/),那么(f+e=。。

这种关系不仅帮助学生更好地理解加减法的基本概念，而旦有助于他们发展解决问

题的能力，包括检查自己的工作是否正确。掌握这些基础知识对于后续学习更复杂的数

学概念至关重要。

在学习加减法时，了解其意义及各部分之间的关系能够极大地促进学生的数学素养,

使他们能够更加灵活地应用这些知识于实际生活情境之中。

2.2.2乘除法的意义和各部分间的关系

乘法和除法是数学中的基本运算，它们各自有着独特的意义和相互之间的关系。

乘法的意义：

乘法是一种表示重复加法或相同加数的简便运算，例如，3乘以4（写作3X4）可

以理解为将4加上自身3次，即4+4+4,或者理解为4个4相加。乘法的意义可以概括

为：

•表示儿个相同加数的和。

•表示求几个相同加数的总和。

除法的意义：

除法是乘法的逆运算，它表示将一个数平均分成若干份，或者求一个数是另一个数

的几倍。例如，12除以4（写作12+4）可以理解为将12分成4份，每份是多少，或

者理解为12是4的几倍。除法的意义可以概括为：

•表示已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数。

•表示将一个数平均分成若干份，求每份是多少。

乘除法各部分间的关系：

在乘法中，有三个基本部分：乘数、被乘数和积。在除法中，也有三个基本部分：

被除数、除数和商。它们之间的关系如下：

•乘法美系：乘数x被乘数=积

•除法关系：被除数+除数=商

例如，在乘法表达式3义5二15中，3和5是乘数，15是积；在除法表达式15・3=5

中，15是被除数，3是除数，5是商。

此外，乘法和除法之间还存在以下关系：

•如果乘数和被乘数交换位置，积不变，即aXb二bXa。

•如果被除数和除数同时乘以或除以相同的数(不为0),商不变，即a+b二

(aXc)-r(bXc)o

理解乘除法的意义和各部分间的关系对于解决实际问题、学习更高层次的数学概念

都具有重要意义。

三、统计与概率

在四年级下册的数学学习中，统计与概率是一个重要的部分，它帮助学生理解数据

收集、整理、分析以及预测的基本方法。这部分的学习不仅增强了学生的逻辑思维能力，

还培养了他们对不确定事件进行合理估计的能力。以下是本学期关于统计与概率的主要

知识点：

1.数据的收集与整理

•数据收集：学生将学习如何通过问卷调查、观察记录等方式收集数据。了解不同

类型的调查方法，并能根据实际情况选择合适的收集方式。

•数据分类：学会按照一定标准对收集到的数据进行分类，例如按性别、年龄、喜

好等进行分组。

•数据整理：掌握使用表格和图表(如条形图、折线图)来表示数据的方法，能够

清晰地展示数据特征。

2.平均数

•平均数的概念：介绍平均数作为一组数值的代表值的意义，它是所有数值加起来

除以数值个数的结果。

•计算平均数：练习计算简单数据集的平均数，理解平均数可以反映一组数据的一

般水平。

•平均数的应用：探讨平均数在实际生活中的应用，比如计算班级平均成绩、家庭

月均开支等。

3.统计图表

•条形图：学习制作简单的条形图，用以直观地比较不同类别之间的数量差异。

•折线图：了解折线图的特点及适用场景，特别是用于显示一段时间内数据的变化

趋势。

•读图与解图：培养学生从图表中获取信息的能力，包括识别图表类型、解读图表

含义、分析数据变叱规律。

4.概率初步

•随机现象：认识生活中存在的不确定性事件，如掷骰子、抽卡片等，理解这些事

件的发生是随机的。

•可能性大小：讨论某些随机事件发生的可能性，通过实验或理论计算得出结论，

例如“正面朝上的概率为一半”。

•公平游戏：引入公平游戏的概念，让学生明白如果每个参与者获胜的机会相等，

则该游戏被认为是公平的。

5.实践活动

•设计调查方案：鼓励学生自己动手设计一个小型调查项目，从问题设定、样本选

取到结果分析，完整体验一次统计过程。

•模拟实验：组织小组活动，利用硬币翻转、色子投掷等活动模拟随机事件，记录

并分析实验结果，增强对概率概念的理解。

通过上述内容的学习，学生们不仅能掌握基本的统计与概率知识，还能提高解决实

际问题的能力，为进一步深入学习数学打下坚实的基础。同时，这种学习方式也促进了

团队合作精神和个人探索精神的发展。

3.1条形统计图

一、概念：

条形统计图是一种用长条形来表示数据数量的统计图表，每个长条形的高度或长度

代表相应类别的数据量或数量。

二、特点：

1.直观易懂：通过条形的高度或长度可以直观地比较不同类别数据的多少。

2.分类清晰：条形统计图可以清晰地展示不同类别或组别的数据分布情况。

3.数据量表示明确：每个长条形的具体尺寸可以精确地表示数据的具体数量。

三、制作方法：

1.确定数据类别：首先明确需要统计的数据类别，并对其进行分类。

2.绘制横轴和纵轴：横轴通常表示数据的类别，纵轴表示数据量。

3.标记刻度：根据数据范围在纵轴上标记合适的刻度。

4.绘制条形：根据每个类别对应的数据量，绘制相应高度或长度的条形。

5.添加图例：如果有多个数据系列，需要添加图例说明每个条形代表的类别。

四、应用场景：

1.日常生活：如调查同学们喜欢的颜色、水果等。

2.教育教学：如统计班级人数、各科成绩分布等。

3.社会调查：如市场调研、人口统计等。

五、注意事项：

1.选择合适的比例：条形的高度或长度要与数据量成正比，避免过于夸张或缩小。

2.条形间距：相邻条形之间应保持一定的间距，以便于区分。

3.清晰的标签：为每个条形和轴添加清晰的标签，以便于读者理解。

4.避免过多数据：在条形统计图中，过多的类别可能导致图表过于复杂，难以阅读。

3.1.1简单的数据收集和整理

在日常生活中，我们经常需要对信息进行收集、分类和整理，以便更好地理解和使

用这些信息。例如，学校可能会统计每个班级的学生人数，或者记录每天的气温变化。

在数学学习中，数据收集和整理是帮助我们理解数字世界的重要工具之一。本节将介绍

如何进行简单数据的收集和整理。

数据收集是指通过一定的方法获取关于特定问题的信息或数值的过程。对于四年级

的学牛来说，可以采用直接观察、调查问卷、实验等方式来收集数据C比如，想要知道

班上同学最喜欢哪种颜色，可以通过向每位同学询问他们最喜欢的颜色，然后记录下来。

这是最基础也是最直观的数据收集方式。

数据整理：

一旦完成了数据的收集，下一步就是对其进行整理。整理数据的目的在于使原始数

据更加清晰有序，便于分析。常见的数据整理方法包括：

•分组：根据数据的特点将其划分成不同的类别。如前所述的颜色偏好问题中，可

以按照红色、蓝色、绿色等不同颜色进行分组。

•计数：统计每组内的具体数量。继续以颜色偏好的例子说明，计算出喜欢红色的

同学有几位，喜欢蓝色的又有几位等。

•制表：将整理后的结果以表格的形式呈现出来。这样不仅一目了然，而且有助于

后续的数据分析工作。

•绘图：利用条形图、折线图等形式直观展示数据之间的关系。图形化表示可以让

复杂的数据变得更容易理解。

通过简单的数据收集与整理活动，学生们不仅能掌握基木的数据处理技能，还能培

养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。同时，这也是为将来更深入地学习统计

学知识打下坚实的基础。希望同学们能够积极参与到每一次的数据实践活动中去，体验

其中的乐趣并学会从数据中发现故事。

3.1.2条形统计图的特点

条形统计图是一种直观的图表形式，它通过不同长度或高度的条形来表示不同类别

的数据数量。以下是条形统计图的一些主要特点：

1.直观性：条形统计图能够清晰地展示各类数据的数量对比，便于观察者快速理解

数据之间的差异C

2.对比性强：通过条形的长度或高度，可以直观地比较不同类别数据的多少，便于

进行数据对比分析

3.分类明确：条形统计图可以将数据按照类别进行划分，每个类别用一个或多个条

形表示，使得各类别之间的关系一目了然。

4.易于扩展：在条形统计图中，可以轻松地添加新的类别或调整己有的类别，使得

图表能够适应数据的变化。

5.易于读取：条形统计图中的每个条形都代表一个特定的数据量，条形上的数字标

签可以帮助读者更准确地读取数据。

6.适用范围广：条形统计图适用于各类数据的展示，无论是连续数据还是离数数据,

都可以通过条形统计图来有效地表达。

条形统计图以其直观、易读、易于比较的特点，在数据分析和教育教学中得到了广

泛的应用。

3.2平均数

一、概念理解

平均数是指在一组数据中，所有数据相加的和除以数据的个数所得的商。它是表示

一组数据集中趋势的量数，通常用来描述数据的平均水平。

二、计算方法

1.求平均数的基本步骤：

•将一组数据相加，得到总和。

•计算数据的个数。

•用总和除以数据的个数，得到平均数。

2.公式表示：

•设一组数据为（%.，%，・・•，4），其总和为（S），数据个数为（，），则平均数（A）可以

表示为：

nn

三、应用举例

1.求一组数的平均数：

例如，有5个学生的数学成绩分别为：85分、92分、88分、90分、95分，求这5

个学生的数学成绩平均数。

解：先将成绩相加，得到总和：（85+.92+88+90+.95=450,然后除以学生人数,

得到平均数：（芋二9。）。因此，这5个学生的数学成绩平均数为90分。

2.生活中的应用：

平均数在日常生活和工作中有着广泛的应用，如计算平均身高、平均速度、平均温

度等。

四、注意事项

1.在计算平均数时，要确保所有数据都被正确地加起来。

2.当数据中包含小数时，应保持数据的一致性，即都使用小数或者都使用整数。

3.平均数只能反映一组数据的集中趋势，不能代表每个具体数据。

3.2.1平均数的意义

平均数是统计学中一个非常重要的概念，它反映了数据集中所有数值的总体水平。

在北师大版四年级下册数学中，平均数的意义主要体现在以下几个方面：

1.定义：平均数是一组数据的总和除以数据的个数。用数学公式表示为：平均数二

数据总和+数据个数。

2.作用：平均数可以用来描述一组数据的集中趋势，帮助我们了解这组数据的平均

水平。

3.计算方法：

•算术平均数：这是最常见的平均数计算方法，适用于连续的数值数据。

•加权平均数：当数据中某些数值的权重不同时，使用加权平均数可以更准确地反

映数据的总体水平。

4.应用：在日常生活中，平均数广泛应用于各种领域，如计算学生的成绩、分析产

品的质量、评估经济指标等。

5.注意事项：

•平均数只能反映数据的集中趋势，不能代表每个数据点的具体数值。

•计算平均数时，数据应具有代表性，否则可能会得出偏颇的结果。

通过学习平均数的意义，学生可以更好地理解数据的特点，并学会如何运用平均数

来分析和解决问题。

3.2.2求平均数的方法

平均数是统计学中用来描述一组数据集中趋势的重要指标，求平均数的基本方法如

下：

1.定义：平均数是一组数据总和除以数据个数的结果。

2.公式：平均数=数据总和+数据个数。

3.步骤：

•计算总和：将所有数据加起来得到总和。

•确定个数：统计数据的个数C

•计算平均数：用总和除以个数得到平均数。

4.注意事项：

•数据必须是数值型，不能是文字或符号。

•计算过程中要保持精确，避免四舍五入带来的误差。

•当数据量较大时，可以使用计算器辅助计算。

5.实例：

•假设有5个学生的数学成绩分别为：90分、85分、80分、75分、70分，求这5

个学生的平均成绩。

•首先计算总和：90+85+80+75+70=400分。

•然后确定个数：共有5个数据。

•最后计算平均数：400+5=80分。

•因此，这5个学生的平均成绩是80分。

通过以上方法，我们可以轻松地求出任何一组数据的平均数，这对于理解数据的集

中趋势和比较不同数据集具有重要意义。

四、综合应用

1.综合理解与应用

•在解决实际问题中，能够综合运用所学的数学知识，如四则运算、几何图形、数

据统计等。

•能够根据实际情境，选择合适的数学方法进行问题解决。

•例如，通过计算实际生活中的消费问题、工程问题等，培养学生的综合应用能力。

2.策略与方法的选择

•能够根据问题的特点，灵活选择合适的策略和方法解决问题。

•如在解决数学问题时，可以运用画图、列表、假设、推理等多种方法。

•例如，在解决“植树问题”时，可以运用植树公式进行计算，也可以通过画图来

直观地理解问题。

3.数学模型的应用

•学会从实际情境中如象出数学模型，并运用数学模型解决问题。

•例如，在学习“利息”这一知识点时，可以建立简单的储蓄模型，计算不同存款

方式的利息。

4.数学思维的发展

通过综合应用，培养学生的逻辑思维、空间想象、数据分析等数学思维能力。

•例如，在学习“平面图形”时，引导学生通过观察、操作等活动，发展空间想象

能力。

5.数学与生活的联系

•在解决实际问题时，能够认识到数学在生活中的应用，体会数学的价值。

•例如，在学习“测量”时，让学生了解测量工具的使用方法，以及测量在生活中

的应用。

6.合作与交流

•在综合应用