小学五年级数学上册《等式的性质》探究式教学设计

小学五年级数学上册《等式的性质》探究式教学设计一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在小学阶段强调发展学生的符号意识、推理能力和模型思想。本课内容隶属于“数与代数”领域，是学生从算术思维迈向代数思维的关键转折点。从知识技能图谱看，学生已掌握用字母表示数和简单方程的意义，本课将深入探究“等式”的内在规律，即等式两边同时加、减、乘、除同一个数（0除外），等式仍然成立。这一性质是后续学习解方程、列方程解决复杂实际问题的直接理论依据，构成了代数运算的基石，其认知要求应从“识记”走向深刻“理解”并能灵活“应用”。在过程方法上，本课是渗透数学归纳、抽象概括和模型思想的绝佳载体。探究等式性质的过程，本质是引导学生经历“观察猜想操作验证归纳结论符号表达”的数学化过程，形成严谨的理性精神。从素养价值渗透而言，对“平衡”与“不变”规律的探寻，不仅培养了学生的逻辑推理能力，更在潜移默化中引导其形成透过现象看本质、把握事物间普遍联系的辩证唯物主义观点萌芽。

基于“以学定教”原则进行学情研判：学生已有“等式表示两边相等”的生活经验和前期知识，但多数仍停留在算术计算的具象层面，对“等式作为动态平衡关系的抽象表达”理解不深。潜在的认知障碍在于：第一，难以摆脱“=”仅是“得出结果”的算术思维定势；第二，对“同时”、“同一个数”的操作理解易出现疏漏，尤其是涉及乘除法时；第三，从具体天平操作抽象为一般数学符号语言存在跨度。教学调适策略上，我将利用天平这一直观教具搭建思维桥梁，设计阶梯式探究任务。对于思维较快的学生，引导其挑战“能否用其他方式（如数轴、生活实例）解释性质”，并尝试逆向思考；对于需要更多支持的学生，通过小组互助、教师个别指导及具象化操作演示，确保其建立基本概念。课堂中将嵌入“前测”与“后测”问题，通过观察讨论、随堂练习动态评估，即时调整教学节奏与深度。二、教学目标

知识目标：学生能通过天平平衡的直观操作，主动建构并完整表述等式的两条基本性质（加减性与乘除性），理解“同时”、“同一个数”以及“0除外”等关键条件；能运用符号语言（如“若a=b，则a±c=b±c”）准确表征性质，并解释其与天平平衡及生活现象的对应关系。

能力目标：在合作探究中，学生能规范进行“猜想验证归纳”的数学探究活动，发展观察、比较、抽象和概括的逻辑推理能力。能够独立运用等式的性质，完成对简单等式变形的合理论证，初步形成代数演算的规范性。

情感态度与价值观目标：学生在操作与讨论中体验数学探究的乐趣和严谨性，感受“变”与“不变”的辩证统一。在小组协作中，能积极倾听同伴观点，勇于表达自己的猜想并理性接纳他人意见，培养合作与交流的科学态度。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的符号化思想与模型思想。引导其从具体实物平衡（天平）中抽象出数量关系（等式），再从数量关系中概括出普适性规律（性质），最终用最简洁的数学符号建立模型，完成从具体到抽象，再从抽象到一般的思维跃升。

评价与元认知目标：引导学生依据“操作是否有序、表述是否严谨、推理是否有据”等标准，对自身及同伴的探究过程进行初步评价。在课堂小结环节，能反思本课学习路径（“我们是如何发现这些性质的？”），提炼出“观察实验归纳”的数学研究方法。三、教学重点与难点

教学重点：探究并理解等式的两条基本性质，并能用准确的数学语言进行表述。其确立依据在于，该性质是代数领域最核心的“大概念”之一，是解方程所有变形操作的根本原理，直接决定了学生后续代数学习的深度与规范性。从能力立意看，它不仅是知识重点，更是训练学生逻辑推理和数学表达的关键载体。

教学难点：一是对“等式两边必须同时进行相同运算”这一操作要领的深刻理解与把握；二是从具体的天平直观操作到抽象的数学符号概括的思维跨越。预设依据源于学生认知特点：他们易于关注局部操作而忽略整体平衡，且抽象概括能力尚在发展。常见错误表现为解方程时只在等式一边运算，或忽略除数不能为0的条件。突破方向在于强化“天平”与“等式”的类比，通过多层次、多感官的体验活动固化“同时性”与“同数性”概念。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含动态天平模拟演示）；实物天平及配套砝码若干套；学习任务单（含探究记录表与分层练习）。1.2环境布置：将学生分成46人合作小组，便于操作与讨论。黑板划分出核心概念区、探究过程区和例题展示区。2.学生准备2.1知识准备：复习方程与等式的概念。2.2学具准备：携带铅笔、直尺。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与设问：“同学们，请看这个‘神奇’的天平（课件展示一个平衡的天平，左右托盘分别显示5g和2g+3g）。它现在是平衡的，如果我们想知道左边这个‘？’砝码的重量，在不能直接取下的情况下，你有什么好办法吗？”（等待学生思考，可能回答“看右边”、“两边一起拿掉相同的”等）。“大家想到了改变天平上的砝码来求解，真棒！这背后其实隐藏着等式的一个大秘密。今天，我们就化身数学侦探，一起来揭开‘等式的性质’这个神秘面纱。”

1.1提出核心问题与路径：“侦探破案需要线索。我们的核心线索就是——怎样才能改变一个等式，而让它始终保持‘平衡’（成立）呢？这节课，我们将借助老朋友‘天平’，通过动手操作、仔细观察、大胆猜想和小心验证，找到这个问题的答案，并学会用数学的语言把它严谨地表述出来。”第二、新授环节任务一：天平中的平衡——唤醒等式观念

教师活动：首先，分发实物天平，引导学生进行“热身操作”。发布指令：“请各小组让天平保持平衡，可以任意放置砝码，然后用一道等式表示你们的平衡状态。”巡视各组，选取有代表性的平衡状态（如左3右3；左5右2+3），请学生将对应的等式写在黑板上。追问：“这些形态各异的天平，为什么都能用‘=’连接？‘=’在这里究竟意味着什么？”引导学生说出“左右两边总重量相等”。

学生活动：小组合作操作天平，尝试制造不同的平衡状态。观察天平指针，确保平衡。讨论并用等式（如3=3，5=2+3）记录操作结果。思考并回答教师提问，加深对等式表示“平衡”或“相等关系”的理解。

即时评价标准：1.操作规范性：能否轻拿轻放，通过调节使天平精确平衡。2.表征准确性：能否将天平的平衡状态正确转化为数学等式。3.表达清晰性：解释“=”含义时，能否使用“相等”、“总量相同”等关键术语。

形成知识、思维、方法清单：★等式是表示相等关系的数学模型，如同平衡的天平。▲从具体情境（天平）到抽象符号（等式）的转换，是数学建模的初步。★理解“=”的双重含义：在算式中表示“结果”，在等式中表示“关系”。教师提示：“从现在起，请把等式看作一个动态的、可以变化的平衡关系，而不仅仅是一个静态的结果。”任务二：探究“平衡之道”（一）——同时加或减同一个数

教师活动：提出驱动性问题：“如果在这个平衡的天平两边，同时做一件相同的事情，天平会怎样？请先猜一猜。”组织学生猜想。然后发布探究指令：“以你们小组记录的某个平衡等式（如5=5）为起点，在天平两边同时加上1个相同重量的砝码（如2g），观察并记录结果；再尝试同时减去1个相同的砝码。”巡视指导，确保“同时”操作。收集学生结论后，追问：“如果加的不是2g，是任意一个重量c，结论还成立吗？如果同时加上或减去同一个字母a呢？”引导学生从特殊推广到一般。

学生活动：基于本组的等式进行猜想。动手操作，体验“同时”加、减相同砝码的过程，观察天平是否保持平衡，并记录新等式（如5+2=5+2，52=52）。小组讨论，尝试用一句话概括发现的规律。参与全班交流，理解从具体数字到抽象字母（或符号）的概括过程。

即时评价标准：1.探究的严谨性：是否严格按照“同时”、“同重量”进行操作。2.归纳的完整性：概括规律时，是否包含了“两边”、“同时”、“同一个数”等要素。3.迁移的意愿：是否愿意接受并理解用抽象符号（a，c）来代表任意数。

形成知识、思维、方法清单：★等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。★符号语言：若a=b，则a±c=b±c。▲“同时性”是保持平衡的关键，如同天平的两端必须同时操作。★从有限次实验到无限可能情况的归纳，体现了数学的普遍性。教师可设问：“如果不同时会怎样？谁能上来演示一下？”任务三：探究“平衡之道”（二）——同时乘或除以同一个数（0除外）

教师活动：承上启下：“加减法我们研究过了，乘除法呢？平衡的天平两边同时扩大相同的倍数，或者缩小为相同的几分之一，还会平衡吗？这次，请先独立用你们手中的天平设计一个验证方案。”给与思考时间后，引导学生明确方案：例如，将两边现有砝码重量同时变为原来的2倍（乘以2），或同时拿走一半（除以2）。组织学生操作验证。关键设问：“在除法操作中，有什么需要特别警惕的吗？”引导学生发现“除以的数不能为0”，并解释其物理意义（天平上没有“除以0”的操作，数学上也无意义）。

学生活动：独立思考验证乘除规律的实验方案，并与组员交流。动手操作，验证同时乘以2、除以2等情况。重点讨论并理解“为什么不能除以0”。尝试概括第二条性质，并注意补充条件“0除外”。

即时评价标准：1.方案设计能力：能否将“乘除”转化为可操作的天平动作（如倍数、等分）。2.批判性思维：是否主动意识到除数不能为0这一特例。3.语言精炼度：概括性质时，表述是否严密、完整。

形成知识、思维、方法清单：★等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。★符号语言：若a=b，则a×c=b×c；若a=b且c≠0，则a÷c=b÷c。▲“0除外”是数学严谨性的体现，是规则的重要边界。★数学规律往往有适用范围（条件），这是科学思维的重要组成部分。提示学生：“这条性质比第一条多了一个‘警卫’——c≠0，一定要记牢它！”任务四：从“天平”到“等式”——符号化抽象与整合

教师活动：引导学生将目光从实物天平移回黑板上的等式。指着任务一中的等式，如“5=2+3”，提问：“现在，如果我们不用天平，只看着这个等式，你能利用我们发现的规律，让它变一变，又保持成立吗？谁来当小老师，指挥大家进行‘脑内天平’操作？”请学生口头描述操作（如“两边同时减去2”），教师同步板演出变形过程：5=2+3→52=2+32→3=3。强调每一步变形的依据（用的是性质1还是性质2）。接着，呈现一个含有字母的等式，如“m=n”，让学生尝试用符号语言直接写出对其进行各种变形后的结果。

学生活动：脱离实物，根据性质对具体数字等式进行“纸上变形”，并说出依据。观看教师板演，学习规范的书写格式。挑战用符号语言直接表达对“m=n”的变形（如m+5=n+5，3m=3n），体会数学的抽象与简洁。

即时评价标准：1.应用准确性：变形操作是否正确，依据是否明确。2.符号运用能力：能否熟练使用字母等式和性质符号进行表达。3.格式规范性：书面表达是否清晰、有逻辑。

形成知识、思维、方法清单：★等式性质的直接应用：对等式进行恒等变形。★规范书写的重要性：每一步变形最好注明依据，这是良好的数学书写习惯。▲数学的威力在于抽象：摆脱具体器物（天平），在符号世界中自由操作。★两种性质的综合与辨析：引导学生对比，“什么情况下用性质1，什么情况下用性质2？”任务五：小试牛刀——基础辨析与巩固

教师活动：出示一组判断题，如“如果x=y，那么x+3=y3。（）”、“如果a=b，那么6a=6b。（）”、“如果m=n，那么m÷2=n÷2。（）”、“如果7=7，那么7÷0=7÷0。（）”。组织学生独立判断后，开展“手势判断”（如对举拇指，错举叉）或小组讨论，要求必须说明判断理由（依据哪条性质，错在何处）。

学生活动：独立思考并判断。积极参与全班或小组互动，清晰陈述理由，例如：“第一题错，因为没有‘同时’加同一个数，一边加一边减，破坏了平衡。”

即时评价标准：1.概念理解深度：能否准确识别对“同时”、“同一个数”、“0除外”等条件的违反。2.表达的说服力：理由陈述是否基于性质本身，逻辑清晰。3.参与的积极性：是否主动参与集体反馈。

形成知识、思维、方法清单：★典型错例分析：针对“不同步”、“不同数”、“漏掉0除外”等常见错误进行强化认知。▲辨析是最好的巩固，在判断正误中深化对原理的理解。★数学表达需要理由支撑，养成“言必有据”的思维习惯。教师点评：“看来大家都成了‘等式性质’的合格质检员，眼神真犀利！”第三、当堂巩固训练

基础层（全员必做）：1.根据等式性质，在○里填运算符号，在□里填数。(1)x+25=60→x+2525=60○□(2)y÷6=1.2→y÷6×6=1.2○□。2.如果a=b，根据性质，写出结果：a+7=()；5a=()。

综合层（多数学生挑战）：1.一个保持平衡的天平，左边是一袋xg的糖果，右边是3个20g砝码。如果两边同时拿走一个20g砝码，天平如何表示？用等式表达变化过程。2.已知m=n，判断变形是否正确，并改正错误：m2.5=n2.5（）；8m=8+n（）；m÷12=n÷12（）。

挑战层（学有余力选做）：1.你能利用等式的性质，解释“等式两边可以交换位置”吗？（提示：从a=b出发，尝试通过几步变形得到b=a）。2.联系生活：想象一个跷跷板平衡的情景，如何用等式的性质描述在两端等重小孩基础上，再各加一个等重大人的情况？

反馈机制：学生独立完成后，小组内交换批改基础层和综合层部分，并讨论疑难点。教师巡视，收集共性问题和优秀解法。邀请不同层次的学生展示解题过程与思路，尤其关注挑战层的创新解释。教师针对“等式两边交换位置”的证明进行精讲，展示代数推理的魅力：“看，我们从a=b出发，两边同时减a，得0=ba；两边再加b，就得到了b=a。这就是数学逻辑的力量！”第四、课堂小结

知识整合：“同学们，今天的侦探之旅即将结束，我们找到了哪些‘宝藏’？请用你们自己的方式（如思维导图、关键词列表）进行整理。”邀请学生分享他们的总结，教师最终呈现结构化板书：一个中心（等式保持平衡的规律）、两条性质（加减性、乘除性）、三个关键（同时、同数、0除外）、一种思想（从具体到抽象的模型思想）。

方法提炼：“回顾一下，我们是怎么发现这些宝藏的？”引导学生回顾“观察天平→猜想规律→操作验证→归纳结论→符号表达→应用辨析”的科学探究路径。

作业布置与延伸：公布分层作业（见第六部分）。最后留下一个思考题：“等式的性质如此强大，它最直接的用途会是什么？我们如何用它来解开像导入时那个‘？’砝码一样的谜题呢？下节课我们将进入实战——解方程。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.熟读并背诵等式的两条性质。2.完成课本对应练习，完成等式根据性质的填空与简单变形。3.列举两个生活中符合等式性质的现象。拓展性作业（建议完成）：1.编写3道利用等式性质进行变形的题目（2道正确，1道包含典型错误），并附上答案与错误分析。2.已知长方形的面积公式S=ab，若一个长方形面积不变，当它的长扩大到原来的3倍时，宽应如何变化？用等式的性质解释。探究性/创造性作业（选做）：1.查阅资料或自主思考：“=”这个符号是怎么来的？写一份数学小简报。2.挑战题：如果a=b，c=d，那么根据等式的性质，a+c和b+d有什么关系？ac和bd呢？你能尝试证明你的猜想吗？七、本节知识清单及拓展1.★等式的定义：表示两个数或两个式子相等关系的式子，叫做等式。它强调的是一种“平衡”状态，而非运算结果。2.★等式性质1（加减性质）：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。符号语言：若a=b，则a±c=b±c。记忆口诀：“同加同减，平衡不变”。3.▲“同时”的操作要领：这是性质应用中最易出错点。必须保证对等号两边的操作是同步进行的，如同天平两端的操作必须同时发生。4.★等式性质2（乘除性质）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。符号语言：若a=b，则a×c=b×c；若a=b且c≠0，则a÷c=b÷c。5.★“0除外”的深刻含义：除以0在数学上没有意义（除数不能为0），因此性质2中除法运算必须附加c≠0的条件。这是数学严谨性的典范。6.▲从天平到等式的建模过程：实物天平是理解等式性质的绝佳直观模型。天平平衡→等式成立；在天平两端加等重砝码→等式两边加同数；天平平衡保持不变→等式仍然成立。7.★等式性质的“保持相等”功能：性质的作用是对一个已知成立的等式进行变形，得到一个新的、仍然成立的等式。它是等式进行“等价变换”的理论基础。8.★性质应用的基本步骤：①观察原等式；②确定目标（想得到什么形式）；③选择性质（判断用加减还是乘除）；④规范操作（两边同时进行）；⑤写出新等式。9.▲典型错误辨析：错误1：只在等式一边运算。如由x=5得到x+2=5。错误2：两边运算不同。如由y=3得到y+1=31。错误3：除以0。如由6=6得到6÷0=6÷0。10.★符号意识的培养：学习用抽象的字母（a,b,c）来代表任意数，概括出普适性规律，是代数思维的核心。鼓励学生多使用符号语言进行表达。11.▲逆向思考：等式性质是可逆的。如果a+c=b+c，那么a=b；如果ac=bc且c≠0，那么a=b。这为后续解方程中“移项”、“系数化为1”提供了依据。12.★等式性质与方程的联系：解方程的所有步骤（移项、合并、系数化1）都建立在等式性质之上。可以说，等式性质是解方程的“宪法”。13.▲生活实例联想：帮助理解。如：两人拥有等额存款，同时存入相同金额（加同数），或同时将存款翻倍（乘同数），之后两人的钱仍然一样多。14.★数学思想方法：本课核心渗透了模型思想（天平模型）、归纳推理（从特殊到一般）、符号化思想（字母表示）。15.▲书写格式建议：为了清晰，建议在等式变形时，将每一步的依据（“根据等式性质1”或“性质2”）简要标注在等号上方或后方，养成严谨的数学书写习惯。16.★为后续学习奠基：等式性质不仅是解一元一次方程的基础，也是未来学习不等式性质、函数变形等知识的思维原型。其“保持某种关系不变”的思想贯穿数学始终。八、教学反思

（一）目标达成度分析：本节课预设的知识与能力目标基本达成。通过探究任务单反馈和课堂练习观察，绝大多数学生能准确表述两条性质，并能完成基础性应用。符号化表达环节，部分学生表现出从具体到抽象的思维跳跃困难，但在多次类比和练习后有所改善。情感目标在小组合作的热烈讨论和成功操作中得以实现，学生普遍表现出较高的探究兴趣。

（二）环节有效性评估：导入环节的“天平谜题”迅速聚焦了“保持平衡”这一核心问题，效果显著。新授环节的五个任务构成了螺旋上升的认知阶梯：任务一、二、三紧扣