湖南省新高考教学教研联盟2025-2026学年高二上学期12月学情检测数学试题（B卷）

湖南省新高考教学教研联盟20252026学年高二上学期12月学情检测数学试题（B卷）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.【答案】C【解析】【分析】根据集合的表示方法求解.故选：C.A. B. C. D.【答案】D【解析】故选：D.3.已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x–3）2+（y–4）2=16，则两圆的位置关系为A.外切 B.内切 C.相交 D.外离【答案】A【解析】【详解】圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，圆心A（3，4），半径R=4，两圆心之间的距离|AO|=5=4+1=2=R+r，∴两圆相外切．故答案为A．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】故选：B.【答案】B【解析】【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.故选：BA.3 B. C.6 D.4【答案】A【解析】【分析】由斜二测画法知道四边形形状，并得到对应线段长度，由面积公式求得结果.故选：A.A. B. C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】求出点到直线AB的距离和点到直线AB的距离即可求得答案.【详解】设点到直线AB的距离为，点到直线AB的距离为，【答案】C【解析】故选：C.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.C.事件与相互独立 D.事件与互斥【答案】BC【解析】【分析】利用容斥原理，结合古典概率公式求解判断ABD；利用相互独立事件的定义判断C.故选：BC.【答案】ABD【解析】【分析】根据直线点斜式方程设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的定义逐一判断即可.过点作准线的垂线，垂足为，故选：ABDB.直线与所成角的余弦值为C.若点到点和点的距离相等，则点的轨迹是一条直线【答案】ACD【解析】对于C，若点到点和点的距离相等，则点在线段的中垂面上，所以点的轨迹是抛物线，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【答案】【解析】【分析】先求出，再根据递推公式求即可.故答案为：.【答案】8【解析】【分析】先求出已知数据的和，再根据平均数公式计算求解．故答案为：8．【解析】【分析】由正弦型函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差、等比数列的公比，根据已知条件列方程，求解得公差与公比，进而写出两个数列的通项公式；【小问1详解】【小问2详解】设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，（1）求；【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】【小问2详解】（1）证明：直线恒过定点；判断直线与圆的位置关系；（2）是否存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，直线与圆相交（2）不存在，理由见解析【解析】【小问1详解】【小问2详解】所以不存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1，所以不存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）方法一：利用空间向量的坐标运算证明线面平行；方法二：利用线面平行的判定定理证明；（2）方法一：利用点到平面的距离的空间向量的坐标运算求解；方法二：根据线面垂直的判定定理找到点到平面的距离，即可求解；【小问1详解】方法2：连接，交于点，连接，因为为BD的中点，【小问2详解】【小问3详解】又点是线段上的一个动点，（1）求椭圆的方程；（2）（3）证明见解析【解析】（2）设直线方程及坐标，联立直线