《“图书角”里的除法秘密-用有余数的除法解决实际问题》教学设计（小学二年级数学）

《“图书角”里的除法秘密——用有余数的除法解决实际问题》教学设计（小学二年级数学）一、教学内容分析  本课内容源于北师大版小学数学二年级上册“分一分与除法”单元，是学生在初步理解平均分及除法意义、掌握用乘法口诀求商之后，首次系统接触“有余数的除法”。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课处于“数与代数”领域中“数的运算”部分，其核心要求是：“探索并掌握多位数的乘除法，感悟从未知到已知的转化。”具体到本学段，要求学生能熟练进行表内除法运算，理解余数及其实际意义。本课的知识技能图谱清晰：它以“平均分”活动为认知起点，通过“分物”情境（如分图书）引出“有剩余”的除法问题，从而定义“余数”概念，建立“被除数÷除数=商……余数”的算式模型，并探究“余数小于除数”这一核心规律。这一知识不仅是表内除法的自然延伸，更是未来学习多位数除法、理解除法运算本质（包含除与等分除）以及模运算的基石，在单元知识链中起着承上启下的关键作用。  从过程方法看，课标强调通过实际操作、直观体验来发展学生的数感和运算能力。本课蕴含的核心学科思想方法是数学建模——将“分物”这一现实问题抽象为除法算式，并用算式的结果解释现实情境。这需要学生经历“具体情境数学问题建立模型解释应用”的完整过程。从素养价值渗透角度，本课是培养学生运算能力、推理意识和模型意识的绝佳载体。通过反复的“分一分、摆一摆、算一算、说一说”，学生不仅能掌握算法，更能理解算理，感悟数学的简洁与抽象之美，体会数学是解决实际问题的有效工具。基于此，本课的教学重点在于引导学生从具体操作中抽象出有余数除法的数学模型；而教学难点则在于理解“余数为什么一定要比除数小”这一算理本质。  针对学情，二年级学生已具备平均分的操作经验与表内除法的计算基础，对“完全分完”的情况理解较好。然而，他们的思维正处于从具体形象向初步抽象过渡的阶段，“有剩余”的情况可能引发认知冲突（如：剩下的怎么办？还能再分吗？）。常见的认知误区包括：忽视余数的存在，或在竖式计算中不知如何处理余数。此外，学生在将操作过程与算式记录建立一一对应关系时可能存在困难。为此，教学必须提供充分的直观学具（如小棒、圆片）供学生动手操作，搭建从具象到抽象的“脚手架”。课堂中，将通过观察学生的操作过程、倾听其小组讨论、分析其列出的算式以及设计有针对性的提问（如：“剩下的1本，为什么不能再分了？”）进行动态学情评估。对于理解较快的学生，将引导其探索和表达“余数<除数”的规律；对于需要支持的学生，则通过教师个别指导、同伴互助以及更细致的操作演示，确保其建立正确的初步概念。二、教学目标  知识目标：学生能在“平均分物品”的具体情境中，理解“有剩余”的平均分现象，认识余数；掌握有余数除法的横式与竖式写法，能正确读写除法算式，知道算式中各部分的名称（被除数、除数、商、余数），并能结合操作解释其含义。  能力目标：学生通过小组合作分学具的活动，发展动手操作与合作交流的能力；能根据情境提出简单的除法问题，并尝试用除法算式（包括有余数的情况）进行表征和解决，初步形成从现实情境中抽象出数学问题的能力。  情感态度与价值观目标：在解决“图书角”分书等贴近生活的问题过程中，感受数学与生活的密切联系；在小组探究中乐于分享自己的发现，认真倾听同伴的意见，体验共同学习的乐趣。  学科思维目标：重点发展学生的模型思想和归纳推理能力。通过多次操作、记录、比较不同分法的活动，引导学生主动发现并归纳“余数总是比除数小”这一核心规律，经历“具体案例观察比较归纳概括”的完整思维过程，初步形成有依据地猜想和验证的数学思维习惯。  评价与元认知目标：引导学生依据“操作是否清晰、算式记录是否与操作一致、解释是否合理”等简单标准，对本人及同伴的学习过程进行初步评价；在课堂小结时，能用“我知道了……我发现了……我还不明白……”的句式对自己的学习收获与困惑进行简单反思。三、教学重点与难点  教学重点：掌握有余数除法的竖式计算方法，并能解决简单的实际问题。其确立依据在于，竖式计算是除法运算的标准程序性知识，是后续所有除法学习的基础工具。从课标看，它属于必须掌握的“基础知识与基本技能”；从能力立意看，竖式计算过程涵盖了试商、乘减等多个步骤，是训练学生逻辑思维和运算程序规范性的关键载体。  教学难点：理解余数的意义及“余数必须比除数小”的道理。其预设依据源于学情分析：二年级学生的思维以形象为主，“剩余”的概念虽可感知，但“为什么余数不能等于或大于除数”这一抽象规则需要从大量操作体验中升华而来。这是认知上的一个跨度，常见错误如“11÷2=5……1”误写成“11÷2=4……3”，其根源在于对“余数”本质（不能再分的一份）理解不清。突破方向在于设计层层递进的操作活动，引导学生在“分到不能再分为止”的体验中自然发现这一规律。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（包含情境图、动画演示分书过程）；板书设计预案（预留核心概念、算式、发现规律的区域）。1.2操作材料：11本仿真小图书模型或11张带图书图案的卡片；用于学生分组操作的学具袋（每袋内含11根小棒或11个圆片）。1.3学习单：设计分层探究学习任务单，包含操作记录表、算式书写区和挑战性问题。2.学生准备  准备好数学书、练习本、文具。无需特别预习，但可回忆平均分知识。3.环境布置  学生四人小组就坐，便于合作探究。教室后方或一角可简单布置一个“图书角”情境。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题提出：“同学们，咱们班图书角最近新添了11本有趣的数学故事书（课件出示一叠书）。现在，老师想请你们帮忙，如果把这些书平均分给2个学习小组，让他们在课间阅读，每个小组能分到几本呢？会不会正好分完？”大家先在心里估一估，猜一猜。2.唤醒旧知与引发冲突：让学生尝试用已有知识解决。“我们用以前学过的除法能解决吗？怎么列式？（11÷2）能用乘法口诀直接算出答案吗？”学生可能会发现口诀“二五一十”最接近，但会有剩余。“是啊，二五一十，分出去10本，可是这里明明有11本呀，多出的这一本怎么办？还能继续分吗？”由此制造认知冲突，引出本课核心问题：“当平均分有剩余时，该如何用数学算式来表示这种分的结果？”3.明晰路径：“看来，这‘11本书’里藏着我们今天要探索的新秘密。接下来，我们就当一回‘图书管理员’，亲手分一分、摆一摆，一起来研究这种‘有剩余’的平均分，学会用一种新的除法算式来记录它。”第二、新授环节任务一：动手操作，初探“剩余”教师活动：首先，明确操作要求：“请每个小组的1号同学拿出学具袋里的11根小棒，代表11本书。大家合作，试着把这11根小棒，平均分给组内的2位同学（用两个文具盒代表两位同学），分的时候要一份一份地分，看看每人得到几根，最后还剩下几根。”巡视指导，关注学生是否进行“平均分”，并询问：“剩下的这根，为什么不分了？”收集不同的分法（如先每人分1根再继续，或直接尝试每人分5根）。然后，请一个小组上台演示。演示后提问：“他们分的结果是每人得到5根，还剩1根。这剩下的1根，还能再平均分给这2位同学吗？”引导学生明确“不能再分”是关键。学生活动：以小组为单位，动手操作学具，尝试将11根小棒平均分成2份。在操作中直观感受“分到每人同样多”后“还有剩余”的情况。观察同伴的分法，并思考老师提出的问题，尝试用语言描述操作结果：“我们每人分了5根，还多出1根，这1根没法再平均分了。”即时评价标准：1.操作过程是否体现“平均分”的意图（每份先少分再调整或直接尝试每份数量）。2.能否用语言清晰描述分的结果（每份数、剩余数）。3.小组合作是否有序，成员是否都参与了操作或观察。形成知识、思维、方法清单：1.★核心概念引入：在平均分的过程中，有时会有剩余。这个剩余的数，在数学上叫做“余数”。“同学们，记住这个新朋友的名字——‘余数’，就是‘多余下来的数’。”2.▲操作与记录的关联：动手分一分，是把问题变清楚的好办法。分的结果（每人5根，剩1根）就是我们列算式的依据。3.★除法模型拓展：原来学过的除法算式（如10÷2=5）表示正好分完。现在有剩余，就要用新的方式记录：11÷2=5（根）……1（根）。我们可以这样读：11除以2等于5余1。4.易错点提示：写算式时，商和余数的单位有时会不同，要结合问题说清楚。这里的“5”单位是“根/每人”，“1”的单位是“根”。任务二：多元表征，建立模型教师活动：在黑板或课件上同步板书横式“11÷2=5……1”。“这个算式就像一个记录员，把你们刚才分的过程记下来了。谁能当小老师，指着算式说一说，‘11’、‘2’、‘5’、‘1’分别代表刚才分书过程中的什么？”引导学生建立一一对应（11书的总数，2分的份数，5每份数，1余数）。接着，提出新挑战：“如果还是这11本书，要平均分给3个小组呢？4个小组呢？请你们再用小棒分一分，并把分的结果用这样的算式记录下来。”分发学习单（记录表）。巡视，重点关注学生记录时是否规范（商和余数），并挑选有代表性的作品（包括正确和错误，如余数大于除数的情况）准备展示。学生活动：根据教师的引导，将操作过程与算式各部分意义建立联系，并尝试表述。接着，进行第二轮和第三轮操作探究：将11根小棒分别平均分成3份、4份，并在学习单上填写操作结果和相应的横式（如11÷3=3……2，11÷4=2……3）。在操作中进一步体验“有剩余”的平均分。即时评价标准：1.能否将算式中的每个数与具体情境中的量正确对应。2.记录横式是否格式规范（使用“……”号）。3.在分4份时，是否出现每人分2根后，剩余3根的情况，并能意识到这3根是否还能再分。形成知识、思维、方法清单：1.★算式意义建构：有余数除法横式中，每个数都有具体的实际意义。理解这种一一对应关系，是解决问题的根本。“一定要搞清楚算式里的每个数代表什么，它就不是冷冰冰的符号了。”2.▲模型初步应用：同一个总数（11），按不同的份数（除数）去平均分，得到的每份数（商）和余数会发生变化。这体现了除法模型的普遍性。3.★思维进阶点：在操作11÷4时，学生会得到“每人分2根，剩3根”。教师要抓住契机追问：“诶？剩了3根呢，这3根还能不能再每人分1根？”引导学生发现：剩下的3根比4份少，所以无法再每份分1根，但这是否意味着完全不能再分？为理解“余数比除数小”做铺垫。4.方法提炼：遇到“平均分有剩余”的问题，可以用小棒代替实物分一分，然后用‘总数÷份数=每份数……余数’的算式来记录结果。任务三：探索竖式，理解算理教师活动：“刚才我们一直用横式记录，其实除法还有一种更‘厉害’的计算工具——竖式。它能把我们分的过程一步步算出来。我们以11÷2为例，看看竖式怎么写。”教师板演标准竖式书写过程，边写边结合分小棒的过程讲解：“先写‘厂’字头，里面住被除数11，左边住除数2。心里想：11里面最多有几个2？（二五一十）这个‘5’写在哪里？（商写在个位，对齐被除数的个位1）为什么是5？因为每人最多分5本。5×2=10，这个10表示已经分掉了10本。1110=1，这个1就是分完后还剩下的、不能再分的1本，它就是余数。”特别强调：“这个‘1’要写在最下面，和上面的数位对齐，它是我们竖式计算中‘请’出来的余数。”然后，让学生尝试将11÷3和11÷4的横式改写成竖式，教师巡视指导。学生活动：观察教师板演竖式的每一步，并尝试用自己的话复述计算过程，尤其是理解“10”是分掉的部分，“1”是剩下的部分。在练习本上模仿书写11÷2的竖式。随后，尝试独立或在小伙伴帮助下完成11÷3和11÷4的竖式计算，体验完整的竖式流程。即时评价标准：1.竖式书写格式是否规范（数位对齐、商的位置正确）。2.能否在写商和积之后，清晰完成减法步骤得到余数。3.计算后能否检查余数是否已经小于除数（初步感知）。形成知识、思维、方法清单：1.★竖式算法掌握：有余数除法的竖式计算步骤：一商、二乘、三减、四比（初步感受）。重点是理解每一步的算理，尤其是“乘”和“减”的意义——分掉了多少，还剩多少。2.▲算理直观化：竖式中的“1110=1”这个减法步骤，对应操作中“从总数里拿走已经分掉的10根，剩下1根”的过程。让计算有了画面感。3.★关键书写规范：余数的书写位置要特别强调，必须写在横线下面，和个位对齐。“这个小小的‘1’，可别把它弄丢了，它可是计算结果的另一半！”4.易错点预警：学生初学时常会忘记写余数，或把余数写得很大。通过联系操作，强调“剩下的要写出来”。任务四：观察比较，发现规律教师活动：将学生探究得到的几组算式（11÷2=5……1，11÷3=3……2，11÷4=2……3）以及对应的竖式集中展示在黑板上。“火眼金睛的同学们，请大家仔细观察这几个算式，特别是余数‘1，2，3’和除数‘2，3，4’，你有什么惊人的发现吗？”引导学生横向比较余数与除数的大小。可以进一步追问：“如果余数等于4或者比4大，比如余数是4，那意味着什么？（意味着还能再每份分1本）所以，在咱们今天学的这种分法下，余数可以等于或大于除数吗？”通过讨论，引导学生自主归纳出“余数必须比除数小”。学生活动：仔细观察板书的算式组，进行小组讨论，寻找余数与除数之间的关系。可能会发现“余数都比除数小”、“除数变大，余数也跟着变但总是小一点”等现象。尝试用自己的语言总结规律：“剩下的数总是比要分的份数少。”即时评价标准：1.观察是否仔细，能否聚焦于余数与除数的关系。2.归纳出的结论是否基于算式证据。3.能否结合分物过程解释为什么“余数要比除数小”。形成知识、思维、方法清单：1.★★核心规律：在有余数的除法中，余数一定要比除数小。这是除法计算和验算的一条根本法则。“这可是除法王国里的一条‘定律’！”2.▲归纳推理体验：通过观察多个具体例子，发现共同特征，从而得出一般性结论。这是数学发现的重要方法。3.★规律的本质理解：余数如果等于或大于除数，说明还可以继续分，之前的“商”就不是最大。因此，“余数<除数”是“分到不能再分为止”的数学化表达。4.方法应用：这条规律可以用来初步检验我们的除法竖式做得对不对。算完后，看一眼余数，如果它不比除数小，那肯定哪里出错了。任务五：回归情境，解释应用教师活动：回到最初的“图书角”情境，并进行拓展。“现在，我们不仅会分给2个组，还会用竖式计算了。那如果这11本书，要平均分给5个小组，结果怎样？请大家不摆小棒，直接动笔用竖式算一算。”学生计算后，得到11÷5=2……1。提问：“这个结果‘每人2本，还剩1本’，在图书角的管理中，这剩下的1本我们通常会怎么处理？”引导学生结合生活实际进行合理解释（如：先放在图书角，下次再分；或者由老师保管等）。强调数学结果要回到现实中进行解释。学生活动：尝试独立用竖式计算11÷5，巩固算法。思考并讨论余数“1”在实际情境中的处理方式，理解数学解答需要结合实际才有意义。即时评价标准：1.能否脱离学具，正确进行竖式计算。2.能否将计算结果（商和余数）用完整的语言表述其现实意义。3.对余数的处理是否提出合理的、符合情境的解释。形成知识、思维、方法清单：1.★算法巩固：脱离实物操作，直接进行竖式运算，标志着从具体思维向抽象运算的迈进。2.▲数学与生活的联系：学习数学是为了解决问题。算出结果后，要思考“这个结果在实际中意味着什么？”比如，余下的书可以灵活处理。3.★问题解决完整流程：面对一个实际问题（如分书），完整的解决过程是：理解题意>列除法算式>用竖式计算>写出带余数的结果>结合情境解释答案。4.情感态度渗透：在讨论余书处理时，融入爱护图书、合理共享等品德教育，体现学科育人。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，学生可根据自身情况至少完成A、B两组：1.A组（基础应用）：1.2.圈一圈，填一填。（教材配套练习，如：14个草莓，每4个一盘，能圈几盘，还剩几个？并列式计算。）2.3.用竖式计算：17÷3，22÷5。教师反馈：投影展示学生书写规范的竖式，强调“余数<除数”的检验。对于错例，如余数写错位置，可请学生当“小医生”诊断。4.B组（综合理解）：1.5.（）里最大能填几？（）×5<28，这类题目是试商的基础训练。2.6.解决问题：有23块糖果，平均分给4个小朋友，每人分得几块？还剩几块？（要求学生列竖式计算并作答。）教师反馈：侧重评价学生能否从问题中提取“总数”、“份数”等信息，并正确列式。展示不同学生的解题过程，讨论单位名称的书写。7.C组（挑战推理）：1.8.想一想：△÷6=4……☆，☆可能是哪些数？其中最大的一个是几？2.9.联系生活：我们班有33名同学，4人一组进行科学实验，可以分成几组？还多几人？如果想让所有人都参与，至少需要再邀请几位同学？教师反馈：鼓励学生讲解思考过程。对于第1题，引导他们运用刚发现的“余数<除数”规律逆向思考。第2题，则讨论数学方案的合理性及其现实调整。第四、课堂小结  “今天的‘图书管理员’之旅即将结束，大家收获了什么‘秘密武器’？”引导学生从知识、方法、感受等多角度进行自主总结。可邀请几位学生分享：1.“我知道了平均分有时会有剩余，剩余的数叫余数。”2.“我学会了有余数除法的竖式怎么写，还发现余数一定要比除数小。”3.“我觉得用小棒帮忙理解除法特别好用。”  教师随后用结构化的板书（思维导图形式）进行总结，梳理“问题操作算式（横式、竖式）规律应用”的学习路径。最后布置分层作业：4.必做作业：完成练习册上关于有余数除法计算的基础题。5.选做作业：（1）找一找生活中哪些地方用到了“有余数的除法”，举一个例子讲给家人听。（2）挑战题：一个数除以7，商是5，余数最大是几？这时这个数是多少？六、作业设计基础性作业：1.完成课本第XX页“练一练”第1、2题。巩固有余数除法的横式与竖式计算，以及简单的圈一圈、填一填操作。2.竖式计算：13÷4，19÷6，25÷7。要求书写规范，并口头说出每个算式中各数的含义。拓展性作业：1.“家庭物资分配”小调查：家中买来一盒鸡蛋（假设20个左右），如果每天计划吃3个，够吃几天？还剩几个？请用有余数的除法算式表示，并和父母交流你的计算过程。2.完成练习册上的一道情境解决问题，如：“有35颗扣子，每件衣服钉4颗，最多能钉几件衣服？还剩几颗扣子？”探究性/创造性作业：1.“余数的妙用”探秘：查阅资料或动手实验，了解生活中“余数”的巧妙应用之一，如：循环赛的编排、日历中的星期推算、简单的密码设置等。用几句话或一幅图记录下来，下节课与同学分享。2.创编数学小故事：围绕“有余数的除法”创编一个简短的小故事或应用题（例如：小猴分桃），并自己解答。七、本节知识清单及拓展1.★1.余数的定义：在平均分物品时，如果分到最后有剩余，并且剩余的数量不够再每份分1个，这个剩余的数就叫做余数。它是平均分活动“不完整”情况下的产物。2.★2.有余数除法的横式：写法为：被除数÷除数=商……余数（如：11÷2=5……1）。读作：11除以2等于5余1。书写时注意“……”六个点要写规范。3.★★3.有余数除法的竖式计算步骤：这是本课核心技能。步骤口诀：一商（想除数乘几最接近且不超过被除数）、二乘（商乘除数）、三减（被除数减乘得的积）、四比（检查余数是否比除数小）。每一步都对应着分物的实际操作。4.★4.竖式中各部分的名称与意义：与横式一致。被除数（要分的总数），除数（分的份数或每份数），商（每份分得的数），余数（分剩下的数）。竖式中的“积”表示已经分掉的部分。5.★★★5.余数与除数的关系（核心规律）：在有余数的除法中，余数必须比除数小。即：余数<除数。理解关键：如果余数等于或大于除数，说明还可以继续分，之前的“商”就小了。这是判断除法计算是否正确的重要依据。6.▲6.“余数<除数”的算理：源于操作体验。当剩下的数量大于或等于要分的份数时，意味着每份至少还能再分到1个，分的过程并未结束。因此，最终“不能再分”的状态下，余数必然小于除数。7.★7.试商的方法：寻找商时，想除数和几相乘的积最接近且不超过被除数。例如，11÷2，想2×5=10最接近11且小于11，所以商5。这依赖于对乘法口诀的熟练运用。8.▲8.有余数除法结果的解释：计算结果（商和余数）必须放回原问题情境中解释其实际意义。例如，11÷5=2……1，表示每人分2本，还剩1本。这剩下的1本需要根据实际情况处理。9.★9.检查有余数除法的方法：可以用“除数×商+余数”来验算，看结果是否等于被除数。同时，必须检查余数是否小于除数。10.▲10.与之前除法的联系与区别：当余数为0时，就是之前学过的“刚好分完”的除法。有余数的除法是其一般形式，包含前者为特殊情况。11.▲11.简单的周期问题启蒙：利用余数可以解决最简单的周期排列问题。例如，按“红黄蓝”顺序循环，第10个是什么颜色？10÷3=3……1，余数是1，所以是第一个颜色“红”。（可作为拓展了解）12.▲12.生活中的应用实例：安排座位（几人一组，余几人）、分配物资、时间计算（几周余几天）等。体会数学的实用性。八、教学反思  （假设课堂实况复盘）本节课基本达成了预设的教学目标。学生在“图书角”的真实任务驱动下，通过充分的动手操作，经历了有余数除法模型的建构过程。从课堂反馈看，绝大多数学生能正确书写横式和竖式，并能在教师引导下发现“余数<除数”的规律。教学重点——竖式计算得以落实，学生在板演和练习中格式渐趋规范。教学难点——理解余数意义及规律，通过任务四的集中观察比较和深入追问，大部分学生能基于操作体验说出“剩下的比份数少”，理解了“不能再分”是“余数小于除数”的现实根源。  对各教学环节的评估如下：导入环节的情境能迅速抓住学生注意力，提出的核心问题指向明确。新授的五个任务环环相扣，形成了清晰的认知阶梯：从操作感知（任务一）到多元表征（任务二），再到算法形式化（任务三），进而归纳规律（任务四），最后解释应用（任务五）。“脚手架”搭建得较为扎实，特别是将竖式计算步骤与分小棒过程动态结合讲解，降低了理解难度。巩固训练的分层设计照顾了差异，C组挑战题让学有余力的学生思维得到延展。小结环节的学生自主发言，表明他们对本节课的核心内容有了初步的元认知。  对不同层次学生的课堂表现剖析：理解能力强的学生（约占1/3）在任务二、四中表现活跃，能率先发现规律并清晰表达，在C组练习中展现出良好的推理能力。中间层次的学生（约占1/2）在操作和模仿竖式时较为