4一元二次不等式及其解法课件高一上学期数学北师大版

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学必修第一册作课人：廉文杰焦作市外国语中学第一章

预备知识第4节

一元二次函数与一元二次不等式4.2一元二次不等式及其解法

第1课时（共1课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、一元二次不等式的解法。1、通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系.2、了解图象法解一元二次不等式.3、掌握代数法解一元二次不等式.1、理解一元二次不等式与一元二次函数之间的联系。新

知

引

入数学王子——高斯k≠0时，y=kx+b叫作__________________kx+b=0叫作__________________kx+b＞0，kx+b＜0，kx+b≥0，kx+b≤0叫作_________________一元一次函数一元一次方程一元一次不等式

使得一元一次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元一次不等式的解集。学

习

新

知欧几里得（约公元前300年）《几何原本》a≠0时，y=ax2+bx+c叫作___________________ax2+bx+c=0叫作___________________ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0，ax2+bx+c≥0，ax2+bx+c≤0叫作___________________

使得一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集。一元二次函数一元二次方程一元二次不等式新

知

引

入韦

达1、画出函数y=x2-2x-3的图象。3、方程x2-2x-3=0的实数根是_________-1或32、图象与x轴的交点是______________(-1,0),(3,0)这说明一元二次函数图象与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的根。反之，一元二次方程的根是其对应的一元二次函数的图像与x轴交点的横坐标。那么，一元二次函数与一元二次不等式之间有什么联系呢？新

知

引

入布

丰设图像上任意一点的坐标为(x,y),观察图像：1、满足x＜-1或x＞3的点都在在x轴的_______，

此时，这些点的纵坐标y______0.即x＜-1或x＞3时，y___0即x2-2x-3____0反之，当x2-2x-3＞0即y＞0时，x___-1或x____3所以就说一元二次不等式x2-2x-3＞0的解是________________，解集是__________________上方＞＞＞＜＞x＜-1或x＞3{x|x＜-1或x＞3}新

知

引

入伯努利2、满足-1＜x＜3的点都在在x轴的________，

此时，这些点的纵坐标y_____0.

即-1＜x＜3时，y_____0即x2-2x-3______0

反之，当x2-2x-3＜0即y＜0时，-1_____x______3所以就说一元二次不等式x2-2x-3＜0的解是_____________，解集是___________________下方＜＜＜＜＜-1＜x＜3{x|-1＜x＜3}设图像上任意一点的坐标为(x,y),观察图像：学

习

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系

方程根的判别式函数的图象方程的实数根不等式的解集的解集

无实根

学

习

新

知阿波罗尼奥斯（约公元前200年）

《圆锥曲线论》

学

习

新

知拉格朗日(1)图像法：(2)代数法：解一元二次不等式的常见方法

一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c

图像的简图；③由图像得出不等式的解集。

将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解。当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；

若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n。口诀如下：大于取两边，小于取中间。3、恒成立问题：①不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立

⇔________________

或_________②不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立⇔_________________或_________学

习

新

知拉格朗日1、一元二次不等式解集的_________即为相应一元二次方程的实数根.

端点值f(x)g(x)＞0f(x)g(x)＜0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0f(x)g(x)＞0或f(x）=0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0f(x)g(x)＜0或f(x）=0

典

例

引

路集合论之父——康托例1、解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;（2）9x2-6x+1>0(3)-x2+4x-4>0

解:不等式可化为x2-4x+4<0画出函数y=x2-4x+4的图像.所以不等式的解集为∅同

步

练

习无冕的数学之王——希尔伯特练1、解下列不等式:(1)-x2+7x>6.(2)-x2+2x-3>0(3)x2-2x+1＞0解：原不等式可化为x2-7x+6<0,画出函数y=x2-7x+6的图像，与x轴的交点为(1,0)和(6,0).所以不等式的解集为{x|1＜x＜6}解:不等式可化为x2-2x+3<0画出函数y=x2-2x+3的图像.所以不等式的解集为∅解：画出函数y=x2-2x+1图象，图像与x轴的交点为（1,0）。1所以不等式的解集为{x|x≠1}典

例

引

路柯

西例2、解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;解:不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.解：由(x-3)(x-7)=0得x=3或x=7,

故不等式的解集是{x|3<x<7}.解：不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.同

步

练

习解析几何之父——笛卡尔

典

例

引

路牛

顿

同

步

练

习黎

曼

典

例

引

路狄利克雷例4、解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0(a<0).

同

步

练

习庞加莱练4、解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.解:由(x-a)(x-a2)=0得x=a或x=a2

当a<a2即a<0,或a>1时,不等式的解集为{x|a<x<a2};

当a2<a即0<a<1时,不等式的解集为{x|a2<x<a};

当a2=a即a=0,或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0,或a>1时,原不等式的解集为{x|a<x<a2};

当0<a<1时,原不等式的解集为{x|a2<x<a};

当a=0,或a=1时,原不等式的解集为⌀.典

例

引

路傅里叶例5、已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.

同

步

练

习莱布尼兹

C典

例

引

路皮

亚

诺

同

步

练

习洛必达

典

例

引

路华罗庚