北师大版八年级数学上册竞赛试题(含答案)

北师大版八年级数学上册竞赛试题(含答案)1.（填空，每空4分，共32分）（1）若实数x满足x²－|x|－2=0，则x所有可能值的和为________。（2）已知正整数a,b满足a²＋b²＋ab=2024，则a＋b的最小值为________。（3）在平面直角坐标系中，点A(1,2)、B(4,6)，点P在直线y=－x＋7上，则|PA－PB|的最大值为________。（4）若x,y为正实数且x＋y=1，则(x＋1/x)(y＋1/y)的最小值为________。（5）若整数n≥2，且n²＋n＋1整除n⁴＋n²＋1，则所有满足条件的n之和为________。（6）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，D在BC上，使∠BAD=60°，则∠CAD=________°。（7）若正整数m使2ᵐ－1为完全平方数，则m所有可能值的乘积为________。（8）设a,b,c为互不相等的正整数，且a＋b＋c=abc，则a＋b＋c的最大值为________。2.（选择，每题5分，共30分）（9）若x²＋y²=1，则x＋y的最大值是A.1  B.√2  C.2  D.不存在（10）已知a,b,c为正数，且a＋b＋c=3，则(a＋1/a)(b＋1/b)(c＋1/c)的最小值是A.8  B.27  C.64  D.125（11）设f(n)=n²＋n＋1，则f(1)f(2)…f(20)的末位数字是A.1  B.3  C.5  D.7（12）在1～100中，恰有3个正约数的整数个数为A.4  B.9  C.10  D.25（13）若x,y,z为正实数且x＋y＋z=6，则x²y＋y²z＋z²x的最大值为A.36  B.48  C.54  D.64（14）若整数a,b满足a²＋b²=2025，则|a|＋|b|的最大值为A.45  B.63  C.75  D.903.（计算与证明，共38分）（15）（12分）已知x,y,z为正实数，且x＋y＋z=1，求证：(x＋1/x)(y＋1/y)(z＋1/z)≥(10/3)³，并指出等号成立条件。（16）（14分）设数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=aₙ＋1/(a₁＋a₂＋…＋aₙ)，求a₂₀₂₄的整数部分。（17）（12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，以BC为边向外作正△BCD，连接AD，求∠ADB。4.（综合应用，共50分）（18）（16分）某城市修建一条环形跑道，全长400m。甲、乙两人同时从同一点出发，同向而行，甲速为vm/s，乙速为(v－1)m/s。若甲第一次追上乙时恰跑了整数圈，求v所有可能值的和。（19）（17分）设P为正整数，若P²＋1与(P＋1)²＋1的最大公约数大于1，求最小的这样的P。（20）（17分）在平面直角坐标系中，给定抛物线y=x²与直线y=mx＋b，若它们交于A,B两点，且△OAB的面积为定值S=6，求m,b满足的关系，并求|m|的最小值。【答案与解析】1.（1）提示：分x≥0与x<0讨论，得x=2或x=－1，和为1。（2）提示：配方得(a＋b)²－ab=2024，令s=a＋b，则ab=s²－2024，由ab≤(s/2)²解得s≥46，最小46。（3）提示：作A关于直线对称点A′，则|PA－PB|≤A′B=5。（4）提示：令x=sin²θ，化简得最小值25/4。（5）提示：n⁴＋n²＋1=(n²＋n＋1)(n²－n＋1)，故恒成立，n≥2，和为2＋3＋…＋20=209。（6）提示：作正△ABE，E在AC延长线上，得∠CAD=80°。（7）提示：2ᵐ－1=k²，m=1,2,3均验，仅m=1,3满足，乘积3。（8）提示：不妨设a<b<c，则abc=a＋b＋c<3c，得ab<3，枚举得最大和为6。2.（9）B （10）C （11）A （12）B （13）C （14）B解析略。3.（15）证：令f(t)=t＋1/t，下凸，由Jensen不等式及x＋y＋z=1得积≥(10/3)³，当x=y=z=1/3取等。（16）提示：记Sₙ=∑₁ⁿaₖ，则aₙ₊₁=aₙ＋1/Sₙ，得Sₙ₊₁=Sₙ＋aₙ＋1/Sₙ，递推得Sₙ≈√(2n)，故a₂₀₂₄≈√(2·2024)－√(2·2023)≈0.499，整数部分0。（17）提示：旋转△ABD使AB与AC重合，得等腰△AD′D，顶角20°，底角80°，故∠ADB=80°。4.（18）提示：相对速度1m/s，追上时间400ks，甲跑vk圈，则vk=v·400k/400=vk，需vk为整数，k=1,2,…,v−1，和为∑_{v=2}^{400}(v−1)=79800。（19）提示：gcd(P²＋1,(P＋1)²＋1)=gcd(P²＋1,2P＋1)=gcd(2P＋1,5)，故5|2P＋1，最小P=2。（20）提示：联立得x²−mx−b=0，设根x₁,x₂，则S=|x₁−x₂|·|mx₁+b|/2=6，化简得(b＋m²/4)