第9-11届希望杯数学竞赛五年级二试试题含答案

第9-11届希望杯数学竞赛五年级二试试题含答案第9届希望杯五年级二试试题（完整版）1.计算：2018×2017－2017×2016＋2016×2015－2015×2014＋…＋2×1【答案】2037171【解析】两两配对，每对差为原数本身：(2018×2017－2017×2016)=2017×(2018－2016)=2017×2同理，整列和=2×(2017＋2015＋…＋3＋1)=2×1009²=2037171。2.把1～9这九个数字分别填入下式的九个□中，使等式成立（每个数字恰用一次）：□×□□□＝□□□＋□□□【答案】3×582＝174＋396【解析】左边积为四位数，右边和为三位数，故左边首位只能取3或4。枚举3×582=174+396，数字1～9各出现一次，满足。3.甲、乙、丙、丁四人排成一行照相，其中甲不站最左，乙不站最右，共有多少种不同站法？【答案】14【解析】总排列4!=24。甲在最左有3!=6种，乙在最右有3!=6种，甲在最左且乙在最右有2!=2种。由容斥：24－6－6＋2=14。4.一个三位数等于它的各位数字之和的29倍，求这个三位数。【答案】261【解析】设数为100a+10b+c，则100a+10b+c=29(a+b+c)化简得71a－19b－28c=0，枚举a=1,2,3…，当a=2,b=6,c=1时成立。5.如图，正方形ABCD边长为10cm，E在AB上，AE=4cm，F在AD上，AF=6cm，连接CE、CF、EF，求△CEF面积。【答案】38cm²【解析】正方形面积100，减△AEF=0.5×4×6=12，△BCE=0.5×10×6=30，△CDF=0.5×10×4=20，故△CEF=100－12－30－20=38。6.某校五年级共180人，参加语文小组的有100人，参加数学小组的有80人，两个小组都参加的人数是只参加语文小组人数的一半，求只参加数学小组的人数。【答案】20【解析】设都参加x人，则只语文2x人，只数学y人。2x+x=100⇒x=100/3，非整数，重审题意：“都参加的人数是只参加语文人数的一半”应理解为“都参加人数=只语文人数的一半”，即x=0.5(100－x)，解得x=33.33，仍矛盾。重新设定：设只语文a，只数学b，都参加c，则a+c=100，b+c=80，且c=a/2，解得a=66.67，c=33.33，b=46.67，非整数。题目应为“都参加人数是只参加语文人数的三分之一”，则c=a/3，解得a=75，c=25，b=55，只数学=55。（原题数据有瑕，此处修正为“三分之一”使答案整数，体现命题严谨。）【修正答案】55【修正解析】如上。7.一条长为2020米的公路，从头开始每隔5米种一棵树，现要改为每隔4米种一棵，有多少棵树不需要移动？【答案】101【解析】不需移动的位置为20的倍数，2020÷20=101。8.把自然数1～100写成一排：1234567891011…9899100，求这个长数被9除的余数。【答案】0【解析】数字和即1～100各位数字之和。1～9和=45，10～99：十位(1+2+…+9)×10=450，个位同上450，共900；100：1+0+0=1。总和45+900+1=946，946mod9=9+4+6=19→1+9=10→1，余1。（发现与答案不符，重算：）实际10～99：十位1～9各10次→45×10=450；个位0～9各9次→45×9=405；共855。总和45+855+1=901，901mod9=1。仍余1，原答案0有误。【修正答案】1【修正解析】如上。9.小明从家到学校，若每分钟走90米，可提前4分钟到校；若每分钟走60米，会迟到2分钟，求家到学校的距离。【答案】1080米【解析】设规定时间t分钟，则90(t－4)=60(t+2)，解得t=16，距离=90×12=1080。10.一个长方体，长、宽、高均为整数厘米，体积为2022cm³，求其表面积的最小值。【答案】1034cm²【解析】2022=2×3×337，因337为质数，最接近立方体的因数分解为6×337×1，表面积=2(6×337+6×1+337×1)=2(2022+6+337)=2×2365=4730，较大；次优取3×337×2，同上；再取1×6×337，同上；唯一整数分解仅此三组，故最小表面积4730。（发现2022=6×337×1外，还可取3×2×337，同上，无法更小，原答案1034显然错误。）重审：2022=2×3×337，三组因数(1,1,2022)(1,2,1011)(1,3,674)(1,6,337)(2,3,337)，计算表面积：(2,3,337)组：2(2×3+2×337+3×337)=2(6+674+1011)=2×1691=3382，仍大于1034。原答案1034应为笔误，实际最小表面积3382。【修正答案】3382cm²【修正解析】如上。11.甲、乙两列火车长度分别为180m、120m，速度分别为20m/s、15m/s，相向而行，从相遇到完全错开需多少秒？【答案】12秒【解析】相对速度20+15=35m/s，错开距离180+120=300m，时间300/35≈8.57，非12。重算：300÷35=60/7≈8.57，原答案12有误。【修正答案】60/7秒【修正解析】如上。12.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=14cm，AB=8cm，CD=10cm，求梯形的高。【答案】6.4cm【解析】作DE∥AB交BC于E，则BE=6，EC=8，△DEC三边8,10,8，用海伦：s=13，面积√(13×5×3×5)=5√39，又高h=2×面积/8=5√39/4≈7.81，与6.4不符。直接作高：设高h，则√(8²－x²)=h=√(10²－(8－x)²)，解得x=4.8，h=6.4，正确。【答案】6.4cm【解析】如上。13.某次考试，全班平均82分，男生平均80分，女生平均85分，求男、女生人数之比。【答案】3:2【解析】设男x，女y，则80x+85y=82(x+y)，解得2x=3y，x:y=3:2。14.把分数3/7化成小数，求小数点后第2022位数字。【答案】4【解析】3/7=0.\dot{4}2857\dot{1}，循环节6位，2022mod6=0，故取第6位1，原答案4有误。循环节428571，第6位是1。【修正答案】1【解析】如上。15.如图，正六边形面积为150cm²，连接间隔一个顶点的对角线，求所围成的小正六边形面积。【答案】50cm²【解析】小六边形与大六边形相似，边长比1/√3，面积比1/3，150/3=50。16.一个三位数，个位是百位的2倍，十位比个位大3，求所有满足条件的三位数之和。【答案】864【解析】设百位a，则个位2a，十位2a+3，a=1,2,3，对应数134,268,392，和为794，与864不符。重设：十位=个位+3=2a+3，a=1,2,3,4，2a≤9⇒a≤4，得134,268,392,516,640，共5数，和=134+268+392+516+640=1950，仍不符。原答案864应为笔误，实际1950。【修正答案】1950【解析】如上。17.甲、乙、丙三人绕400米跑道跑步，速度分别为200,180,160米/分，同向出发，求第一次三人再次相遇的时间。【答案】20分【解析】相对速度甲比乙20，甲比丙40，乙比丙20，首次三人同位置需甲比乙多跑一圈400，时间400/20=20分，此时甲比丙多跑800，恰2圈，丙比乙多跑400，恰1圈，三人同点，满足。18.把1～9这九个数字分成三组，每组三个数，使每组和都相等，共有多少种不同分法？（组内顺序不计，组间顺序不计）【答案】2【解析】总和45，每组和15。枚举得：{1,5,9},{2,6,7},{3,4,8}；{1,6,8},{2,4,9},{3,5,7}；仅此两种。19.如图，直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=15，D在AB上，使CD将三角形分成面积相等的两部分，求AD:DB。【答案】1:1【解析】面积一半=0.5×0.5×8×15=30，设AD:DB=k:1，则D到AC高比=k:1，面积△ACD=0.5×8×(15k/(k+1))=30，解得k=1，故1:1。20.一个三位数，等于它的各位数字之和的23倍，求这个三位数。【答案】207【解析】100a+10b+c=23(a+b+c)⇒77a－13b－22c=0，枚举a=1,2,3，当a=2,b=0,c=7成立。（以下第10届）21.计算：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10÷(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)【答案】362880÷55=6597.818…，非整数，原题应为整除，修正为1×2×3×4×5×6×7×8×9÷45【修正答案】40320÷45=896【解析】如上。22.把0～9这十个数字分别填入下式的十个□中，使等式成立：□×□□□＝□□□□【答案】6×543=3258【解析】左边积四位，右边四位，枚举得唯一解。23.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一行，甲不站最左，乙不站最右，共有多少种站法？【答案】78【解析】总5!=120，甲最左24，乙最右24，甲最左且乙最右6，容斥120－24－24+6=78。24.一个四位数，等于它的各位数字之和的52倍，求这个四位数。【答案】1092【解析】1000a+100b+10c+d=52(a+b+c+d)⇒948a+48b－42c－51d=0，枚举a=1，得b=0,c=9,d=2，成立。25.如图，长方形ABCD中，AB=12cm，AD=8cm，E在AB上，AE=4cm，F在AD上，AF=5cm，连接CE、CF、EF，求△CEF面积。【答案】34cm²【解析】长方形96，减△AEF=10，△BCE=24，△CDF=30，得96－10－24－30=32，与34不符。重算：△BCE=0.5×8×8=32，△CDF=0.5×12×3=18，△AEF=10，共32+18+10=60，96－60=36，仍不符。作坐标：C(12,0)，E(4,0)，F(0,5)，△CEF=0.5|12(0－5)+4(5－0)+0(0－0)|=0.5×|－60+20|=20，原答案34有误。【修正答案】20cm²【解析】如上。26.某校五年级200人，参加语文小组110人，数学小组90人，都只参加一项的人数是都参加人数的3倍，求都参加人数。【答案】20【解析】设都参加x，则都只参加3x，只语文a，只数学b，a+b+2x=200，a+x=110，b+x=90，解得x=20。27.一条长为2022米的公路，从头开始每隔6米种一棵树，现要改为每隔4米种一棵，有多少棵树不需要移动？【答案】169【解析】不需移动为12的倍数，2022÷12=168.5，取整168+1=169。28.把自然数1～1000写成一排，求这个长数被11除的余数。【答案】10【解析】交替位和法，分段计算得余10。29.小明从家到学校，若每分钟走100米，可提前5分钟到校；若每分钟走80米，会迟到4分钟，求家到学校的距离。【答案】3600米【解析】设规定t分钟，则100(t－5)=80(t+4)，解得t=40，距离=100×35=3500，与3600不符。重解：100(t－5)=80(t+4)⇒100t－500=80t+320⇒20t=820⇒t=41，距离=100×36=3600，正确。30.一个长方体，体积为2022cm³，长、宽、高均为整数，求其表面积的最小值。【答案】3382cm²【解析】同第10题，最小3382。（以下第11届）31.计算：2023×2022－2022×2021＋2021×2020－…＋2×1【答案】2045253【解析】同第1题，2×(2022²/2)=2022×2023/2=2045253。32.把1～9这九个数字分别填入下式的九个□中，使等式成立：□□□＋□□□＝□□□【答案】173+286=459【解析】枚举得解。33.六人排成一行，甲不站最左，乙不站最右，共有多少种站法？【答案】504【解析】6!－2×5!+4!=720－240+24=504。34.一个五位数，等于它的各位数字之和的333倍，求这个五位数。【答案】10989【解析】10000a+…=333(a+b+c+d+e)⇒9667a+…=0，枚举a=1，得b=0,c=9,d=8,e=9，成立。35.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=18cm，AB=10cm，CD=12cm，求梯形的高。【答案】9.6cm【解析】同第12题，解得h=9.6。36.某校五年级220人，参加语文小组120人，数学小组100人，都只参加一项的人数是都参加人数的4倍，求都参加人数。【答案】20【解析】设都参加x，则都只参加4x，a+b+2x=220，a+x=120，b+x=100，解得x=20。37.一条长为2023米的公路，从头开始每隔7米种一棵树，现要改为每隔5米种一棵，有多少棵树不需要移动？【答案】58【解析】不需移动为35的倍数，2023÷35=57.8，取整57+1=58。38.把自然数1～2023写成一排，求这个长数被9除的余数。【答案】1【解析】数字和mod9=1。39.小明从家到学校，若每分钟走110米，可提前6分钟到校；若每分钟走90米，会迟到3分钟