2026届湖北省武汉第二中学高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

2026届湖北省武汉第二中学高二上数学期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（）A.若有最大值，则数列的公差小于0B.若，则使的最大的n为18C.若，，则中最大D.若，，则数列中的最小项是第9项2．直线l：的倾斜角为（）A. B.C. D.3．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）A.6 B.C.8 D.4．在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.5．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.6．设等差数列的前项和为，若，则的值为（）A.28 B.39C.56 D.1177．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次从高变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，问这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A.14 B.20C.18 D.168．直线的斜率为（）A.135° B.45°C.1 D.-19．已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知双曲线的左右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为A. B.C. D.11．已知，条件，条件，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线被圆截得的弦长等于该圆的半径，则实数_____.14．下图是个几何体的展开图，图①是由个边长为的正三角形组成；图②是由四个边长为的正三角形和一个边长为的正方形组成；图③是由个边长为的正三角形组成；图④是由个边长为的正方形组成.若几何体能够穿过直径为的圆，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的序号）.15．已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.16．等差数列中，若，，则______，数列的前n项和为，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线l：，圆C：.（1）当时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l被圆C截得的弦长恰好为，求k的值.18．（12分）抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）若，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值19．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20．（12分）已知椭圆左右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆上一点，且面积的最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围.21．（12分）设函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值．（其中为的导函数．）22．（10分）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，（1）求，，，（2）你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC；，得，，可判断D.【详解】对于选项A，∵有最大值，∴等差数列一定有负数项，∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；对于选项B，∵，且，∴，，∴，，则使的最大的n为17，故选项B错误；对于选项C，∵，，∴，，故中最大，故选项C正确；对于选项D，∵，，∴，，故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.故选：B.2、D【解析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率为，倾斜角的范围为,则倾斜角为.故选：D.3、B【解析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B4、D【解析】过点作的垂线，垂足为，由线面垂直判定可知平面，则所求角即为，由长度关系求得即可.【详解】在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.，，，平面，平面，的正弦值即为所求角的正弦值，，，.故选：D.5、C【解析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C6、B【解析】由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解.【详解】因为等差数列中，，则.故选：B.7、D【解析】根据题意，建立等差数列模型，结合等差数列公式求解即可.【详解】解：根据题意，设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：D.8、D【解析】由斜截式直接看出直线斜率.【详解】由题意得：直线斜率为-1，故选：D9、B【解析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，从而由可知轴，所以在直角三角形中，，由，可得的范围，进而转化为，的不等式，结合可得离心率的取值范围【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，所以由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，由轴，可知轴，所以，在直角三角形中，，因为，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故选：B10、D【解析】求得，根据的面积列方程，由此求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线为，则，所以，所以，所以.所以双曲线渐近线方程为.故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线的有关计算，属于中档题.11、A【解析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.【详解】因为，由得：，则，当且仅当，即时取等号，因此，，因，，由，取，则，，即，，所以是的充分不必要条件.故选：A12、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.【详解】,，且a,b为正数，，当且仅当，即时，，若不等式对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，，，故选：A【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2或－4【解析】求出圆心到直线的距离，由几何法表示出弦长，列出等量关系，即可求出结果.【详解】由得，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则由题可得，即，解得或.故答案为：2或.14、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与比较大小，即可确定答案.【详解】①由题设，几何体为棱长为的正四面体，该正四面体可放入一个正方体中，且正方体的棱长为，该正四面体的外接球半径为，满足要求；②由题设，几何体为棱长为的正四棱锥，如下图所示：设，连接，则为、的中点，因为四边形是边长为的正方形，则，所以，，所以，，所以，，，所以点为正四棱锥的外接球球心，且该球的半径为，不满足要求；③由题设，几何体为棱长为的正八面体，该正八面体可由两个共底面，且棱长均为的正四棱锥拼接而成，由②可知，该正八面体的外接球半径为，不满足要求；④由题设，几何体为棱长为的正方体，其外接球半径为，不满足要求；故答案为：①.15、【解析】设抛物线的方程为得到，把代入椭圆的方程化简即得解.【详解】设抛物线的方程为.由题得，代入椭圆的方程得，所以，所以，所以因为，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.16、①.②.【解析】设等差数列公差为d，根据等差数列的性质即可求通项公式；，采用裂项相消的方法求.【详解】设等差数列公差为d，，，；∵，∴.故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）相离，理由见解析；（2）0或【解析】（1）求出圆心到直线的距离和半径比较即可判断；（2）求出圆心到直线的距离，利用弦长计算即可得出.【详解】（1）圆C：的圆心为，半径为2，当时，线l：，则圆心到直线的距离为，直线l与圆C相离；（2）圆心到直线的距离为，弦长为，则，解得或.18、（1）；（2）面积最小值是4【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，依题意F（1,0），设直线AB的方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得，由此能够求出直线AB的斜率；第二问，由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于，由此能求出四边形OACB的面积的最小值试题解析：（1）依题意知F（1,0），设直线AB方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得．设，，所以，．①因为，所以．②联立①和②，消去，得所以直线AB的斜率是（2）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于因为，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4考点：抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，（2）过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，【小问2详解】过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，则，所以设因为平面，所以所以,设平面的法向量为，则，令，则，因为直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，所以，解得，所以，，设平面的法向量为，因为，所以，令，则，所以，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为20、（1）（2）【解析】（1）依题意得到方程组，求出、、，即可求出椭圆方程；（2）首先求出过且与轴垂直时、的坐标，即可得到，当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据平面向量数量积的坐标表示得到，将韦达定理代入得到，再根据函数的性质求出取值范围；【小问1详解】解：由题意可列方程组，解得，所以椭圆方程为：.【小问2详解】解：①当过的直线与轴垂直时，此时，，，则，.②当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为联立得：.所以，=将韦达定理代入上式得：.，，，由①②可知.21、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）的定义域为，，分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间；（Ⅱ）由题意可得对于恒成立，分离可得，令，只需，利用导数求最小值即可求解.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；当时，由可得；由可得；此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，函数的单调递增区间为，当时，单调递减区间为，单调递增区间为，（Ⅱ）若，由可得，因为，所以，所以所以对于恒成立，令，则，，令，则对于恒成立，所以在单调递增，因为，，所以在上存在唯一零点，即，可得：，当时，，则，当时，，则，所以在