热点2-5 导数的应用-单调性、极值与最值（8题型+高分技法+限时提升练）（教师版）

热点2-5导数的应用——单调性、极值与最值三年考情分析2025考向猜测导数与函数的单调性、极值、最值等学问点结合紧密，是高考数学的高频考点．在选择题中多考查单调性、极值的推断或简洁的最值求解．常结合函数性质、不等式、参数范围等问题，综合性强．切线问题频繁消灭，强调导数的几何意义，要求同学能够将导数与函数图象相结合．估计2025年仍会考查切线方程的求解，可能结合函数图象的对称性等几何性质，利用导数争辩函数的单调性、极值和最值仍是重点，可能会结合实际问题或简单函数形式消灭，导数在不等式恒成立、有解问题中的应用照旧是热点，可能与函数零点、不等式证明等结合．另外也可能消灭新情境或新定义问题，考查同学的创新思维和应变力量．题型1利用导数求函数的单调性1、求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、含参函数单调性争辩依据（1）导函数有无零点争辩（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的争辩．1．（24-25高三上·河北承德·月考）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，当f'x<0，得所以的单调递减区间为．故选：B2．（24-25高三上·北京通州·期末）已知函数，则（

）A．是偶函数，且在上是增函数B．是偶函数，且在上是减函数C．是奇函数，且在上是增函数D．是奇函数，且在上是减函数【答案】A【解析】函数的定义域是，关于原点对称，，故函数是偶函数，又由于，易知其为增函数，当时，，故在上是增函数，故选：A．3．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数为定义在上的增函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当x>0时，则，记，由题，函数在上为增函数，对任意的x>0恒成立，则有，令，其中x>0，且，令，可得，列表如下:-0+h减微小值增所以函数hx在取得微小值，亦即最小值，即，所以，可得，故实数的取值范围为，故选：A.4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数.(1)当时，求曲线y=fx在点1,f1(2)当时，求函数的单调区间.【答案】(1)；(2)答案见解析【解析】（1）当时，函数，得，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即切线方程为；（2）当时，，，令，得，，当时，，令，得或，令，得，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为当时，，令，得或，令，得，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为．题型2依据函数单调性求参数取值范围已知函数单调性求参数的常见类型（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立．（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立．（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点．（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点．1．（23-24高三下·浙江杭州·模拟猜测）已知函数在区间上单调递增，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于的图象可由向左或向右平移个单位得到，又函数在区间0,+∞上单调递增，所以应向左平移，且，故，故选：D.2．（24-25高三上·甘肃白银·月考）若函数（，且）在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，易知函数图象的对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，为增函数，且，则，解得；当时，为减函数，且，由于，符合题意.故实数a的取值范围是．故选：C3．（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，求导得，依题意，在上有变号零点，由，得，函数在上单调递减，；在上单调递增，，所以实数的取值范围是.故选：A4．（24-25高三上·黑龙江·月考）若为上的减函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于二次函数的图象为拋物线，开口向上，顶点为，且最小值为，记，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，也是最大值点，且，则时总有，与在同始终角坐标系下的图象如图所示，由于为上的减函数，由图知，故选：B.题型3导函数与原函数的图象关系1、对于原函数，要留意图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．2、对于导函数，则要留意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要留意这些区间与原函数的单调性的全都．1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数f'x的图象可能是（

A． B．C． D．【答案】B【解析】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立，排解A、D两个选项，对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意；选项C不符合题意；故选：B.2．（23-24高三上·山东泰安·月考）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由的图象知，当时，，故，单调递增；当时，，故，当，，故，等号仅有可能在x＝0处取得，所以时，单调递减；当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.故选：C.3．（24-25高三上·四川达州·月考）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不肯定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立；B.，故B成立；C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不肯定成立.D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立.故选：C4．（24-25高三上·四川眉山·期中）（多选）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】若单调递增，则f'x≥0，若单调递减，则，对于A，若表示y=f'x图像，则当x当时，，故fx在上为减函数，在上为增函数表示y=f对于B，若表示y=f'x图像，f'x≥0恒成立，符合导函数符号与原函数单调性的关系，B正确；对于C，若表示y=f'x图像，f'x≥0恒成立，符合导函数符号与原函数单调性的关系，C正确；对于D，若表示y=f'x图像，f'x≥0恒成立，不符合导函数符号与原函数单调性的关系，若表示y=f'x图像，恒成立，表示y=f不符合导函数符号与原函数单调性的关系，D错误.故选：ABC题型4利用导数求函数的极值（极值点）利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数；（2）求方程的全部实数根；（3）观看在每个根x0四周，从左到右导函数的符号如何变化．①假如的符号由正变负，则是极大值；②假如由负变正，则是微小值．③假如在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．1．（24-25高三上·江苏南通·期中）函数的极大值为（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】D【解析】，令，则，令，则或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值.故选：D2．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）函数的极值点为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，令，得，此时函数单调递减；令，得，此时函数单调递增.所以的微小值点为.故选：B.3．（24-25高三上·山西朔州·月考）下列函数中，存在极值的函数为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A：由于函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值；B：由于函数是正实数集上的增函数，所以函数没有极值；C：由于函数在区间(0,+∞)、上是减函数，所以函数没有极值；D：由于，所以该函数在上是增函数，在上是减函数，因此是函数的微小值点，符合题意，故选：D4．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数，，则函数的极大值之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，令即，可得，当时，f'x>0，单调递增，当时，f'x<0，单调递减，所以当时，取得极大值，由于，所以，可得，所以函数的极大值之和为.故选：D题型5依据函数极值求参数取值范围依据极值求参数取值范围的步骤（1）列式：依据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程；（2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍．1．（24-25高三上·江西·一模）已知是函数的极值点，则（

）A．8 B．4 C． D．【答案】D【解析】由题设，则，可得，此时且，所以时f'x<0，时f即函数在上单调递减，在上单调递增，故是的微小值点，符合题意.故.故选：D2．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，且函数有两个极值点，所以有两个不等实根，所以，解得或，故选：D3．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数，（）则，令得或，当时，不在函数的定义域内，不符合条件；当时，若，在，上f'x>0，单调递增，在上f'x<0，单调递减，此时为的微小值，不符合；若，在上f'x≥0，单调递增，不存在极值，不符合；若，在，上f'x>0，单调递增，在上f'x<0，单调递减，此时为的极大值.故选：B4．（24-25高三上·广东深圳·月考）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，，若函数在区间上有极值点，则在区间内有零点，由可得，由于在12,1上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，，当时，，不符合题意，所以实数的取值范围是.故选：C．题型6利用导数求函数的最值函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：（1）求函数在区间上的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（3）实际问题中，“驻点”假如只有一个，这便是“最值”点．1．（24-25高三上·安徽·月考）函数的值域是．【答案】【解析】由题意可得，令，即，解得，令，即，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以函数的值域是.2．（24-25高三上·安徽淮南·月考）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，当时，，所以，当时，，函数fx在上单调递减，当x>1时，，函数fx在上单调递增，所以当时，，当时，，由于函数在上都单调递减，所以函数在上单调递减，所以当时，所以函数fx的最小值为.故选：B.3．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）若函数，则（

）A．存在最大值，且最大值为 B．不存在最小值C．存在最小值，且最小值为5 D．存在最小值，且最小值为【答案】C【解析】法1：，设，则，设，则，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，故，所以为上的增函数，而，故当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，当时，，故选：C.法2：设，，则．:当时，，故A错误；要使得存在最小值，即在上有解，当时，单调递增，所以在上至多存在一个零点，由于，所以在上存在一个零点2，所以取得最小值为5．故选：C．4．（24-25高三上·河北邢台·月考）已知函数的导函数为．(1)求函数的最小值；(2)求在上的单调区间与最值．【答案】(1)；(2)单调递减区间为，单调递增区间为，最大值为5，最小值为．【解析】（1）当且仅当，即，即时，等号成立，所以的最小值为．（2）令，得或．当时，的单调递减区间为．当或时，的单调递增区间为．由于，所以在上的最大值为5，最小值为．题型7依据函数最值求参数取值范围依据函数最值求参数取值范围的两种常用方法1、直接法：通过导数争辩函数的单调性，从而确定函数极值及最值，再依据题目中给出的最值条件，列出关于参数的不等式．2、分别参数法：依据最值条件得到含参数的不等式，对不等式进行变形，使参数和变量分别位于不等式的两边；求出不含参数的函数的值域；依据不等式关系，列出关于参数的不等式．1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，当时，函数取得最大值，则（

）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】由题设，故，且，所以，故，即，此时，且，所以，时，在上单调递增；时，在上单调递减；故处为极大值，也是最大值，满足题设；所以.故选：D2．（24-25高三上·湖南永州·月考）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，所以当或时，当时，所以在，单调递增，在单调递减，又，，，，故的图象如图：函数在区间上有最小值，则由图可知，即的取值范围是.故选：D.3．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得fx在时有最小值，即在1,2上有微小值即可，由于在上单调递增，所以只需即解得，这时存在x0∈1,2，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有微小值也即是最小值．所以的取值范围是．故答案为：.4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数.(1)当时，求曲线y=fx在点1,f1(2)若函数和有相同的最大值，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）当时，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）的定义域为，而，若，则，此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故.令，得，当时，在单调递增，当时，在单调递减，所以的最大值为.的定义域为，而.当时，单调递增，当时，单调递减，所以的最大值为.由于和有相同的最大值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上所述，.题型8单调性、极值、最值综合应用在解决单调性、极值、最值的综合问题时，核心思想是通过导数分析函数的性质．首先利用导数确定函数的单调区间，进而找到极值点；通过比较极值点和区间端点的函数值，确定函数的最值。在此基础上，结合题目条件（如不等式恒成立、最值范围等），列出关于参数的不等式或方程，求解参数的取值范围．整个过程需要机敏运用导数工具，结合数形结合、分类争辩等思想，综合分析函数的动态变化，从而精准求解．1．（24-25高三上·湖南·模拟猜测）已知函数．(1)当时，求的单调性；(2)若函数在处取得微小值，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】（1）当时，，则，令，解得或．令f'x<0，解得，所以在上单调递减；令f'x>0，解得或，即在，上单调递增．综上，函数在，上单调递增，在上单调递减．（2）由求导得，①当时，恒成立，令f'x<0，解得，即在上单调递减；令f'x>0，解得，即在1,+∞故时，函数在处取得微小值，符合题意；②当时，令，解得，，且，当时，f'x<0，函数在上单调递减；当时，f'x>0，函数在上单调递增，所以函数在处取得微小值，符合题意．③当时，令，解得，此时f'x≥0恒成立且f'单调递增，故函数无极值，不符合题意．④当时，令，解得，，且，当时，f'x>0，函数在上单调递增；当时，f'x<0，函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，不符合题意．综上，实数的取值范围是．2．（24-25高三上·广西柳州·模拟考试）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有微小值，且微小值小于0，求的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）当时，则，可得f1=0，，即切点坐标为1,0，切线斜率为，所以切线方程为.（2）定义域为0,+∞，且，若，则对任意x∈0,+∞恒成立．所以在0,+∞上单调递减，无极值，不合题意，若，令，解得，令，解得，可知在上单调递减，上单调递增，则有微小值，无极大值，由题意可得：，即.令，，在0,+∞上单调递增,又，不等式等价于，解得,又，综上的取值范围是．3．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数.(1)争辩的单调性；(2)当时，求函数在的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】（1）由题意可知：的定义域为，，①若，恒成立，所以在上单调递减.②若，则由得，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，在单调递减，在单调递增.①当即时，在单调递减，所以当时，有最小值；②当即时，在单调递减，在单调递增.所以当时，有最小值；③当即时，在单调递增，所以当时，有最小值；综上：4．（24-25高三上·福建·月考）设函数(1)当时，求的极值；(2)已知，若单调递增，求的最大值；(3)已知，设为的极值点，求的最大值.【答案】(1)微小值为，无极大值；(2)；(3)【解析】（1）当时，，则令，解得当时，f'x<0，在上单调递减，当时，f'x>0，在上单调递增，所以的微小值为，无极大值；（2）解法一：由，若单调递增，必有f'x令，有，当时，由已知单调递增，但，不合题意当时，令φ'x>0，可得故函数φx的减区间为，增区间为，有又由函数单调递减，且.又由，故a的最大值为.解法二：，依题意恒成立，所以，故由于，所以，当时，，设，则当x∈0,1时，，在上单调递减，当x∈1,+∞时，，在上单调递增，所以所以满足题意，即的最大值为；（3）当时，易知单调递增.易知，所以存在使得，即，为的微小值点，所以，其中，设，则整理得由于，，所以当时，h'x>0，hx当时，h'x<0，hx所以，即的最大值为.（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·模拟猜测）若函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，定义域为，由，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.2．（24-25高三上·福建·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可得，若函数在上不单调，则时，，故，则．故选：A．3．（设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数f'x的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由的图象可知，当时，函数单调递增，则f'x≥0当x∈0,+∞时，所以所对应的导数值应当先小于0，再大于0，最终小于0，故排解B．故选:A．4．（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）已知函数的定义域为R且导函数为f'x，函数的图象如图，则下列说法正确的是（

）A．函数的增区间是B．函数的减区间是C．是函数的极大值点D．是函数的极大值点【答案】C【解析】依据的图象可得：当时，，时，，时，，时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得微小值，在处取得极大值.故选：C.5．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得微小值，则实数（

）A． B．2 C．2或0 D．0【答案】D【解析】由，则，得或2，时，，在R上单调递增，不满足；时，，在上f'x>0，在上f'x所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设，所以.故选：D6．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知当时，函数取得最大值2，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，由于当时，函数取得最大值2，所以，即，解得，所以，，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，符合题意，所以.故选：C.7．（24-25高三上·广东广州·模拟猜测）已知函数，，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，令，∴在上单调递增，∴，即，∴，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴，∴的最小值为，故选：B.8．（24-25高三上·湖南·月考）定义的实数根为的“坚决点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚决点”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对选项A：，令，则，解得，，存在“坚决点”；对选项B：，f'x在0,+∞时，，时，；在0,+∞上单调递增，时，，时，，所以关于的方程在0,+∞上有一解，存在“坚决点”；对选项C：，令，则，即，明显是“坚决点”；对选项D：，令，则，由于且，所以不存在“坚决点”．故选：D.二、多选题9．（24-25高三上·辽宁朝阳·月考）已知函数，则（

）A． B．在1,+∞上为增函数C．在上为减函数 D．的极值为【答案】BD【解析】，则，故A错误；令，所以在上单调递减，在上单调递增，故B正确，C错误；所以的微小值为，故D正确.故选：BD.10．（24-25高三上·重庆·月考）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（

）A．为偶函数 B．在上单调递增C． D．【答案】ABD【解析】对于A，由是定义在上的奇函数，得，求导得，即，因此函数为偶函数，A正确；由，得，即，解得，，对于B，，因此在上单调递增，B正确；对于C，，，即，C错误；对于D，当时，，求导得，函数在上单调递增，，因此，D正确.故选：ABD11．（24-25高三上·四川绵阳·月考）对任意，，函数，都满足，则（

）A． B．C．的微小值点为 D．是奇函数【答案】AC【解析】A中，令，，则有，故A正确；B中，由于，所以，对任意，均成立，设，则有，，令，则，解得，故B错误；C中，由B选项的分析，，所以，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以是的微小值点，故C正确；D中