重难点2-5 导数与不等式综合应用（6题型+高分技法+限时提升练）（教师版）

重难点2-5导数与不等式综合应用三年考情分析2025年考向猜测近三年高考中，本节内容涉及选择题、填空题和解答题，其中解答题常作为压轴题消灭，难度较大。常与函数的单调性、极值、最值等结合考查．估计2025年在题型上不会有大的变动。内容上重点考查利用导数争辩函数的单调性、极值、最值，进而解决不等式的恒成立、能成立问题．还需多留意双变量问题、函数与数列不等式综合证明问题、导数新定义的不等式证明问题等．题型1依据不等式恒成立求参1、利用导数求解参数范围的两种方法（1）分别参数法：将参数和自变量分别开，构造关于自变量的新函数，争辩新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类争辩法：依据题意分析参数的临界值，依据临界值作分类争辩，分别解出满足题意的参数范围最终取并集。2、不等式恒成立问题转化：（1），（2），．1．（24-25高三上·宁夏银川·期末）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，得，得，设，则，故在上单调递增，故，故当时，，故，由于，所以，，故，故选：D2．（23-24高三下·江西上饶·考前全真模拟）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（

）A．－ B．1 C．0 D．－1【答案】B【解析】由条件不等式可知，，设，，则，令，得或，当，，单调递增，当，，单调递减，所以或，，所以函数的最小值为，则，即，所以的最小值为1.故选：B3．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知，若不等式对任意恒成立，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】①若，则当时，有，从而原不等式对不成立，不满足条件；这表明若原不等式恒成立，则必有；②当时，原不等式等价于，下面证明该不等式恒成立：设，则对有，对有.从而在上递减，在上递增，故.这就意味着，即.从而此时原不等式恒成立，满足条件.综合①②两个方面可知，的最大值是.故选：B.4．（23-24高三下·河南焦作·四模）已知函数．(1)若曲线在处的切线与直线平行，求函数的极值；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)极大值为，无微小值；(2)【解析】（1）由，可得，由条件可得，即.则，令可得，当时，，当时，.在上单调递减，在上单调递增，的极大值为，无微小值.（2），即对任意的恒成立，即，其中，令，则，即，构造函数，则，令，得，列表如下：+0-增极大值减所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，即时，恒成立.题型2依据不等式恒成立求参1、形如有解问题的求解策略（1）构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成马上可．（2）参数分别法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求的函数的单调性与最值即可．2、单变量不等式能成立问题转化（1），（2），．3、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．1．（24-25高三上·广东深圳·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若存在，使得有解，即．设，，则．令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以．故的取值范围为．故选：A2．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解析】不等式等价于，即.令，由可知，在上为增函数，，，则，令，，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以结合题意可知，即实数的最小值为1.故选：B3．（24-25高三上·吉林长春·月考）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得：，由于本题中，所以，所以单调递减，所以，由得：，当时，，所以单调递增，所以，由于，使得，所以，所以，故选：D.4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数．(1)求函数在上的最大值和最小值；(2)若不等式有解，求实数的取值范围.【答案】(1)最大值为，最小值为；(2)【解析】（1）由于函数，所以，令，则或(舍去).当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为，又，，所以，所以当时，取得最小值，最小值为，故在上的最大值为，最小值为.（2）易知的定义域为，故不等式可化为.记，则原不等式有解可转化为.易得，时，，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，解得.所以实数的取值范围为.题型3单变量不等式的证明不等式证明的常用思路1、移项构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造帮助函数；2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”．3、适当放缩构造法：一是依据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，依据相像结构构造帮助函数．1．（24-25高三上·浙江杭州·月考）已知函数.(1)争辩函数的单调性(2)当时，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，当时，在上为单调递增；当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，的递增区间为；当时，的递增区间，递减区间为.（2）证明：当时，函数的定义域为，由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数取得最大值，所以.2．（24-25高三上·安徽合肥·二调）设函数，已知是函数的极值点．(1)求；(2)设函数．证明：【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）令,则,由题知得，则.当时，当时，；当时，.故为的极值点，满足题意.综上有.（2）由（1）得,,定义域为.当时，，则；当时，，则.要证，即证，即证.而，即证.令，则且，即证，即证(且).令，且,则,当时，，单调递减；当时，单调递增.又时，，所以，即.3．（24-25高三上·陕西榆林·一模）已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)求的极值；(3)当时，证明：当时，.【答案】(1)1；(2)时，无极值；当时，微小值，无极大值；(3)证明见解析【解析】（1）当时，，函数的定义域为.，当时，；当时，.因此在单调递减，在单调递增，故的最小值为.（2）的定义域为.若时，则，故在单调递减，无极值；若时，令得.当时，；当时，.因此在单调递减，在单调递增，故有微小值，无极大值.（3）解法1：令，，令，则，由于，所以，因此在单调递增，，即，故在单调递减，，即当时，.解法2：由于，所以，要证当时，，即证，令，令，则，由于，所以，因此在单调递增，，即，故在单调递减，，故原不等式成立.解法3：令，，由（1）可知，当且仅当时取等号，因此，当且仅当时取等号，，即，故在单调递减，，即当时，.解法4：令，则，故在单调递减.由（1）可知：当时，，所以，即：，故，而，所以.解法5：令，由于，所以在单调递减.由（1）可知：当时，，所以，即：，故，而，所以.4．（24-25高三上·山东名校联盟·期末）已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：当时，.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析【解析】（1）函数，，令，解得，当时，；当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由于，，要证，即证，即证.令函数，则，令，解得或，当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，则，所以.令函数，则，当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，则，所以，故，即当时，得证.题型4双变量不等式的证明双变量不等式的处理策略：含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，具体转化方法主要有三种:整体代换，分别变量，选取主元.1．（24-25高三上·四川成都·月考）已知函数.(1)当时，求证：；(2)争辩函数的单调性；(3)设，证明：对任意，，.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)证明见解析【解析】（1）要证即证，令，，由，得；由，得，在单调递增，在单调递减，，可得成立，即成立；（2）的定义域为，，当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减；当时，令，解得.当时，；时，，故在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）不妨设，由于，由（1）可得在上单调递减.所以等价于，即.令，则.于是.从而在上单调递减，故，即，故对任意，，.2．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）已知函数.(1)求的最值；(2)求正整数，使其满足且；(3)若，求证：.【答案】(1)最大值是，无最小值；(2)，；(3)证明见解析.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，当时，，函数的递增区间是，递减区间是，所以的最大值是，无最小值.（2）当时，且，令，明显，即是方程的一组解，当时，求导得，令,，当时，，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，则，因此当且时，方程无解；当时，由（1）知在上单调递减，，因此与冲突，于是时，方程无解，所以是方程的唯一一组正整数解.（3）设，求导得，当且仅当时取等号，函数在上递增，由，得，即，则，即，所以，即.3．（24-25高三上·山东·月考）已知函数；(1)求函数的极值;(2)若不等式当且仅当在区间上成立（其中e为自然对数的底数），求的最大值;(3)实数满足，求证:.【答案】(1)当时，函数取得微小值，无极大值；(2)；(3)证明见解析【解析】（1）由函数，得当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得微小值，无极大值（2）由题意得，令，则，若，则恒成立，所以在单调递增，所以，即.所以，当时，取最大值若，由于，所以当时，不等式在成立，不合题意，当时，，综上的最大值.（3）（法一）依题意得，令，由，得，令，求导得，函数在上单调递增，，因此，即，于是;，令，求导得，函数在上单调递减，因此，即，则，所以（法二），令，则，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以成立，即原不等式成立.4．（24-25高三上·全国·专题练习）已知函数，．(1)当时，争辩的单调性；(2)证明：当时，．【答案】(1)在单调递减，在单调递增；(2)证明见解析【解析】（1）当时，，其定义域为，则，由于，所以对任意，都有，所以当时，，，即；当时，，，即．故在单调递减，在单调递增．（2）定义域为，设，则，令，则，当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增，所以，由于，所以，所以，即，故在单调递增，又，所以当时，；当时，，因此当时，；当时，；当且仅当时，．综上所述，．题型5对称化构造解决极值点偏移1、和型（或）问题的基本步骤：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题．2、积型问题的基本步骤：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④依据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论．1．（24-25高三上·河北·月考）已知函数.(1)若该函数在单调递增，求的取值范围.(2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）由题意，当时，，在上单调递增，满足题意；当时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，又该函数在单调递增，故，综上可知，的取值范围为（2）当时，，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则，所以在上单调递减，，即，令，则，故，又在上单调递增，，所以，故2．（24-25高三上·全国·专题练习）已知函数．(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1），则，令，得，若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点．设，则．当时，单调递减，当时，单调递增，因此．当时，，当时，，作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点，则，故的取值范围为．（2）由于是函数的两个极值点，所以．由（1）知，不妨设，要证，即证，只需证，明显．由（1）知当时，单调递增，所以只需证，而，所以即证．设，则，当时，单调递减，所以当时，，所以当时，，原不等式得证．3．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）设函数，(1)证明：有两个零点；(2)记是的导数，为的两个零点，证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）由，得，即，令，函数有两个零点，即函数有两个零点，求导得，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，又，因此使得，使得，所以函数有两个零点.（2）由（1）知函数的零点满足：，求导得，要证，即证，即证明，令，求导得，函数在上单调递减，则，由，得，即，由，得，且在上单调递增，因此，即，命题得证．4．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数(1)争辩函数的单调性；(2)求函数在处切线方程；(3)若有两解，，且，求证：．【答案】(1)在区间内为增函数，在区间为减函数；(2)；(3)证明见解析【解析】（1）的定义域为，，当时，，当时，，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数；（2），，所以处切线方程为：，即；（3）先证，由（1）可知：，且在区间为减函数，要证，即证：，令，，则，所以在区间内单调递增，，即，即；再证，由（2）可知曲线在点处的切线方程为，令，，∴在处取得极大值为0，故当时，，，则，即，又，，∴，得证.题型6比值代换法解决极值点偏移比值代换，是处理双变量问题的策略之一．通过比值代换，我们可以将双变量问题转化为单变量问题来处理，达到消元的效果，在处理比值代换时，要留意一些常见的变换结构，如以下的结构变换方法：（1）引元：如设，消元，回代入已知等式解方程（组），进而消元，将所求证不等式转化为等形式，再构造函数可得；（2）对数相加减：，；（3）齐次式：，等；（4）组合型：对数，分式，整式等形式加以组合，如，等等．1．（24-25高三上·河北衡水·模拟测试）已知函数.(1)若直线与函数的图象相切，求实数的值；(2)若函数有两个极值点和，且，证明：.（为自然对数的底数）【答案】(1)2；(2)证明见解析【解析】（1），定义域为.设切点，.且，解得，，故实数的值为2；（2），定义域为.，由于有两个极值点和，所以至少有两个不相等的正根.令，令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.当时，取最大值，最大值为.当；当，则至多两个零点，要使有两个零点，必有，.由，两式作差得①，令，由得，则，代入①式得，，则，故所证不等式转化为，，只需证，即证：.令，，，，，在上单调递增，，其中，故，，即不等式得证.2．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知函数.(1)若，当与的微小值之和为0时，求正实数的值；(2)若，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）定义域均为，，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，在取微小值，且；又，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，在取微小值，且所以，解得：.（2）令，由于，所以，由可得：，（1）—（2）得：，所以，要证：，只要证：，只要证：，不妨设，所以只要证：，即证：，令，只需证：，令，所以在上单调递增，所以，即有成立，所以成立.3．（24-25高三上·山西吕梁·期中）已知函数．(1)令，求的单调区间；(2)若存在使得，求证：．【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)证明见解析【解析】（1），，当时，恒成立，所以在单调递增；当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，，存在两根，，由于，所以，所以时，，所以单调递增，时，，单调递减，所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2），解得，解得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，由于，令，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以只需证明即可，所以只需证明，令，，令，函数定义域为，，当时，，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，所以，所以在上单调递增，所以，得证.4．（24-25高三下·安徽·月考）已知函数．(1)争辩的极值点个数；(2)若关于的方程有两个不同实根，求的取值范围，并证明：．【答案】(1)当时,有两个极值点,当时,没有极值点；(2),证明见解析【解析】（1）函数的定义域为,求导得,令,,若,解得或,当时,有两个根,,由,,得函数有两个极值点;当时,由于函数的定义域为,所以,故在恒成立,所以函数在上单调递增,没有极值点;当时,,函数,即，所以函数在上单调递增,没有极值点.综上:当时,有两个极值点,当时,没有极值点.（2）由于,所以方程,令,求导得,当时,,在上单调递增,最多一个零点,不符合题意;当时,在上单调递增,在上单调递减,所以函数在时有极大值，又由于当时,,当时,,所以要使方程有两个不同实根,则,即,解得,故的取值范围为:;由方程有两个不同实根,得,,所以,由,得,,令,则,由于要证明,即要证明,也就是要证明,即证明,令,求导得,所以在单调递增,所以,即,整理得,,即,所以.（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·河南·期中）若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设，明显，由，即，即，设，，则，而，则函数在上单调递减，所以，即在上恒成立，即在上恒成立，设，，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，又，所以a的取值范围是.故选：B.2．（24-25高三上·广东潮州·期末）若满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则恒成立，即，由于，所以在上单调递增，且当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得微小值，即最小值，，令，得．故选：D．3．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，∴时，，∴在区间上单调递增，∴当时，，令，则，令，则，∵，∴时，，∴单调递增，∴，∴在上单调递增，∴，由题意可知，∴.故选：B二、填空题4．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知函数，若恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意，得，恒成马上，恒成立.，恒成立，化简可得，，，，令，，故单调递增，，，令，，当时，，当时，，时，取最大值为，，即.故答案为：.5．（24-25高三上·山西·月考）若对任意，当时恒有，则的取值范围是.【答案】【解析】由得，即，设，则，所以问题转化为在上没有零点.当0时，没有零点，满足题意；当时，由得，设，则，由于，所以在上单调递增，在上单调递减，由于，所以，所以.综上，的取值范围是.6．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以为偶函数，又当时，，，所以，所以在上单调递增，所以不等式对任意恒成立，转化为，即，所以且在上恒成立，①若在上恒成立，则，解得；②若在上恒成立，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.三、解答题7．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知函数在处的切线为轴.(1)求数的值；(2)求的单调区间；(3)若，证明.【答案】(1)；(2)单调递增区间为，无单调递减区间；(3)证明见解析.【解析】（1）由于，所以，又由于函数在处的切线为轴，所以，解得；（2）由（1）可知，所以，所以函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；（3）证明：由（2）可知函数在上单调递增，且，所