2024-2025学年广东深圳宝安中学九年级(上)期中数学试题及答案

初中2024-2025学年广东省深圳市宝安中学初中部九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）1．（3分）已知4a＝3b（b≠0），则下列比例式成立的是（）A．a4=b3 B．a3=2．（3分）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（）A． B． C． D．3．（3分）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为5−12≈0.618)，如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC的长为5cmA．1.9cm B．2.5cm C．3.1cm D．3.3cm4．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（）A．12 B．13 C．145．（3分）如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面AB的宽度为（）A．3cm B．2.5cm C．3.2cm D．2.8cm6．（3分）如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是（）A． B． C． D．7．（3分）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（）A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝08．（3分）在平行四边形ABCD中，点E为CD边上的中点，过点D作DG⊥BC于点G，若点F为BG的中点，DG＝6，BC＝10，则EF的长为（）A．6 B．34 C．8 D．38二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）9．（3分）请写出有一个根为2的一元二次方程：（写出一个即可）．10．（3分）在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有4个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为．11．（3分）如图，两张宽度均为2cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为cm．12．（3分）如图，△AOB与△ACD关于点A位似，点C的坐标为（3，4），若△AOB与△ACD的面积比为4：1，则点A的坐标为．13．（3分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，CD=22，连接BD、AC，若∠ABD＝60°，AC=10，则BC的长为三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分）14．（8分）解方程：（1）x2+6x﹣16＝0；（2）x2﹣2x＝3（x﹣2）．15．（7分）为普及节气知识、弘扬中国传统文化，也为倡导人们珍惜宝贵时光，中国人民银行发行了二十四节气（光阴的故事）金银币一套．其中包含金币4枚，分别选取了代表春、夏、秋、冬四季特点的动物、景物等，将它们糅合在一起，呈现出四季的独特韵味．如图，小亮爸爸购买了一套金币，若金币的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，他将四枚金币正面朝下放在桌面上．（1）小亮从中随机抽取一枚，抽出的金币恰好是“秋”的概率是；（2）若将刻有“春”、“夏”、“秋”、“冬”四种不同图案的金币分别用A，B，C，D表示，小亮从中随机抽取一枚后放回，再从中随机抽取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚金币恰好是同一季节的概率．16．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，保留作图痕迹．（1）在图1中，利用格点作图，在线段AB上作点M，使得AM＝3BM；（2）在图2中，利用格点作图，在线段AB上作点M，使得AMBM（3）在图3中，利用格点作图，在AB上找一点E，连接CE，DE，使得△CAE∽△DBE．17．（8分）深圳某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克12元，按每千克20元出售，平均每天可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加100千克．（1）若每天的销售量为450千克，则每千克特产的售价为元；（2）专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1750元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少元？18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D．∠CAM为△ABC的一个外角，CE∥AD交射线AN于点E．给出以下三个信息：①AB＝AC；②AN平分∠CAM；③四边形ADCE为矩形．（1）请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题，并证明．你选择的条件是，结论是．（填写序号）（2）在（1）的条件和结论下，连接BE，交AC边于点G，AD＝5，DC＝2．求EG的长．19．（10分）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务：关于根的判别式的探究素材对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求x2+2x+3最小值，令y＝x2+2x+3，则x2+2x+3﹣y＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4（3﹣y）＝﹣8+4y≥0，可解得y≥2，从而确定x2+2x+3的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法.问题解决任务1感受新知：用判别式法求3x2+4x﹣2的最小值.任务2探索新知：若关于x的二次三项式x2﹣ax+3（a为常数）的最小值为﹣1，求a的值；任务3应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为a的矩形中，正方形的面积最大.20．（12分）已知：如图1，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，O为对角线BD的中点，点P为AD上一动点，连接OP并延长，交BC于点Q，连接DQ，将△DPQ沿PQ折叠，点D的对应点为点D′．（1）求证：AP＝CQ；（2）当点D′在直线AD与直线BC之间时，如图2，延长PD′，交CB的延长线于点M，连接MO．①求证：MO⊥PQ；②设AP的长为x，MQ的长度为y，请用含x的代数式表示y．（3）如图3，若D′Q交BD于点H，若△OHQ与△D'QP相似，请直接写出AP的长．

2024-2025学年广东省深圳市宝安中学初中部九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCCBADCB一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）1．（3分）已知4a＝3b（b≠0），则下列比例式成立的是（）A．a4=b3 B．a3=【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答．【解答】解：A、∵a4∴3a＝4b，故A不符合题意；B、∵a3∴4a＝3b，故B符合题意；C、∵ab∴3a＝4b，故C不符合题意；D、∵a4∴ab＝12，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．（3分）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（）A． B． C． D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看，可得选项C的图形．故选：C．【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．3．（3分）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为5−12≈0.618)，如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC的长为5cmA．1.9cm B．2.5cm C．3.1cm D．3.3cm【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC的长为5cm，∴AB≈0.618AC＝0.618×5＝3.09（cm），∴AB的长约为3.1cm，故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．4．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（）A．12 B．13 C．14【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为26故选：B．【点评】本题考查了列表法、树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．5．（3分）如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面AB的宽度为（）A．3cm B．2.5cm C．3.2cm D．2.8cm【分析】过点O作OF⊥AB，垂足为F，延长OF交CD于点E，根据题意可得：OE＝8cm，OF＝4cm，CD＝6cm，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，从而可得△OAB∽△OCD，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：如图：过点O作OF⊥AB，垂足为F，延长OF交CD于点E，由题意得：OE＝15﹣7＝8（cm），OF＝11﹣7＝4（cm），CD＝6cm，AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴OFOE∴4解得：AB＝3cm，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．6．（3分）如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是（）A． B． C． D．【分析】AC与BD交于点O，由OC＝OA＝3，OB＝OD＝4，可证明四边形ABCD是平行四边形，由OB2+OC2＝BC2＝25，证明∠BOC＝90°，则四边形ABCD是菱形，可判断A不符合题意；由AB＝AD＝CB＝CD＝5，可证明四边形ABCD是菱形，可判断B不符合题意；由AD∥BC，AD＝BC＝5，证明四边形ABCD是平行四边形，由∠ADB＝∠ABD＝30°，得AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，可判断C不符合题意；若AB∥CD，则四边形ABCD是菱形；C′D与AB不平行，则四边形ABC′D不是菱形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．【解答】解：如图1，AC与BD交于点O，∵OC＝OA＝3，OB＝OD＝4，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BC＝5，∴OB2+OC2＝42+32＝25，BC2＝52＝25，∴OB2+OC2＝BC2，∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；如图2，∵AB＝AD＝CB＝CD＝5，∴四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；如图3，∵∠ADB＝∠CBD＝30°，∴AD∥BC，∵AD＝BC＝5，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ADB＝∠ABD＝30°，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；若AB∥CD，∵AB＝CD＝5，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；若C′D＝AB＝5，但C′D与AB不平行，则四边形ABC′D不是菱形，∴四边形ABCD不一定是菱形，故D符合题意，故选：D．【点评】此题重点考查菱形的定义及判定定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定定理等知识，根据已知条件证明四边形ABCD是菱形或举“反例”证明四边形ABCD不一定是菱形是解题的关键．7．（3分）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（）A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0【分析】根据两位同学的错法，再结合一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．【解答】解：令这个方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），因为小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1，所以−b则b＝﹣5a．因为小敏在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是1和2，所以ca则c＝2a，所以ax2﹣5ax+2a＝0，整理得，x2﹣5x+2＝0．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．8．（3分）在平行四边形ABCD中，点E为CD边上的中点，过点D作DG⊥BC于点G，若点F为BG的中点，DG＝6，BC＝10，则EF的长为（）A．6 B．34 C．8 D．38【分析】取CG的中点H，连接EH，则GH=12CG，而GF=12BG，所以FH＝GF+GH=12BC＝5，因为E为CD的中点，所以EH∥DG，EH=12DG【解答】解：取CG的中点H，连接EH，则GH＝CH=12∵点F为BG的中点，DG＝6，BC＝10，∴GF＝BF=12∴FH＝GF+GH=12（BG+CG）=∵E为CD的中点，H为CG的中点，∴EH∥DG，EH=12∵DG⊥BC于点G，∴∠FHE＝∠BGD＝90°，∴EF=F故选：B．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）9．（3分）请写出有一个根为2的一元二次方程：x2＝4（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】根据题意写出一个符合题意的一元二次方程，即可求解．【解答】解：依题意，有一个根为2的一元二次方程可以是：x2＝4，故答案为：x2＝4（答案不唯一）．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键．10．（3分）在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有4个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为20．【分析】根据摸到白球的频率稳定在0.2左右，即摸到白球的概率约为15，结合白球有4个可得a【解答】解：a的值约为4÷0.2＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．11．（3分）如图，两张宽度均为2cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为16cm．【分析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，易知四边形ABCD为平行四边形，AE＝AF＝2cm，∠ADF＝∠ABE＝30°，可证△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可证四边形ABCD为菱形．在Rt△ADF中，AD＝4，因此四边形ABCD的周长为：4×4＝16cm．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵两张纸条宽度均为2cm，∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝2cm，∴∠ADF＝∠ABE＝60°，∴△ADF≌△ABE（AAS），∴AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形，在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，AF＝2cm，∴AD＝4，四边形ABCD的周长为：4×4＝16（cm）．故答案为：16．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识．12．（3分）如图，△AOB与△ACD关于点A位似，点C的坐标为（3，4），若△AOB与△ACD的面积比为4：1，则点A的坐标为（2，83）【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，可得△AOE∽△COF，则AE：CF＝OE：OF＝OA：OC．根据位似的性质可得OA：AC＝2：1，进而可得AE：CF＝OE：OF＝OA：OC＝2：3．由题意可得OF＝3，CF＝4，即可得AE=83，【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE∽△COF，∴AE：CF＝OE：OF＝OA：OC．∵点C的坐标为（3，4），∴OF＝3，CF＝4．∵△AOB与△ACD关于点A位似，△AOB与△ACD的面积比为4：1，∴OA：AC＝2：1，∴OA：OC＝2：3．∴AE：CF＝OE：OF＝2：3，∴AE=83，∴点A的坐标为（2，83故答案为：（2，83【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．13．（3分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，CD=22，连接BD、AC，若∠ABD＝60°，AC=10，则BC的长为4【分析】过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AE⊥AC交HD的延长线于点E，连接CE．可证明△ABC∽△ADE，可得ADAB=AEAC=DEBC，求出AE，根据勾股定理求出CE，CH，HE【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AE⊥AC交HD的延长线于点E，连接CE．∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，∴∠ADB＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠BDH，∠ABC＝∠ABD+∠DBH，∴∠ADE＝180°﹣30°﹣∠BDH＝150°﹣∠BDH，∠ABC＝60°+90°﹣∠BDH＝150°﹣∠BDH，∴∠ADE＝∠ABC，∴△ABC∽△ADE，∴ADAB∵ADAB=tan∠ABD＝tan60°=3∴3=∴AE=3在Rt△ACE中，根据勾股定理，得CE=A∵∠CHD＝90°，∠BCD＝45°，∴△CHD是等腰直角三角形，即CH＝DH，∵CD=22∴根据勾股定理，得CH2+DH2＝CD2，又CH＝DH，∴2CH2＝CD2，即CH2=12CD∴CH=CD∴CH＝DH＝2，在Rt△ACE中，根据勾股定理，得HE=C∴DE＝HE﹣DH＝DE＝6﹣2＝4，∵DEBC=ADAB，∴BC=4故答案为：43【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，能够作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分）14．（8分）解方程：（1）x2+6x﹣16＝0；（2）x2﹣2x＝3（x﹣2）．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2+6x﹣16＝0，∴（x+8）（x﹣2）＝0，则x+8＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣8，x2＝2；（2）∵x2﹣2x＝3（x﹣2），∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．15．（7分）为普及节气知识、弘扬中国传统文化，也为倡导人们珍惜宝贵时光，中国人民银行发行了二十四节气（光阴的故事）金银币一套．其中包含金币4枚，分别选取了代表春、夏、秋、冬四季特点的动物、景物等，将它们糅合在一起，呈现出四季的独特韵味．如图，小亮爸爸购买了一套金币，若金币的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，他将四枚金币正面朝下放在桌面上．（1）小亮从中随机抽取一枚，抽出的金币恰好是“秋”的概率是14（2）若将刻有“春”、“夏”、“秋”、“冬”四种不同图案的金币分别用A，B，C，D表示，小亮从中随机抽取一枚后放回，再从中随机抽取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚金币恰好是同一季节的概率．【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽出的金币恰好是“秋”的结果有1种，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小亮抽出的两枚金币恰好是同一季节的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽出的金币恰好是“秋”的结果有1种，∴小亮从中随机抽取一枚，抽出的金币恰好是“秋”的概率是14故答案为：14（1）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16种等可能的结果，其中小亮抽出的两枚金币恰好是同一季节的结果有4种，∴小亮抽出的两枚金币恰好是同一季节的概率为416【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．16．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，保留作图痕迹．（1）在图1中，利用格点作图，在线段AB上作点M，使得AM＝3BM；（2）在图2中，利用格点作图，在线段AB上作点M，使得AMBM（3）在图3中，利用格点作图，在AB上找一点E，连接CE，DE，使得△CAE∽△DBE．【分析】（1）取格点P，Q，连接PQ交AB于点M，点M即为所求；（2）取格点P，Q，连接PQ交AB于点M，点M即为所求；（3）作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，连接CE，点E即为所求．【解答】解：（1）如图1中，点M即为所求；（2）如图2中，点M即为所求；（3）如图3中，点E即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．（8分）深圳某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克12元，按每千克20元出售，平均每天可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加100千克．（1）若每天的销售量为450千克，则每千克特产的售价为15元；（2）专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1750元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少元？【分析】（1）设每千克特产应降价x元，则每千克特产的售价为（20﹣x）元，平均每天的销售量为（200+50x）千克，根据每天的销售量为450千克，列出一元一次方程，解方程即可；（2）设每千克特产应降价x元，则每千克特产的售价为（20﹣x）元，平均每天的销售量为（200+50x）千克，根据专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1750元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：（1）设每千克特产应降价x元，则每千克特产的售价为（20﹣x）元，平均每天的销售量为（200+x2×由题意得：200+50x＝450，解得：x＝5，∴20﹣x＝15，故答案为：15；（2）设每千克特产应降价x元，则每千克特产的售价为（20﹣x）元，平均每天的销售量为（200+x2×由题意得：（20﹣x﹣12）（200+50x）＝1750，整理得：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝1（不符合题意，舍去），∴20﹣x＝17，答：每千克特产应定售价为17元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D．∠CAM为△ABC的一个外角，CE∥AD交射线AN于点E．给出以下三个信息：①AB＝AC；②AN平分∠CAM；③四边形ADCE为矩形．（1）请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题，并证明．你选择的条件是①②，结论是③（答案不唯一）．（填写序号）（2）在（1）的条件和结论下，连接BE，交AC边于点G，AD＝5，DC＝2．求EG的长．【分析】（1）当选择的条件是①②，结论是③时，根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，则∠MAC＝2∠ABC，再根据AN平分∠CAM得∠MAN＝∠ABC，则AN∥BC，由此可得出四边形ADCE为矩形；当选择的条件是①③，结论是②时，根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，则∠MAC＝2∠ABC，再根据四边形ADCE为矩形得AN∥BC，则∠MAN＝∠ABC，由此可得出AN平分∠CAM；当选择条件是②③，结论是①时，根据矩形的性质得AN∥BC，则∠MAN＝∠ABC，∠NAC＝∠ACB，再根据AN平分∠CAM得∠MAN＝∠NAC，由此可得出AB＝AC；（2）依题意得BD＝CD＝2，AE＝CD＝2，CE＝AD＝5，AN∥BC，先由勾股定理求出BE=41，再证明△AEG和△CBG相似得EG：BG＝1：2，则EG：BE＝1：3，由此可得出EG【解答】解：（1）当选择的条件是①②，结论是③时，命题是真命题，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠MAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，∵AN平分∠CAM，∴∠MAN=12∠CAM＝∠∴AN∥BC，∵AD⊥BC，∴AD⊥AN，又∵CE∥AD，∴CE⊥AN，∴∠ADC＝∠NAD＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形；当选择的条件是①③，结论是②时，命题是真命题，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠MAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，∵四边形ADCE为矩形，∴AN∥BC，∴∠MAN＝∠ABC，∴∠NAC＝∠MAC﹣∠MAN＝2∠ABC﹣∠ABC＝∠ABC，∴AN平分∠CAM；当选择条件是②③，结论是①时，命题是真命题，理由如下：∵四边形ADCE为矩形，∴AN∥BC，∴∠MAN＝∠ABC，∠NAC＝∠ACB，∵AN平分∠CAM；∴∠MAN＝∠NAC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；故答案为：①②；③（答案不唯一）；（2）∵AD＝5，DC＝2，且在（1）的条件下，∴AB＝AC，四边形ADCE是矩形，∴BD＝CD＝2，AE＝CD＝2，CE＝AD＝5，AN∥BC，∴BC＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=B∵AN∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴EG：BG＝AE：BC＝1：2，∴EG：BE＝1：3，∴EG=13BE【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，命题与定理，理解矩形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理四解决问题的关键．19．（10分）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务：关于根的判别式的探究素材对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求x2+2x+3最小值，令y＝x2+2x+3，则x2+2x+3﹣y＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4（3﹣y）＝﹣8+4y≥0，可解得y≥2，从而确定x2+2x+3的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法.问题解决任务1感受新知：用判别式法求3x2+4x﹣2的最小值.任务2探索新知：若关于x的二次三项式x2﹣ax+3（a为常数）的最小值为﹣1，求a的值；任务3应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为a的矩形中，正方形的面积最大.【分析】任务1：依据题意，令y＝3x2+4x﹣2，从而3x2+4x﹣2﹣y＝0，再由判别式可以判断得解；任务2：依据题意，令y＝x2﹣ax+3，故x2﹣ax+3﹣y＝0，再由判别式Δ＝a2﹣4×（3﹣y）≥0，进而可以判断得解；任务3：依据题意，设矩形的长为x，则宽为a2−x，面积为S，从而S＝x（a2−x）＝﹣x2+a2x，可得Δ=a24−【解答】任务1：解：由题意，令y＝3x2+4x﹣2，∴3x2+4x﹣2﹣y＝0．∴Δ＝16﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0．∴y≥−10∴3x2+4x﹣2的最小值为−10任务2：解：由题意，令y＝x2﹣ax+3，∴x2﹣ax+3﹣y＝0．∴Δ＝a2﹣4×（3﹣y）≥0．∴y≥−a又∵y最小值为﹣1，∴−a∴a＝±4．任务