2024-2025学年广东深圳外国语宝安学校九年级(上)期中数学试题及答案

初中2024-2025学年广东省深圳外国语学校（集团）宝安学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（）A． B． C． D．2．（3分）如果x＝2是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．（3分）已知在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，则菱形ABCD的面积为（）A．160 B．80 C．40 D．964．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：抽奖次数n1001502008001000抽到“中奖”卡片的次数m385669258299中奖的频率m0.380.3730.3450.3230.299根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（）A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.255．（3分）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（）A．2 B．2 C．103 6．（3分）如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为112m2，依题意列方程为（）A．10x+15×2x＝150﹣112 B．10x+15×2x﹣x2＝150﹣112 C．（10﹣2x）（15﹣x）＝112 D．（10﹣x）（15﹣2x）＝1127．（3分）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（）A．5cm B．4017cm C．20178．（3分）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若AHAE=1A．49 B．12 C．47二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）若ab=32，则10．（3分）四张写有不同诗句的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，背面朝上随机收在桌面，任意抽取两张，在不计顺序的情况下，恰能组成名篇名句的概率是．11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+k−2x−1=0有两个不相等的实数根，请你写出一个符合上面条件的12．（3分）如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯（图中黑点代表景观灯），每排相邻两景观灯的间隔都是10m，在与河岸DE的距离为16m的A处（AD⊥DE）看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯恰好被河岸DE上的两个景观灯遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，则这条河的宽度BD为m．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E为AD边上一点，连接BE，将线段EB绕点E逆时针旋转120°得到EF，EF交CD于点H，连接BF，交CD于点G，已知∠A＝120°，AB＝3，AE＝1，则BG＝．三、解答题（本题共7小题，共61分）14．（8分）解方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）x（x﹣2）＝2﹣x．15．（8分）某校综合实践小组对擅长每种物理实验的学生人数和比例展开调研．调研步骤：（1）制作如下问卷：你最擅长的物理实验是什么？（要求每个学生必选且只能选择一项）A．伏安法测小灯泡正常发光时的电阻B．探究电磁铁的磁性强弱与电流大小的关系C．测量蜡块的密度D．测量物体运动的平均速度E．探究平面镜成像时像与物的关系（2）发放和回收问卷；（3）整理数据，并形成如下统计图表：选项占调查人数的百分比A22.5%Bm%C25%D30%E15%解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务．（1）本次一共调查了名学生，统计表中m＝；（2）请补全条形统计图；（3）某堂物理实验课上，小军要从以上五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中两个探究性实验B和E的概率．16．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，4），B（1，1），C（4，0）．（铅笔作图确认无误后请用黑色中性笔再次涂描）（1）以点O为位似中心，在第三象限画出△A'B'C'，使它与△ABC位似，且位似比为2：1，并写出对应点的坐标A'，B′，C'．（2）若点P（2，m）在边AC上，直接写出点P位似后对应点P′的坐标．17．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB•AM＝AE•AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝6，AD＝8，求线段BM的长度．18．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以每件25元的进价购进一批“弗里热”纪念品．当商品售价为每件40元时，一月份可销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三月这两个月的月平均增长率不变．（1）求二、三月这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经调查发现，销售单价与月平均销售量的关系如表：销售单价（元）353637383940月平均销售量（件）600560520480440400若要使四月份利润达到6240元，且尽可能多的提升月平均销售量、则商品应降价多少元？19．（11分）根据以下素材，探索完成任务．探究大型电动折叠伞素材1图1是小明学校新安装的大型电动遮阳伞，图2是每根遮阳伞的杆身上贴的装置信息．素材2深圳某天上午不同时刻的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表：时刻7点8点9点10点11点12点太阳高度角（度）153045607590参考数据：2≈1.4；素材3某天早上小明和小华在7点左右到达学校，发现遮阳伞还未打开（如图3），因为学完了《利用太阳光线测高》，他们想利用所学测一下遮阳伞的高度，于是小明站在伞的正下方点D处，头顶在点G处，发现影子正好完整地投影在地面上，小华测得此时小明的影子DE为8m，小明身高约为2米．测量完图3中DE的长度后，小华立刻打开了电动遮阳伞，此刻遮阳棚在地面上的影子为EF（如图4）．素材4当天上午9点左右，小明和同学来到楼下准备上体育课，小明站在杆身左侧，距离杆身6米处的P点（如图5）．问题解决任务1测量遮阳伞高度①利用素材3中图3，请求出遮阳伞杆AD的长度m；②从图3到图4，该遮阳伞的遮盖范围EF（填“增大”或“减少”）了m；任务2判断是否照射得到请判断图5中此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由；任务3探究合理范围上午10点左右，体育课接近尾声时，小明站在哪块区域活动可保证其不被太阳光照射到，请你通过计算后直接说明小明的活动范围．20．（10分）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．【变式求异】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求PQQM【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求PQQM的值（用含m，n

2024-2025学年广东省深圳外国语学校（集团）宝安学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案AADCCCBC一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（）A． B． C． D．【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：．故选：A．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．2．（3分）如果x＝2是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【分析】把x＝2代入方程得到关于b的等式，可以求出字母系数b的值．【解答】解：∵x＝2是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，∴把x＝2代入原方程可得：22+2b﹣2＝0，解得：b＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．3．（3分）已知在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，则菱形ABCD的面积为（）A．160 B．80 C．40 D．96【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得OA的长，从而得到AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝16，∴AC⊥BD，OB=1∵在Rt△AOB中，AB＝10，∴AO=A∴AC＝2AO＝12，∴S菱形ABCD=1故选：D．【点评】此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．4．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：抽奖次数n1001502008001000抽到“中奖”卡片的次数m385669258299中奖的频率m0.380.3730.3450.3230.299根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（）A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25【分析】利用频率估计概率求解即可．【解答】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是0.30，故选：C．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．5．（3分）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（）A．2 B．2 C．103 【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得分式方程再进行检验，符合题意即可解答．【解答】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得：x10−x解得x=10经检验，x=10即P点表示的数为103故选：C．【点评】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程．6．（3分）如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为112m2，依题意列方程为（）A．10x+15×2x＝150﹣112 B．10x+15×2x﹣x2＝150﹣112 C．（10﹣2x）（15﹣x）＝112 D．（10﹣x）（15﹣2x）＝112【分析】设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长（15﹣x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，根据种植花苗的面积为112m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长（15﹣x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，依题意得：（15﹣x）（10﹣2x）＝112，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（3分）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（）A．5cm B．4017cm C．2017【分析】根据题意得出CI＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，证△GIF∽△FEC，根据线段比例关系得出FI的长度即可．【解答】解：由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°，∴∠CEF＝∠GFI，∵∠ECF＝∠FIG＝90°，∴△GIF∽△FCE，∴FICE即FICE∴CE＝4FI，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202，解得FI=4017或故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质并根据比例关系求值是解题的关键．8．（3分）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若AHAE=1A．49 B．12 C．47【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，依据△ADE∽△BNE，即可得出BN＝1.5；再根据△DHM∽△NFM，即可得到HMFM【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，∴BE＝1，DH＝BF＝2，∵AD∥BN，∴△ADE∽△BNE，∴ADBN=AE∴BN＝1.5，∵DH∥NF，∴△DHM∽△NFM，∴HMFM故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是延长CB，DE，构造两对“8”字模型相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行计算．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）若ab=32，则a−bb【分析】依据比例的性质，即可得到2a＝3b，进而得出a−bb【解答】解：∵ab∴2a＝3b，∴a＝1.5b，∴a−bb故答案为：12【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．10．（3分）四张写有不同诗句的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，背面朝上随机收在桌面，任意抽取两张，在不计顺序的情况下，恰能组成名篇名句的概率是13【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰能组成名篇名句的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：将四张卡片分别记为A，B，C，D，则A和B恰能组成名篇名句，C和D恰能组成名篇名句．列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中恰能组成名篇名句的结果有：（A，B），（B，A），（C，D），（D，C），共4种，∴恰能组成名篇名句的概率为412故答案为：13【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+k−2x−1=0有两个不相等的实数根，请你写出一个符合上面条件的【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＞0，得出k的范围，再选定一个k的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ＞0，即b2﹣4ac＝k﹣2﹣4×1×（﹣1）＝k+2＞0，且k﹣2≥0，∴k≥2，∴k＝2（答案不唯一），故答案为：2（答案不唯一）．【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．12．（3分）如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯（图中黑点代表景观灯），每排相邻两景观灯的间隔都是10m，在与河岸DE的距离为16m的A处（AD⊥DE）看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯恰好被河岸DE上的两个景观灯遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，则这条河的宽度BD为24m．【分析】根据相似三角形的性质，列出式子构建方程即可解决问题．【解答】解：由题意：AD⊥DE，DE∥BC，DE＝20m，BC＝50m，AD＝16m，∴AB⊥BC，△ADE∽△ABC，∴DEBC∴2015∴AB＝40（m），∴BD＝AB﹣AD＝40﹣16＝24（m），答：这条河的宽度为24m．故答案为：24．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E为AD边上一点，连接BE，将线段EB绕点E逆时针旋转120°得到EF，EF交CD于点H，连接BF，交CD于点G，已知∠A＝120°，AB＝3，AE＝1，则BG＝3395【分析】过E作EM⊥BA于M，过D作DN⊥BC于N，过F作FK⊥AD于K，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，求出D（92，332），直线CD解析式为y=3x﹣33；证明△KEF≌△MBE（AAS），求出F（6，3），直线BF解析式为y=36x，由y=3【解答】解：过E作EM⊥BA于M，过D作DN⊥BC于N，过F作FK⊥AD于K，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：∵∠BAD＝120°，∴∠MAE＝60°，∵EM⊥BA，AE＝1，∴AM=12，ME∴BM＝AB+AM=7同理可得CN=12CD=32∴BN＝BC+CN=9∴D（92，3由C（3，0），D（92，332）可得直线CD解析式为y=3∵将线段EB绕点E逆时针旋转120°得到EF，∴∠BEF＝120°，BE＝EF，∵∠BAD＝120°，∴∠KEF＝60°﹣∠AEB＝∠MBE，∵∠M＝∠K＝90°，∴△KEF≌△MBE（AAS），∴EK＝BN=72，FK＝EM∴DK＝EK﹣ED=32，DN﹣FK∴BC+CN+DK＝6，∴F（6，3），由B（0，0），（6，3）得直线BF解析式为y=36由y=36x∴G（185，3∴BG=(故答案为：339【点评】本题考查旋转的性质，涉及全等三角形判定与性质，菱形的性质及应用，解题的关键是求出G的坐标．三、解答题（本题共7小题，共61分）14．（8分）解方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）x（x﹣2）＝2﹣x．【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可．（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x=1x2﹣2x+1=1（x﹣1）2=3则x﹣1=±6所以x1（2）x（x﹣2）＝2﹣x，x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，则x﹣2＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣因式分解法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．15．（8分）某校综合实践小组对擅长每种物理实验的学生人数和比例展开调研．调研步骤：（1）制作如下问卷：你最擅长的物理实验是什么？（要求每个学生必选且只能选择一项）A．伏安法测小灯泡正常发光时的电阻B．探究电磁铁的磁性强弱与电流大小的关系C．测量蜡块的密度D．测量物体运动的平均速度E．探究平面镜成像时像与物的关系（2）发放和回收问卷；（3）整理数据，并形成如下统计图表：选项占调查人数的百分比A22.5%Bm%C25%D30%E15%解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务．（1）本次一共调查了400名学生，统计表中m＝7.5；（2）请补全条形统计图；（3）某堂物理实验课上，小军要从以上五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中两个探究性实验B和E的概率．【分析】（1）用条形统计图中A选项的人数除以表格中A选项的百分比可得本次一共调查的学生人数；用1分别减去表格中A，C，D，E选项的百分比可得m%，即可得m的值．（2）分别求出B，C选项的人数，补全条形统计图即可．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及小军恰好选中两个探究性实验B和E的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次一共调查了90÷22.5%＝400（名）学生．m%＝1﹣22.5%﹣25%﹣30%﹣15%＝7.5%，∴m＝7.5．故答案为：400；7.5．（2）C选项的人数为400×25%＝100（人），B选项的人数为400×7.5%＝30（人）．补全条形统计图如图所示．（3）列表如下：ABCDEA（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，A）（B，C）（B，D）（B，E）C（C，A）（C，B）（C，D）（C，E）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，E）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）共有20种等可能的结果，其中小军恰好选中两个探究性实验B和E的结果有：（B，E），（E，B），共2种，∴小军恰好选中两个探究性实验B和E的概率为220【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．16．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，4），B（1，1），C（4，0）．（铅笔作图确认无误后请用黑色中性笔再次涂描）（1）以点O为位似中心，在第三象限画出△A'B'C'，使它与△ABC位似，且位似比为2：1，并写出对应点的坐标A'（﹣2，﹣8），B′（﹣2，﹣2），C'（﹣8，0）．（2）若点P（2，m）在边AC上，直接写出点P位似后对应点P′的坐标（﹣4，﹣2m）．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，于是得到结论；（2）根据位似的性质可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；A′（﹣2，﹣8），B′（﹣2，﹣2），C′（﹣8，0）；故答案为：（﹣2，﹣8），（﹣2，﹣2），（﹣8，0）；（2）∵点P（2，m）在边AC上，∴点P位似后对应点P′的坐标为（﹣4，﹣2m），故答案为：（﹣4，﹣2m）．【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．17．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB•AM＝AE•AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝6，AD＝8，求线段BM的长度．【分析】（1）通过证明△ACB∽△AME，可得∠AEM＝∠ABC＝90°，可得结论；（2）由矩形的性质可得AE＝BE＝DE＝CE，求出BD＝10，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB•AM＝AE•AC，∴ABAE∵∠CAB＝∠CAB，∴△ACB∽△AME，∴∠AEM＝∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴DE＝BE，AE＝EC，AC＝BD，∠DAB＝90°，∴AE＝BE＝DE＝CE，∵AB＝6，AD＝8，∴BD=6∴AE＝5，∵AB•AM＝AE•AC，∴6×（6+BM）＝5×10，∴BM=7【点评】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，证明△ACB∽△AME是解题的关键．18．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以每件25元的进价购进一批“弗里热”纪念品．当商品售价为每件40元时，一月份可销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三月这两个月的月平均增长率不变．（1）求二、三月这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经调查发现，销售单价与月平均销售量的关系如表：销售单价（元）353637383940月平均销售量（件）600560520480440400若要使四月份利润达到6240元，且尽可能多的提升月平均销售量、则商品应降价多少元？【分析】（1）设二、三月这两个月的月平均增长率为x，根据一月份可销售256件，三月底的销售量达到400件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；（2）设商品降价y元，则每件的销售利润为（40﹣y﹣25）元，月销售量为（400+40y）件，根据四月份利润达到6240元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：（1）设二、三月这两个月的月平均增长率为x，根据题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），答：二、三月这两个月的月平均增长率为25%；（2）由销售单价与月平均销售量的关系可知，商品售价每降价1元，销售量就会增加40件．设商品降价y元，则每件的销售利润为（40﹣y﹣25）元，月销售量为（400+40y）件，根据题意得：（40﹣y﹣25）（400+40y）＝6240，整理得：y2﹣5y+6＝0，解得：y1＝3，y2＝2（不符合题意，舍去）．答：要使四月份利润达到6240元，且尽可能多的提升月平均销售量、则商品应降价3元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．（11分）根据以下素材，探索完成任务．探究大型电动折叠伞素材1图1是小明学校新安装的大型电动遮阳伞，图2是每根遮阳伞的杆身上贴的装置信息．素材2深圳某天上午不同时刻的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表：时刻7点8点9点10点11点12点太阳高度角（度）153045607590参考数据：2≈1.4；素材3某天早上小明和小华在7点左右到达学校，发现遮阳伞还未打开（如图3），因为学完了《利用太阳光线测高》，他们想利用所学测一下遮阳伞的高度，于是小明站在伞的正下方点D处，头顶在点G处，发现影子正好完整地投影在地面上，小华测得此时小明的影子DE为8m，小明身高约为2米．测量完图3中DE的长度后，小华立刻打开了电动遮阳伞，此刻遮阳棚在地面上的影子为EF（如图4）．素材4当天上午9点左右，小明和同学来到楼下准备上体育课，小明站在杆身左侧，距离杆身6米处的P点（如图5）．问题解决任务1测量遮阳伞高度①利用素材3中图3，请求出遮阳伞杆AD的长度6.1m；②从图3到图4，该遮阳伞的遮盖范围EF减小（填“增大”或“减少”）了5.2m；任务2判断是否照射得到请判断图5中此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由；任务3探究合理范围上午10点左右，体育课接近尾声时，小明站在哪块区域活动可保证其不被太阳光照射到，请你通过计算后直接说明小明的活动范围AD左侧4.5米到AD右侧1.1米．【分析】（1）①在Rt△AGC中，AC＝4，tan∠CAG＝tanα＝tan∠GED＝1：4，则CG＝1，则AG=A②在△AGC中，AC＝4，过点G作GN⊥AC于点N，∠ACG＝45°，∠DAC＝60°，故设GN＝CN=3x，则AN＝x，AG＝2x，则AC＝AN+CN=3x+x＝4，则x＝23−2，则AG＝2x（2）证明四边形BMDN为矩形，求出PQ＝1.5m，即可求解；（3）连接BC交AD于点T，过点B、C分别作PM的垂线，垂足分别为点R、M，则PE为小明的活动范围，即可求解．【解答】解：（1）①由题意得：DG＝2，ED＝4，∠GED＝15°＝α＝∠GAC，则∠EGD＝90°﹣15°＝75°＝∠AGC，则∠ACG＝180°﹣∠AGC﹣∠CAG＝180°﹣75°﹣15°＝90°，在Rt△EGD中，tan∠GED＝GD：DE＝1：4，在Rt△AGC中，AC＝4，tan∠CAG＝tanα＝tan∠GED＝1：4，则CG＝1，则AG=A则AD＝AG+DG＝4.1+2＝6.1（米），故答案为6.1；②如图4，由题意得，∠DAC＝60°，α＝15°，AC＝4，由①知，∠AGC＝75°，则∠ACG＝180°﹣75°﹣60°＝45°，在△AGC中，AC＝4，过点G作GN⊥AC于点N，∠ACG＝45°，∠DAC＝60°，故设GN＝CN=3x，则AN＝x，AG＝2x则AC＝AN+CN=3x+x＝4，则x＝23则AG＝2x＝43−则DG＝6.1﹣2.8＝3.3，由①知，DE＝4GD＝13.2，即DE由8变为13.2，而点F的位置不变，故EF减小了13.2﹣8＝5.2（米），故答案为：减小，5.2；（2）由题意得，此时α＝45°，如下图：∠BAD＝60°，PD＝6m，AB＝4m，设太阳光线为BF、CE，过点B作BM⊥DP于M点，BN⊥AD于N点，则四边形BMDN为矩形，∴BM＝ND，MD＝BN，在Rt△ABN中，∠BAN＝60°，∴∠ABN＝30°，∴AN=12AB＝2m，BN=32AB＝2∴BM＝ND＝AD﹣AN＝4.1m，MD＝3.4m，在Rt△BFM中，∠BFM＝45°，∴FM＝BM＝4.1m，∴PF＝FM+MD﹣PD＝4.1+3.4﹣6＝1.5（m），在Rt△QFP中，∠QFP＝45°，∴PQ＝FP＝1.5m，∴当PQ＝1.5m时，正好被阳光照射，而小明身高约为2m，故小明被太阳光照射到；（3）设太阳光线为BF、CE，则α＝60°，小明身高为PH＝2，AC＝4，连接BC交AD于点T，过点B、C分别作PM的垂线，垂足分别为点R、M，则PE为小明的活动范围，在Rt△ACT中，∠TAC＝60°，AC＝4，则AT＝2，CT＝23=3.4＝BT则TD＝AD﹣AT＝6.1﹣2＝4.1＝CM＝BR，在Rt△CEM中，EM＝CM×tan30°＝4.1×3则DE＝TC﹣EM＝3.4﹣2.32≈1.1（米）；在Rt△PRF中，FR＝BR•tan30°＝4.1×3同理可得：PF＝1.13，则PR＝1.32﹣1.13＝1.1，则PD＝1.1+3.4＝4.5（米），即小明活动的范围为：AD左侧4.5米到AD右侧1.1米，故答案为：AD左侧4.5米到AD右侧1.1米．【点评】本题考查的是三角形综合题，涉及到解直角三角形的应用，正确理解题目中的术语、理解题意是解题的关键．20．（10分）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P