广东省肇庆市2026届高中毕业班高三年级第一学期末教学质量监测数学试题及答案

高三●数学第1页(共4页)★开封前注意保密肇庆市2026届高中毕业班第一学期末教学质量监测本试题共4页,考试时间120分钟,满分150分注意事项:1.答题前,考生先将自己的信息填写清楚、准确,将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。3.答题时请按要求用笔,保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后,请将本试题及答题卡交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若i,则Z=2.已知集合A={x∈Zx2-x-6<0},则集合A的子集的个数为3.已知双曲线,b>0)的离心率为2,则其渐近线方程为4.从分别标有数字-2,-1,0,1,2的5张卡片中随机一次性抽取2张,则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率为A.B.C.D.5.已知直线l:y=x+m与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,当△OAB的面积最大时,点O到直线l的距离为A.B.C.D.\26.已知圆台的上、下底面的面积分别为9π和36π,侧面积为45π,则该圆台的体积为高三●数学第2页(共4页)7.函数f●cosx在[-,]上的图象大致为A.B.C.8.在三棱锥PABC中,PA=PB=PC,AB=BC=CA=2,平面PAB与平面CAB夹角的余弦值为\则三棱锥PABC外接球的表面积为3,二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知随机变量X~N(μ,σ2),则A.P(X≤μ-2)+P(X≤μ+2)=1B.μ越大,随机变量X的方差越大C.随机变量X的分布越集中,σ的值越小D.X的取值在(-∞,μ-3σ]内是小概率事件10.函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,φ<的部分图象如图所示,则π3B.f(x)的图象关于直线x=-π3π3C.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=3cosπ3 2D.若方程f(x)=在(0,m)上有且仅有6个实数根,则这6个实数根的和为10π211.已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,过点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B两点作准线的垂线,垂足为C,D,M是CD的中点,则 ,B3A.AB的最小值为4B.若AF=4则点B ,B3C.2MF=CDD.若M(-1,1),则直线AB的斜率为2高三.数学第3页(共4页)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.的展开式的常数项为.n,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,若,则.14.已知关于x的不等式x-a恒成立,则a的取值范围是.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列{an}的前n项和为5n,且an.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=log2an.log2an+1,数列的前n项和为Tn,证明:Tn<1. 16.(15分)已知a,b,C分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且\3aSinC+CCoSA-C=0.(1)求角A的值.→→(2)若△ABC的面积为4\,BD=2DC,求线段→→高三●数学第4页(共4页)17.(15分)已知椭圆C:的焦距为2\,点M(2,1)在C上.(1)求C的方程.(2)直线l与C交于A,B两点.(i)若线段AB的中点为T,求直线AB的方程;(ii)在(i)的条件下,P是椭圆上任意一点,求△ABP面积的最大值.18.(17分)如图,在四棱锥PABCD中,PA=PB=5,底面ABCD是矩形,AB=6,BC=4.(1)设平面PAB与平面PCD的交线为l,证明:lⅡCD.(2)证明:PC=PD.(3)当四棱锥PABCD的体积最大时,四棱锥PABCD是否存在内切球,若存在,求内切球的半径,若不存在,请说明理由.19.(17分)学校社团准备了编号1到n的n个盲盒,不同的编号对应不同的奖品(编号越大,奖品越好).规则如下:参与者有放回地抽取盲盒r(r>0)次,一次抽取一个盲盒,抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品,设获得的奖品对应的盲盒编号为X.(1)当n=3,r=2时,求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率.(2)若n=4,r=m.①求最终拿到编号不小于k(1≤k≤4)的奖品的概率;②用k表示出期望E(X).(3)当n=r时,证明:期望E肇庆市2026届高中毕业班第一学期末教学质量监测答案及评分标准(参考)数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBDCDCAB二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号9答案ACDABDACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解得a1=2.………………1分当n≥2时an一1,……………2分=2an一1,…………3分所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,…………4分所以数列{an}的通项公式为an=2n.……………………5分(2)因为an=2n,222n=n,…………………6分所以Tn…………………8分高三.数学答案及评分标准(参考)第1页(共8页)高三.数学答案及评分标准(参考)第2页(共8页)因为C∈(0,π),所以sinC≠0, 所以…………3分即2所以A一=,A=.………………7分因为0<A<π,所以一<所以A一=,A=.………………7分(2)由(1)得A=,(2)由(1)得A=,3因为△ABC的面积为4\,即bcsin………8分因为BD=2DC,因为BD=2DC,所以A=1A+2A………………所以A2=A+A2=A2+iA2+iAUAcosA………………11分2c=2b时,等号成立,……所以线段AD长度的最小值为4.……………………15分高三.数学答案及评分标准(参考)第3页(共8页)17.【详解】(1)方法一:由题意知,2c=2\,即c=\,…………1分设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-\,0),F2(\,0).因为MF1+MF2=2a,所以\(2+\3)2+1+\(2-\3)2+1=2a,解得a=\………………2分所以b2=3.………………3分所以椭圆C的方程为………4分方法二:由题意知,2c=2\,即c=\,…………1分因为点M(2,1)在椭圆C上,所以a2=b2+3,…………2分所以,即4b2+b2+3=b4+3b2,化简得b2=3或b2=-1(舍去),………3分所以椭圆C的方程为x2+y2=1……………………(2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点为T(-,,所以x1+x2=-,y1+y2=,………5分kOT………………………6分因为A,B两点在椭圆上,所以所以…………………7分所以高三●数学答案及评分标准(参考)第4页(共8页)所以kAB……………………8分所以直线AB的方程为x—y+1=0.……………………9分(ii)方法一:直线AB的方程为x—y+1=0,联立2=,……………10分,…………………13分当sin(θ—φ)=1时,d取最大值,此时dmax=2\,………………14分所以△ABP面积的最大值为AB●dmax……15分方法二:直线AB的方程为x—y+1=0,设与直线AB平行,且与椭圆C相切的直线的方程为x—y+t=0,联立Δ=0,解得t=±3,……………………10分当t=3时,直线xy+1=0与直线xy+t=0的距离更大,此时,切点就是椭圆上到直线AB距离最大的点,………………11分点P到直线AB的距离d的最大值就是平行线间的距离,高三.数学答案及评分标准(参考)第5页(共8页)max………………12分联立化简得3x2+4x-4=0,所以AB=\x1-x2=\\/(x1+x2)2-4x1x23,3,所以△ABP面积的最大值为1.AB.d=16………………18.【详解】(1)证明:因为底面ABCD是矩形,所以ABⅡCD,……………1分因为CD丈平面PAB,ABC平面PAB,所以CDⅡ平面PAB,……………………2分因为平面PAB∩平面PCD=l,CDC平面PCD,所以lⅡCD.………………4分(2)证明:如图1,分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,EF,PF.……………5分因为PA=PB,E是AB的中点,所以PE丄AB,……………6分又因为底面ABCD是矩形,E,F分别是AB,CD的中点,所以EF丄AB,……………7分因为ABⅡCD,所以PE丄CD,EF丄CD,………8分因为PE∩EF=E,PE,EFC平面PEF,CD丈平面PEF,所以CD丄平面PEF,…………9分因为PFC平面PEF,所以CD丄PF,因为F是CD的中点所以PC=PD.……………10分(3)假设四棱锥PABCD存在内切球,设点P到平面ABCD的距离为h,则h≤PE,PE=\/PA2-AE2=4,当PE丄平面ABCD时,h取最大值,此时四棱锥PABCD的体积最大,…………11分高三●数学答案及评分标准(参考)第6页(共8页)方法一:因为PE丄平面ABCD,所以平面PAB丄平面ABCD,因为平面PAB∩平面ABCD=AB,AD丄AB,所以AD丄平面PAB,即AD丄PA.所以PD2=AD2+AP2=41,S正方形ABCD=AD●AB=24.V四棱锥PABCD●PE●S正方形ABCD=32,…………………12分所以内切球半径r………13分设内切球球心为O,PF中点为M.因为O到平面PAD与平面PBC距离相等,所以由对称性可知,点O在平面PEF上,……………14分又因为点O到平面PAB与平面ABCD距离相等,且二面角P2,,如图2所示,因为EM=2\2,ABC的大小为2,,如图2所示,因为EM=2\2,所以2\2-\2r=r,解得r=4-2\2,……16分因为两个r的值不同,所以不存在内切球.………………17分方法二:因为PE丄平面ABCD,PEC平面PAB,所以平面PAB丄平面ABCD,因为EF丄AB,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以EF丄平面PAB,以E为坐标原点,分别以EB,EF,EP所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图3所示的空间直角坐标系.则P(0,0,4),A(-3,0,0),B(3,0,0),C(3,4,0),D(-3,4,0).………………12分平面PAB的一个法向量为n1=(0,1,0),→→则PC=(3,4,-4),PD=(-3,4,-4),设平面PCD的法向量为n2=(x,y→→高三.数学答案及评分标准(参考)第7页(共8页)→→所以化简得,,令n2=(0,1,1),设内切球球心。(a,b,c),易知,a,b,c>0.同理可求,平面ABCD法向量为n3=(0,0,1),平面PAD法向量为n4=(4,0,-3),→PE.n1PE=(a,b,c-4),平面PBC法向量为n5=(-4,0,-3),…→PE.n1PE=(a,b,c-4),n1n1→PE.n2b+c-4点。到平面PCD的距离d2→PE.n2b+c-4易知点。到平面ABCD的距离d3=c,→PE.n44a-3c→PE.n44a-3c+12n45,→n55点。到平面PAC的距离d5=PE.n5=-4a-3c+12,………15→n554=d5,解得a=0, 2,=d4, 2,,d1≠d2,矛盾,所以这样的内切球不存在.……………17分…………………………3分19.【详解】(1)P(X=1)………………………………3分44m,,,,(2)①P(X≥k)=(4-k+1)m=(5-k)mk=1234.……………44m,,,,高三.数学答案及评分标准(参考)第8页(共8页)②因为事件X=K与事件X≥K+1互斥,所以P(X≥K)=P(X≥K+1)+P(x=K),即P=P-PK=1,2,3,4,…7分所以随机变量X的期望E m.………9分 ……………10分随机变量X的期望E=KK.Pn.……11分设f(x)=xn+(1-x)n,x∈(0,1),f’(x)=n[xn-1-(1-x)n-1],………………12分P(X=1)=1,E(X)=1×1=1,等号成立;…………13分E等号成立;………………14分当n≥3时,当x时,f’(x)<0;当x时,f’(x)>0,所以f=xn+n≥f………………15分设Mn,因为Mn,所以所以M………………16分综上所述,E…………17分【详解】Z=(1+i)(1-i)=2,Z=2.【详解】因为x2-x-6<0,所以-2<x<3.因为x是整数,所以A={-1,0,1,2},故集合A共有24=16个子集.所以该双曲线的渐近线方程为y【详解】从5张卡片中抽取2张,共有C=10种可能,抽到的2张卡片中数字乘积为负数,即一正一负,共C.C=4种可能,所以抽到的2张卡片中数字乘积为负数的概率P,则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率P因为S△OABOA.OB.sin匕AOBsin匕AOB,2,,所以当sin匕AOB=1,即匕AOB=π2,,此时△OAB是等腰直角三角形,点O到直线l的距离为方法二:设点O到直线l的距离为d,则AB=2\,S△OAB=.AB.d=\,因为l与圆O相交,且l不经过点O,所以0<d<1,所以当d2=时,d2-d4取最大值,即S△OAB取最大值,高三.数学答案详解(参考)第1页(共5页)高三.数学答案详解(参考)第2页(共5页)即点O到直线l的距离为方法三:设点O到直线l的距离为d,A(x1,y1),B(x2,y2).联立,=-m,Δ=8-4m2>0→因为AB=\.x1-x2=\.\/2-m2,所以S△OABAB.d\.\.=\,22-m4取最大值,即S△OAB取最大值,【详解】依题意,记圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,则{π,,解得{,,设圆台的母线长为l,则π(r1+r2)l=45π,解得l=5,所以圆台的高h=\/52-(6-3)2=4,所以圆台的体积V=×4×(9π+36π+\)=84π.【详解】因为f(x)==(ex-e-x)cosx,且f(-x)=(e-x-ex)cosx=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;2,,当0≤x≤π时f(x)≥0排除选项C2,,因为f'(x)=(ex+e-x)cosx-(ex-e-x)sinx,所以f'=\e-,排除选项D.【详解】如图,取AB的中点D,连接CD,PD,因为PA=PB,BC=CA,所以PD丄AB,CD丄AB,所以匕PDC就是平面PAB与平面CAB的夹角,设PA=x,则PD=\/x2-1,高三.数学答案详解(参考)第3页(共5页)2PD.CD3,2PD.CD3,所以PA2+PB2=AB2,即PA丄PB,同理,PB丄PC,PA丄PC,所以三棱锥PABC外接球的直径2R=\/PA2+PB2+PC2=\,所以三棱锥PABC外接球的表面积S=4πR2=6π.【详解】因为随机变量X~N(μ,σ2),所以P(X≤μ-2)=P(X≥μ+2),所以P(X≤μ-2)+P(X≤μ+2)=P(X≥μ+2)+P(X≤μ+2)=1,故A正确;μ=E(X),故B错误;随机变量X的分布越集中,说明数据的波动越小,方差越小,而σ2=D(X),则σ的值越小,故C正确;根据3σ原则,D正确.【详解】由题图可知,函数f(x)的最大值为3,即A==3sinsin」φ<,:φ=,:f(x)=3sin(wx+.由题图可知,f(x)的最小正周期T满足T>5π即2π>5π解得0<w:f(x)=3sin(2x+,A正确;-=-3,:f(x)的图象关于直线x=-对称,B正确;函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到新函数方法一:π3即x=kπ或x=+kπ(k∈Zπ3高三.数学答案详解(参考)