数学物理方法 课件 04留数定理及应用

目录第4章

留数定理及应用

4.1留数定理4.2留数的计算方法4.3留数定理的应用4.4补充内容第1篇复变函数及应用4.1留数定理4.1留数定理

现在以z0

为圆心，作一个圆周线c，并将上式两边沿着c积分，则有利用积分公式(2.1-8)则有4.1留数定理可见，在洛朗级数展开式中，系数a-1

具有独特的地位，它直接与函数

f(z)沿回路c的积分有关。因此，专门给a-1

起了个名字，称为函数

f(z)在z0

的留数(Residue)，通常记为a-1

=Resf(z0)，则留数定理：设函数

f(z)在闭合围道c内除去有限个孤立奇点z1，z2，…，zn

外单值解析，而且在c上没有奇点，则有其中Resf(zk)是函数

f(z)在第k个孤立奇点zk

处的留数。证明：以zk

为圆心，作小的圆周ck(k=1，2，…，n)，使得这些小圆均位于闭合围道c内，且彼此相互隔离，如图4-1所示。这样由复连通区域中的柯西定理，则有然后，把

f(z)展开成洛朗级数，并利用式(4.1-4)，即可以得到留数定理。4.2留数的计算方法4.2留数的计算方法由留数定理可以看出，计算函数

f(z)沿着闭合围道c的积分，可以归结为计算留数Resf(zk)的问题。原则上讲，只要将函数

f(z)在以奇点zk

为圆心的环形区域上展开成洛朗级数，并取该级数的负一次幂的系数a-1就行了。但是，如果能够不对函数

f(z)进行洛朗级数展开而直接计算出留数，那将使计算积分的工作量减轻很多。下面介绍计算留数的方法。1.一阶极点的情况假设函数

f(z)在所考虑的区域D

内有一个极点z0，且是一阶的，则它在z0

点的邻域内的洛朗展开式为将上式两边乘以(z-z0)，然后令z

→z0，则可以得到这就是计算一阶极点的留数的基本公式。若函数

f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)及Q(z)都在z0

点及其邻域内解析，且z0

是Q(z)的一阶零点及P(z0)≠0，则有其中用到了Q(z)在z0

点的泰勒展开式2.m

阶极点的情况(m

≥2)假设函数

f(z)在所考虑的区域D

内有一个m

阶极点z0，则它在z0

点的邻域内的洛朗展开式为其中a-m≠0。将上式两边同乘以(z-z0)m，则可以得到然后，求导(m-1)次，有最后，令z

→z0，则可以得到留数为这就是求m

阶极点的留数的基本公式。显然，当m=1时，式(4.2-3)即退化为一阶极点的留数计算公式(4.2-1)。

2.m

阶极点的情况(m

≥2)

解：可以将被积函数的分母写为εz2+2z+ε=ε(z-z1)(z-z2)，其中

解：可以看出，该函数有两个极点，分别为三阶极点z=0和一阶极点z=i，它们对应的留数分别为2.m

阶极点的情况(m

≥2)2.m

阶极点的情况(m

≥2)

故该函数沿着单位圆周的积分为可以看出，利用留数定理来计算一个复变函数沿着一个闭合围道的积分，其基本步骤如下：(1)首先确定被积函数在这个闭合围道内的所有极点，并判断每个极点的阶数：(2)利用计算留数的公式，计算出被积函数在该极点的留数：(3)最后，利用留数定理，即可确定出该积分的值。4.3留数定理的应用4.3留数定理的应用

类型一

有理三角函数积分其中被积函数是cosθ

或sinθ

的有理函数，且在0，2π内连续。作积分变量代换z=eiθ，则有

当有理函数在单位圆周c内有n

个孤立奇点时zk

k=1，2，…，n，则由留数定理有

解：令z=eiθ，则有

解：令z=eiθ，则有

类型一

有理三角函数积分

解：首先利用三角函数公式cos2θ=1-2sin2θ，可以把该积分转化成然后令z=eiθ，则有其中类型一

有理三角函数积分类型一

有理三角函数积分由于z1

不在单位圆内，所以由留数定理有由以上讨论可以看出，对于利用留数定理计算这种有理三角函数的积分，其基本步骤为：(1)通过变量替代z=eiθ，把原来的积分(积分区间从0到2π)转化成沿着复平面上一个单位圆的积分，其中圆心位于原点：(2)找出被积函数在单位圆内的所有极点，并判断每个极点的阶：(3)根据计算留数的公式，计算出被积函数在每个极点的留数：(4)最后，根据留数定理，就可以得到积分结果。类型二

无穷积分其中：①

与实变函数

f(x)相对应的复变函数

f(x)在实轴上没有奇点，在上半平面上除有限个奇点外是解析的：②

在实轴及上半平面上，当|z|→∞时，有|zf(z)|→0。要想利用留数定理计算上面的积分，首先需要进行如下操作：(1)设R为一无限大的正常数，则可以将积分[式(4.3-5)]写成(2)以R

为半径，在上半平面作一个半圆形回路，其中半圆周为cR，圆心位于坐标原点，见图4-2。这样则有类型二

无穷积分(3)由于当|z|→∞时，|zf(z)|→0，则则有其中|

上半平面

为函数

f(z)在上半平面的留数之和。说明：(1)如果函数

f(z)在下半平面除有限个奇点外处处解析，则也可以用下半平面的留数定理来计算积分[式(4.3-5)]，其积分结果与式(4.3-6)的右边相似，但相差一个负号。(2)当

f(x)是x

的偶函数时，则有

则由留数定理，有类型二

无穷积分

则由留数定理有类型二

无穷积分对于利用留数定理计算这种无穷积分，其基本步骤如下：(1)对原有的积分路径进行补充，使之变成一个闭合的围道，如上半平面或下半平面的半圆：(2)确定被积函数在上半平面(或下半平面)上的所有极点和极点的阶数，并计算出相应的留数：(3)根据留数定理，即可以得到积分的值。类型三

含有三角函数的无穷积分其中：①m

为大于零的实数：②

与

f(x)对应的复变函数f(z)在上半平面除有限个奇点外处处解析：③

在实轴及上半平面上，当|z|→∞时，有|f(z)|→0。为了完成上面的积分计算，需要引入一个重要的引理，即约当引理：设当|z|→∞时，函数

f(z)在上半平面及实轴上一致趋于零，则其中m>0，cR

是以z=0为圆心、以R

为半径的半圆周，位于上半平面。证明：在，cR

上，设z=Reiθ，则类型三

含有三角函数的无穷积分取R

足够大，使得f(Reiθ)<ε，其中ε

为任意小的正数，则

可见，当R

→∞时，上式的结果趋于零，这就证明了约当引理。下面利用约当引理及留数定理完成式(4.3-8)的积分。在上半平面上，以零点为圆心，以R为半径作一个半圆，对应的半圆周为cR，则有

由公式(4.3-11)，可以得到类型三

含有三角函数的无穷积分由约当引理，显然当R→∞时，上式右边的第二项的积分结果为零。再根据留数定理，有特别地，当

f(x)为偶函数时，则有而当

f(x)为奇函数时，则有

再由公式(4.3-12)，可以得到类型三

含有三角函数的无穷积分关于利用留数定理计算这种含有三角函数的无穷积分，其基本步骤如同前面的类型二，这里不再重复。4.4补充内容1.实轴上有奇点的情况在前面介绍的三类积分问题中，都要求被积函数在实轴上没有奇点，但在一些实际问题中，有时会遇到被积函数在实轴上有奇点的情形。下面介绍如何利用留数定理来计算这类积分。考虑如下积分其中

f(x)除了在实轴上有一个奇点x=b

外，它满足类型二的条件。为了完成这类积分的计算，需要作如下操作：以z=b

为圆心，以无限小的正数ε为半径作一个小的半圆周cε：以z=0为圆心，以充分大的R为半径作一个大的半圆周cR

。这样由cR

、cε

及实轴[-R，R]构成了一个闭合围道c，见图4-3。这样有1.实轴上有奇点的情况

其中P(z-b)是洛朗级数的解析部分，它在cε

上有界，即这样有1.实轴上有奇点的情况

注意：由于cε的方向是顺时针的，故上式的积分结果为负。根据以上结果，最后可以得到

解：可以将该积分改写为可见，被积函数

f(z)=1/z在实轴上有一阶极点z=0，而在上半平面上没有极点，因此有即这是一个很重要的积分结果，在物理学中十分有用。1.实轴上有奇点的情况2.菲涅耳积分在研究光学衍射问题时，会遇到如下两种菲涅耳积分

令R

→∞，则上式左边第一项的积分为2.菲涅耳积分

在辐角为π/4的射线l上，