广东省澳台侨二十校2025-2026学年高三上学期第一次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省澳台侨二十校2025-2026学年高三上学期第一次联考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<1}，B=−1,0,1,2，则A∩B=A.−1 B.−2,−1,0 C.−1,0 2.已知复数z满足(2−3i)z=1+i(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的是(

)A.y=x3 B.y=cosx C.4.已知角θ的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1,2)，则tanθ的值为A.22 B.1 C.25.函数fx=2−A.−3,−1 B.−∞,−1∪3,+∞

C.−1,3 6.已知椭圆C：x2a2+y24A.13 B.12 C.27.已知圆C1：(x+2)2+y2=2及圆CA.1 B.2 C.3 D.48.已知等比数列an的各项均为正数，a5,a6是函数fA.5 B.6 C.10 D.159.已知正三棱锥A−BCD的底面▵BCD的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为33，则正三棱锥A−BCD的体积为(

)A.272 B.182 C.10.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为(

)A.13 B.23 C.49二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.在(1x−x2)6的展开式中，常数项是12.记Sn为等差数列an的前n项和．若2S3=3S13.若x+2是多项式f(x)的因式，且x+3除f(x)的余式为5，则f(x)除以x2+5x+6的余式是

．14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)+f(x)=0，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(log15.已知在大小为π3的二面角α−l−β中，A∈α,B∈β,AC⊥l于点C,BD⊥l于点D，且CD=DB=2AC=2，则直线AB与CD所成角的余弦值为

．三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)已知角A,B,C是▵ABC的内角，a, b, c分别是其对边长，向量m=sinA2, (1)求角A的大小；(2))若a=2, cosB=13，求b17.(本小题20分)已知数列an满足a(1)证明：数列1an−1(2)令bn=an+1−ana18.(本小题20分)已知函数fx(1)讨论fx(2)若a=1，求曲线fx在x=1(3)当a>0时，试讨论函数fx的零点个数．19.(本小题20分)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，短轴长为2.过点F(1)求椭圆C的标准方程；

(2)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；(3)求ΔAOB面积的最大值．

参考答案1.C

2.B

3.C

4.C

5.C

6.C

7.A

8.A

9.B

10.D

11.15

12.2

13.−5x−10

14.1415.216.解：(1)由m→m⋅即3sinA−由0<A<π可得−π因此可得A−π所以A=π(2)在▵ABC中，A=π由正弦定理知asinA=S=8

17.(1)证明：∵2an+1−anan+1=1，n∈N∗．

∴an+1=12−an，

∴1an+1−1−1an−1=112−18.解：(1)

f′(x)=ex当

a≤0

时，

f′(x)>0

恒成立，故

f(x)

在

R

上单调递增，当

a>0

时，令

f′(x)=0

，解得

x=lna所以当

x∈(lna,+∞)

时，

f当

x∈(−∞,lna)

时，

f综上，当

a≤0

时，

f(x)

在

R

上单调递增；当

a>0

时，

f(x)

在

(lna,+∞)

上单调递增，在

(−∞,(2)由

a=1

，则

f(x)=ex−(x+1)

，得

曲线

f(x)

在

x=1

处的切线的斜率为

f′(1)=e−1,f(1)=e−2故曲线

f(x)

在

x=1

处的切线的方程为

y−e+2=(e−1)(x−1)

，即

(e−1)x−y−1=0

；(3)由于

f(x)=0

，即

ex−a(x+1)=0,∴即

f(x)

的零点个数可看作直线

y=1a

与曲线

y=令

g(x)=x+1ex

，则

当

x<0

时，

g′(x)>0,g(x)

在

(−∞,0)

上单调递增，当

x>0

时，

g′(x)<0,g(x)

在

(0,+∞)

上单调递减，故

g(x)max当

x<−1

时，

g(x)<0

，当

x>−1

时，

g(x)>0

，当

x

趋向于负无穷时，

gx

趋向于负无穷，当

x

趋向于正无穷时，

gx

趋向于

0作出函数

gx

当

0<1a<1

，即

a>1

时，直线

y=1a

与曲线

y=x+1当

1a=1

，即

a=1

时，直线

y=1a

与曲线

y=x+1e当

1a>1

，即

0<a<1

时，直线

y=1a

与曲线故

a>1

时，函数

f(x)

的零点个数是

2

；

a=1

时，函数

f(x)

的零点个数是

1

；0<a<1

时，函数

f(x)

的零点个数是

0

；

19.解：(1)由题意知：

c=3,2b=2

，

又

∵a2=b2+c2

，解得

b=1,a=2

.

(2)设

Ax1,y1,Bx2,y2

，

M

为线段AB的中点，

所以

x12+4y12=4x22+4y22即

y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=−14

，

而直线OM的斜率为

kOM=y1+y22(3)因为直线

l

的斜率不为

0

，

所以设直线

l

的方程