广东省2026年1月普通高等学校招生适应性测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省2026年1月普通高等学校招生适应性测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1,3,5，全集U=R和集合B.若∁UB∩A.B={x∣x>5} B.B={x∣x<5}

C.B={x∣0<x<5} D.B={x∣−1<x<3}2.若函数fx=ex,x<0ax+b,x≥0A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列是某商品2025年前5个月的平均价格与月份的统计数据：月份代码x12345平均价格y(单位：元)1716201819用方程y=kx+16.2拟合上述数据，当残差平方和最小时，k=(

)A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.64.已知扇形的圆心角α=π3，半径R=100.若仅将α减小30∘A.125π9 B.301π7 C.7π815.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，半焦距为c.过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A.2 B.3 C.2或26.已知正数a，b满足9a+1b=2，若a+b≥x2+2x对任意正数aA.[−4,2] B.[−2,4]

C.(−∞,−4]∪[2,+∞) D.(−∞,−2]∪[4,+∞)7.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在(0,πA.(0,1] B.(0,2] C.[1,28.已知空间四边形ABCD的各边长均为6，平面ABD⊥平面CBD，点M在边AC上，且AM=2MC，过M作四边形ABCD外接球的截面，则截面面积的最小值为(

)A.6π B.62π C.12π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列an,bn均为递增数列，它们的前n项和分别为Sn,TnA.0<a1<1 B.S2n=n10.若x2+1ax6的展开式中x3A.a=−12 B.所有项系数之和为1

C.二项式系数之和为64 11.已知函数fx=xlnx−a2A.a∈0,1 B.x1+x2>2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足z1−i=4+2i，则z=_________．13.已知函数fx=cosx⋅lnx+1+x2+π414.已知a,b满足ea=−ae,blnb−2=e四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)▵ABC中，A=2π3，且(1)若AP=λAB+AC且(2)求sinA+sin16.(本小题15分)AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB=2AP，三棱锥P−ABC体积的最大值为83

(1)当∠BAC=π3时，求二面角(2)当▵PBC的面积最大时，求AC．17.(本小题15分)已知双曲线C:x2−y23=1的左右焦点分别为F1,F2(1)求l的斜率；(2)若P,Q分别为C的左支和右支上的一个动点，F2P+F218.(本小题17分)从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i=1,2,⋯,7(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；(2)记PA1A2A3表示A1，A2，A3①证明：PA②求PA319.(本小题17分)若数列an满足an+1≤(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；(2)设cn=pn+(3)已知Sn为正项下凸数列an前n项和，Sn≤1，证明：参考答案1.B

2.A

3.D

4.D

5.C

6.A

7.C

8.C

9.ACD

10.ABC

11.ABC

12.1+3i

13.π414.−e15.【详解】(1)因为BC=AC−AB，且已知所以AP⋅BC=0所以λAB又AB⋅AC=AB⋅所以−6λ−9λ+16−−6=0，解得(2)由A=2π3，得又BC故BC=37，所以得sinB=AC⋅sin所以sinA+

16.解：(1)设⊙O的半径为r，则PA=r，AB=2r，因PA⊥平面ABC，故当三棱锥P−ABC体积取得最大值时，▵ABC中AB边上的高最大，即为半径长，故有13×1如图以点A为原点，AB,AP所在直线分别为x,z轴，以平面ABC上过点A的AB的垂线为y轴，建立空间直角坐标系．因∠BAC=π3，易得AC=r=2，则又BC=(−3,设平面PCB的法向量为m=(x,y,z)则BC⋅m=−3x+3易得平面PAB的一个法向量为n=(0,1,0)则cos⟨设二面角C−PB−A的平面角为θ，则sinθ=即二面角C−PB−A的正弦值为10

(2)由(1)可得|PB|=42+22=2cos∠CAB=t4所以CP=(−14t2于是点C到直线PB的距离为d==因▵PBC的面积为S▵PBC=1故当且仅当t2=6时，▵PBC的面积最大，此时18.解：根据题意，设事件B：第一次摸到蓝球；

(1)袋中有7个球，第一次从7个球中摸一个共7种不同的结果，

其中是蓝球的结果共4种，

所以

P(B)=47，

第一次摸到蓝球不放回，袋中剩6个球，其中3个红球，3个蓝球，

从6个球中摸一个共6种不同的结果，其中是红球的结果共3种，

所以第二次摸到红球的概率为36=12，

即第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率为12．

(2)(ⅰ)证明：由条件概率定义，可得P(AB)=P(A∣B)P(B)，

P(A1)P(第一次

第二次

第三次

概率红

红

红

3红

蓝红

3蓝红

红

4蓝蓝红

4∴P(A319.【详解】(1)设正项等比数列bn的公比为q则bn+1即bn+1≤b(2)设pn,rn的公比分别为显然cn>0==−p所以正项数列cn下面证明：正项数列cn不是等比数列，若c则有pn+1所以pn+1因为pn,r所以2pn+1r因为pnrn≠0，所以所以q2=q1，与(3)假设存在一个常数k∈N+，使得但ak<ak+1，因为将an+2≥