2025年高中数学图论问题题试题

2025年高中数学图论问题题试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2025年高中数学图论问题题试题考核对象：高中学生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）请判断下列命题的正误。1.无向图中，若两个顶点之间存在路径，则它们一定连通。2.有向图中，若存在一条从顶点u到顶点v的路径，则u和v之间存在有向边。3.树是至少有两个顶点的连通无向图。4.在任何无向图中，顶点数和边数的关系为：边数=顶点数-1。5.欧拉回路是指经过每条边恰好一次的回路，且起点和终点相同。6.任何无向连通图至少存在一条哈密顿路径。7.在有向图中，若存在哈密顿路径，则图中所有顶点的出度之和等于所有顶点的入度之和。8.任何无向图都可以用平面图表示，且边与顶点之间没有交叉。9.在树中，任意两个顶点之间有且仅有一条路径。10.若一个无向图的最小生成树存在多条，则这些生成树的边权和相同。二、单选题（每题2分，共20分）请选择最符合题意的选项。1.下列哪个不是图论中的基本概念？A.顶点B.边C.路径D.函数2.一个无向图有6个顶点，边数为10，则该图的度数之和为？A.10B.20C.30D.403.以下哪个不是树的性质？A.至少存在一个环B.无环且连通C.任意两个顶点之间有唯一路径D.边数=顶点数-14.欧拉回路存在的条件是？A.所有顶点的度数为偶数B.至少有两个顶点的度数为奇数C.图不连通D.图中有环5.以下哪个不是哈密顿路径的性质？A.经过所有顶点恰好一次B.可以重复经过边C.起点和终点不同或相同D.图中无环6.最小生成树的应用场景是？A.最短路径问题B.最大流问题C.网络覆盖问题D.负权边问题7.在有向图中，若存在欧拉路径，则图中奇数度顶点的数量为？A.0B.2C.任意D.18.以下哪个不是平面图的特征？A.可以在平面上绘制，边不交叉B.存在欧拉回路C.存在哈密顿路径D.满足欧拉公式：顶点数-边数+面数=29.在树中，删除一条边后，剩余部分一定是？A.树B.无向图C.有向图D.连通图10.以下哪个不是图论中的算法？A.拓扑排序B.Dijkstra算法C.Floyd-Warshall算法D.快速排序三、多选题（每题2分，共20分）请选择所有符合题意的选项。1.以下哪些是树的特征？A.无环B.连通C.顶点数>=2D.边数=顶点数-12.欧拉回路和欧拉路径的区别是？A.欧拉回路经过每条边恰好一次，起点和终点相同B.欧拉路径经过每条边恰好一次，起点和终点不同C.欧拉回路必须存在奇数度顶点D.欧拉路径可以重复经过边3.最小生成树算法包括？A.Kruskal算法B.Prim算法C.Dijkstra算法D.Bellman-Ford算法4.以下哪些是平面图的性质？A.可以在平面上绘制，边不交叉B.满足欧拉公式：顶点数-边数+面数=2C.存在哈密顿回路D.存在欧拉路径5.哈密顿路径和哈密顿回路的关系是？A.哈密顿回路是哈密顿路径的特例B.哈密顿路径要求起点和终点不同C.哈密顿回路要求起点和终点相同D.哈密顿路径和哈密顿回路都要求经过所有顶点恰好一次6.在有向图中，以下哪些是欧拉路径的性质？A.经过每条边恰好一次B.图中所有顶点的出度之和等于入度之和C.图中至少有两个顶点的度数为奇数D.图必须连通7.树的遍历方法包括？A.深度优先搜索（DFS）B.广度优先搜索（BFS）C.先序遍历D.中序遍历8.以下哪些是图论中的基本概念？A.顶点B.边C.路径D.矩阵9.最小生成树的应用场景包括？A.网络设计B.路径规划C.负权边问题D.资源分配10.欧拉回路存在的条件是？A.图连通B.所有顶点的度数为偶数C.图中无环D.至少有两个顶点的度数为奇数四、案例分析（每题6分，共18分）1.问题：某城市有5个区（A、B、C、D、E），需要修建道路连接这些区。道路的修建成本如下表所示（单位：万元）。请设计一个最小生成树方案，使得总成本最低。|边|A-B|A-C|A-D|A-E|B-C|B-D|B-E|C-D|C-E|D-E||----------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----||成本|4|8|7|9|5|6|3|2|10|4|要求：-列出最小生成树的具体边，并计算总成本。-说明选择边的顺序和依据。2.问题：某公司有6个部门（P、Q、R、S、T、U），需要铺设网络线路连接这些部门。网络线路的铺设成本如下表所示（单位：万元）。请设计一个最小生成树方案，使得总成本最低。|边|P-Q|P-R|P-S|P-T|P-U|Q-R|Q-S|Q-T|Q-U|R-S|R-T|R-U|S-T|S-U|T-U||----------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----||成本|3|6|4|8|5|2|7|1|9|3|6|4|2|5|7|要求：-列出最小生成树的具体边，并计算总成本。-说明选择边的顺序和依据。3.问题：某大学有7个教学楼（V、W、X、Y、Z、A、B），需要铺设网络线路连接这些教学楼。网络线路的铺设成本如下表所示（单位：万元）。请设计一个最小生成树方案，使得总成本最低。|边|V-W|V-X|V-Y|V-Z|W-X|W-Y|W-Z|X-Y|X-Z|Y-Z|A-B||----------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----||成本|2|5|3|6|4|7|1|2|8|5|9|要求：-列出最小生成树的具体边，并计算总成本。-说明选择边的顺序和依据。五、论述题（每题11分，共22分）1.问题：请论述欧拉回路和哈密顿回路在图论中的区别和联系，并举例说明。2.问题：请论述最小生成树算法（Kruskal算法和Prim算法）的原理和应用场景，并比较两者的优缺点。---标准答案及解析一、判断题1.√2.×（存在路径不一定是直接有向边，可能经过其他顶点）3.×（树至少有两个顶点，且无环连通，但定义中未明确“至少”两个顶点，需根据教材调整）4.×（树边数=顶点数-1，但无向连通图不一定满足）5.√6.×（连通图不一定存在哈密顿路径，如完全二叉树）7.√8.×（平面图边与顶点无交叉，但非所有图都可平面表示）9.√10.√二、单选题1.D2.C（度数之和=2×边数=20）3.A4.A5.B6.A7.B8.C9.A10.D三、多选题1.A,B,D2.A,B3.A,B4.A,B5.A,B,C,D6.A,B,D7.A,B,C8.A,B,C9.A,B,D10.A,B四、案例分析1.最小生成树方案：-边：A-B（4），B-C（5），A-D（7），D-E（4），总成本=4+5+7+4=20万元。-顺序：按Kruskal算法，优先选择最小边，避免形成环。2.最小生成树方案：-边：Q-T（1），Q-U（9），P-Q（3），P-R（6），P-S（4），总成本=1+9+3+6+4=23万元。-顺序：按Prim算法，从P开始，逐步连接最小边。3.最小生成树方案：-边：W-Z（1），V-W（2），V-X（5），X-Y（2），总成本=1+2+5+2=10万元。-顺序：按Kruskal算法，优先选择最小边，避免形成环。五、论述题1.欧拉回路和哈密顿回路的区别和联系：-区别：-欧拉回路：经过每条边恰好一次，起点和终点相同；哈密顿回路：经过每个顶点恰好一次，边可以重复。-欧拉回路关注边，哈密顿回路关注顶点。-联系：-两者都是图论中的经典问题，都要求图连通（欧拉回路）或强连通（哈密顿回路）。-存在特定条件下的等价关系，如欧拉回路存在的图一定存在哈密顿路径。-例子：-欧拉回路：六边形（每边经过一次，起点终点重合）。-哈密顿回路：完全图K₅（每个顶点经过一次，边可重复）。2.最小生成树算法的原理和应用场景：-原理：