2026年统计中级资格考试概率与数理统计模拟试题及答案

2026年统计中级资格考试概率与数理统计模拟试题及答案1.某市交通部门连续30天记录早高峰时段（7:30—8:30）通过某桥梁的机动车数量，数据如下（单位：百辆）：21.322.720.923.124.022.521.823.624.222.023.421.622.923.824.522.221.523.024.122.823.721.922.423.324.322.621.723.524.422.3（1）计算样本均值、样本中位数、样本标准差；（2）以α=0.05检验“日均流量是否超过2200辆”；（3）若真实均值为23.5（百辆），求第Ⅱ类错误概率β；（4）给出日均流量95%的置信区间，并解释其含义。【答案与解析】（1）样本均值x̄=(∑x_i)/30=674.4/30=22.48（百辆）排序后中位数位置=(30+1)/2=15.5，取第15、16位平均x_(15)=22.8，x_(16)=22.9⇒Me=22.85（百辆）样本方差s²=∑(x_i−x̄)²/(n−1)=30.462/29=1.0504s=√1.0504=1.025（百辆）（2）H₀:μ≤22，H₁:μ>22，单侧检验t=(x̄−μ₀)/(s/√n)=(22.48−22)/(1.025/√30)=2.56查t分布表，df=29，单侧临界值t₀.₀₅=1.6992.56>1.699⇒拒绝H₀，认为日均流量显著高于2200辆。（3）真实均值μ₁=23.5，δ=μ₁−μ₀=1.5非中心参数λ=δ/(s/√n)=1.5/(1.025/5.477)=8.01查非中心t分布，df=29，λ=8.01，得单侧检验功效1−β≈0.996⇒β≈0.004（4）95%置信区间x̄±t₀.₀₂₅·s/√n=22.48±2.045×1.025/5.477=22.48±0.383⇒(22.10,22.86)（百辆）含义：若重复抽样构造区间，约有95%的区间包含真实日均流量。2.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数f(x)=λe^(−λx),x≥0（1）求P(X≥t+s|X≥s)，并说明无记忆性；（2）若λ=0.02（单位：次/小时），求设备连续运行50小时不发生故障的概率；（3）若已有30小时无故障，求接下来20小时仍无故障的概率；（4）给出λ的极大似然估计，并验证其无偏性。【答案与解析】（1）P(X≥t+s|X≥s)=P(X≥t+s)/P(X≥s)=e^(−λ(t+s))/e^(−λs)=e^(−λt)与s无关，体现无记忆性：已存活s小时不影响剩余寿命分布。（2）P(X≥50)=e^(−0.02×50)=e^(−1)=0.3679（3）由无记忆性，P(X≥50|X≥30)=P(X≥20)=e^(−0.02×20)=0.6703（4）似然函数L(λ)=∏λe^(−λx_i)=λ^ne^(−λ∑x_i)lnL=nlnλ−λ∑x_idlnL/dλ=n/λ−∑x_i=0⇒λ̂=n/∑x_i=1/x̄E(λ̂)=E(n/∑x_i)，令T=∑x_i~Gamma(n,λ)E(1/T)=λ/(n−1)⇒E(λ̂)=nλ/(n−1)≠λ⇒λ̂有偏，但渐近无偏，修正λ̃=(n−1)/∑x_i可得无偏估计。3.某质检站对一批电子元件抽取n=400只进行寿命试验，观测到平均寿命x̄=4850小时，样本标准差s=420小时。已知行业要求平均寿命不低于5000小时。（1）在α=0.01下检验是否符合要求；（2）若实际均值μ=4900，求犯第Ⅱ类错误的概率β；（3）给出μ的单侧99%置信下限；（4）若希望检验功效在μ=4900时达到0.90，求所需样本量。【答案与解析】（1）H₀:μ≥5000，H₁:μ<5000，左侧检验z=(x̄−μ₀)/(s/√n)=(4850−5000)/(420/20)=−150/21=−7.14临界值−z₀.₀₁=−2.326−7.14<−2.326⇒拒绝H₀，显著低于5000小时。（2）δ=|4900−5000|=100zβ=zα+|δ|/(s/√n)=2.326+100/21=7.08查标准正态，β=Φ(−7.08)≈0（3）单侧99%下限x̄−z₀.₀₁·s/√n=4850−2.326×21=4850−48.85=4801.15小时（4）功效0.90⇒zβ=1.282n=[(zα+zβ)s/δ]²=[(2.326+1.282)×420/100]²=(3.608×4.2)²=229.3取整230只。4.设二维随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)=k(x+y),0≤x≤1,0≤y≤1（1）求常数k；（2）求边缘密度f_X(x)、f_Y(y)；（3）求条件密度f_{Y|X}(y|x)；（4）计算Cov(X,Y)与相关系数ρ_{XY}；（5）判断X与Y是否独立。【答案与解析】（1）∫₀¹∫₀¹k(x+y)dxdy=k∫₀¹[xy+y²/2]₀¹dx=k∫₀¹(x+0.5)dx=k(0.5+0.5)=k令k=1（2）f_X(x)=∫₀¹(x+y)dy=x+0.5,0≤x≤1对称得f_Y(y)=y+0.5（3）f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=(x+y)/(x+0.5),0≤y≤1（4）E(X)=∫₀¹x(x+0.5)dx=∫₀¹(x²+0.5x)dx=1/3+1/4=7/12E(X²)=∫₀¹x²(x+0.5)dx=1/4+1/6=5/12Var(X)=5/12−(7/12)²=11/144同理E(Y)=7/12,Var(Y)=11/144E(XY)=∫₀¹∫₀¹xy(x+y)dxdy=∫₀¹x∫₀¹(xy+y²)dydx=∫₀¹x[x/2+1/3]dx=∫₀¹(x²/2+x/3)dx=1/6+1/6=1/3Cov(X,Y)=1/3−(7/12)²=1/3−49/144=−1/144ρ=Cov/√(VarXVarY)=(−1/144)/(11/144)=−1/11≈−0.0909（5）f(x,y)=x+y≠(x+0.5)(y+0.5)=f_Xf_Y⇒不独立。5.某生产线产品重量服从N(μ,σ²)，现抽取n=25袋，测得x̄=502.4g，s=4.8g。（1）求σ²的95%置信区间；（2）检验σ²是否超过30g²（α=0.05）；（3）若μ未知，求P(S²>30)的近似值；（4）给出μ的95%预测区间（对下一个个体）。【答案与解析】（1）χ²₀.₀₂₅,24=12.401，χ²₀.₉₇₅,24=39.364σ²区间=[(n−1)s²/χ²₀.₉₇₅,(n−1)s²/χ²₀.₀₂₅]=[24×23.04/39.364,24×23.04/12.401]=[14.05,44.61]g²（2）H₀:σ²≤30，H₁:σ²>30χ²=(n−1)s²/σ₀²=24×23.04/30=18.43临界值χ²₀.₀₅,24=36.41518.43<36.415⇒不拒绝H₀，无证据表明方差超过30。（3）由χ²=(n−1)S²/σ²~χ²(24)P(S²>30)=P(χ²>24×30/σ²)，若σ²真值未知，用s²=23.04估计⇒P(χ²>24×30/23.04)=P(χ²>31.25)查表得χ²₀.₇₅,24≈28.2，χ²₀.₉₀,24≈33.2插值：31.25对应右尾概率≈0.18（4）预测区间=x̄±t₀.₀₂₅,24·s√(1+1/n)=502.4±2.064×4.8×1.02=502.4±10.1⇒(492.3,512.5)g6.设X~Poisson(λ)，Y|X=x~Binomial(x,p)，其中0<p<1已知。（1）求Y的边缘分布；（2）求E(Y)与Var(Y)；（3）求Cov(X,Y)；（4）给出λ的矩估计；（5）若观测到Y=y，求X的条件期望E(X|Y=y)。【答案与解析】（1）P(Y=k)=∑_{x=k}^∞P(Y=k|X=x)P(X=x)=∑_{x=k}^∞C_x^kp^k(1−p)^{x−k}e^(−λ)λ^x/x!=e^(−λ)p^k/k!∑_{x=k}^∞λ^x(1−p)^{x−k}/(x−k)!令t=x−k，得=e^(−λ)(λp)^k/k!∑_{t=0}^∞[λ(1−p)]^t/t!=e^(−λ)(λp)^k/k!e^{λ(1−p)}=e^(−λp)(λp)^k/k!⇒Y~Poisson(λp)（2）由(1)直接得E(Y)=λp，Var(Y)=λp（3）E(XY)=E[E(XY|X)]=E[XE(Y|X)]=E[X·Xp]=pE(X²)=p(λ+λ²)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=p(λ+λ²)−λ·λp=pλ（4）E(Y)=λp⇒矩估计λ̂=Ȳ/p（5）E(X|Y=y)=y+E(X−Y|Y=y)X−Y|Y=y相当于在X≥y条件下，剩余X−Y~Poisson(λ(1−p))⇒E(X|Y=y)=y+λ(1−p)7.某研究考察两种催化剂A、B对收率的影响，独立实验各10次，数据如下（%）：A:92.593.191.894.092.793.591.993.392.493.0B:94.295.093.895.594.595.394.095.194.794.9设收率服从正态分布且方差相等。（1）给出合并方差s_p²；（2）检验两种催化剂平均收率是否显著差异（α=0.05）；（3）求μ_A−μ_B的95%置信区间；（4）若方差不相等，重新计算(2)并比较结果；（5）给出效应量Cohen’sd并解释其实际意义。【答案与解析】（1）x̄_A=92.99，s_A²=0.457x̄_B=94.70，s_B²=0.289s_p²=[(n_A−1)s_A²+(n_B−1)s_B²]/(n_A+n_B−2)=(9×0.457+9×0.289)/18=0.373（2）H₀:μ_A=μ_B，H₁:μ_A≠μ_Bt=(x̄_A−x̄_B)/√[s_p²(1/n_A+1/n_B)]=−1.71/√(0.373×0.2)=−6.27|t|=6.27>t₀.₀₂₅,18=2.101⇒拒绝H₀，差异显著。（3）置信区间=(x̄_A−x̄_B)±t₀.₀₂₅,18√[s_p²(1/n_A+1/n_B)]=−1.71±2.101×0.273=−1.71±0.574⇒(−2.28,−1.14)%说明B平均收率高于A约1.14—2.28个百分点。（4）Welcht检验：t=−1.71/√(0.457/10+0.289/10)=−6.20df=(0.0457+0.0289)²/(0.0457²/9+0.0289²/9)=17.2临界值≈2.103，结论不变。（5）Cohen’sd=(x̄_A−x̄_B)/√s_p²=−1.71/0.611=−2.80|d|>0.8为大效应，实际意义：催化剂B提升收率幅度非常大，工程上值得推广。8.某电商平台记录用户日点击次数X，历史数据表明X~NegBin(r,p)，其中r已知，p未知。现随机抽取n天，得样本X₁,…,X_n。（1）写出p的似然函数；（2）求p的MLE；（3）验证E(p̂)=p是否成立；（4）给出p的渐近分布；（5）若r=5，观测到∑X_i=380，n=100，求p的90%置信区间。【答案与解析】（1）L(p)=∏C_{x_i+r−1}^{x_i}p^r(1−p)^{x_i}∝p^{nr}(1−p)^{∑x_i}（2）lnL=nrlnp+(∑x_i)ln(1−p)dlnL/dp=nr/p−∑x_i/(1−p)=0⇒p̂=nr/(nr+∑x_i)（3）E(p̂)≠p，因分母随机，有偏但渐近无偏。（4）由MLE渐近正态：√n(p̂−p)→N(0,I(p)^{−1})I(p)=nr/[p²(1−p)]⇒p̂≈N(p,p²(1−p)/(nr))（5）p̂=500/(500+380)=0.568方差估计=p̂²(1−p̂)/(nr)=0.000466se=0.021690%区间=0.568±1.645×0.0216⇒(0.532,0.604)9.设总体密度f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。（1）求θ的矩估计；（2）求θ的MLE；（3）计算Fisher信息量I(θ)；（4）比较矩估计与MLE的渐近效率；（5）若样本量为n=50，∑lnX_i=−35.2，求θ的95%置信区间。【答案与解析】（1）E(X)=∫₀¹xθx^{θ−1}dx=θ/(θ+1)令X̄=θ/(θ+1)⇒θ̃=X̄/(1−X̄)（2）L(θ)=θ^n∏x_i^{θ−1}lnL=nlnθ+(θ−1)∑lnx_idlnL/dθ=n/θ+∑lnx_i=0⇒θ̂=−n/∑lnx_i（3）lnf=lnθ+(θ−1)lnxdlnf/dθ=1/θ+lnxd²lnf/dθ²=−1/θ²I(θ)=−E[d²lnf/dθ²]=1/θ²（4）MLE渐近方差=1/(nI(θ))=θ²/n矩估计方差需Delta方法：Var(θ̃)≈[1/(1−μ)²]²Var(X̄)=1/(1−μ)⁴·μ(1−μ)²/(nθ²)经计算效率<1，MLE更有效。（5）θ̂=−50/(−35.2)=1.420渐近se=θ̂/√n=1.420/7.071=0.20195%区间=1.420±1.96×0.201⇒(1.026,1.814)10.某城市连续60个