四川省泸州市高2023级第二次教学质量诊断性考试数学（泸州二诊）（含答案）

高2023级第二次教学质量诊断性考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,3,4},则(A)∩B=

A.{3}B.{2,4}C.{2,3,4,6}D.{13}

2.在复平面内，复数对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知log₂(2°+2-°)=3,则4”+4-=

A.62B.64C.79D.81

4.在等比数列{an}中，a₂=3,ag=24,则a12=

A,48B.72C.96D.192

5.己知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²),若P(X<5)+P(X≤-1)=1,则μ=

A.B.1C.2D.4

二诊·数学第1页共4页

6.已知展开式的二项式系数和为64,则其展开式的常数项为

A.-60B.-15C.15D.60

7.已知函,则下列结论正确的是

A.f(x)的最小正周期为1B.是偶函数

C.f(x)的图象关于直线对称D.f(x)在区间上单调递增

8.三棱锥P-ABC的底面ABC为正三角形，侧棱PA⊥底面ABC,若PA+AB=2,则该三棱锥外

接球表面积的最小值为

B.C.D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知两组样本数据x,x2₂,x3,x4和x₁,x₂,x₃,x4,y,其中y是x₁,x₂,x₃,x4的中位

数，则这两组样本数据的

A.极差不相等B.中位数相等

C.平均数相等D.标准差可能相等

10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=b(2cosA+1),则

A.A=2BB.a>2b

C.a²=b²+bcD.

11.过双曲线C:左焦点F的直线1与圆O:x²+y²=a²相切于点A,与C

的一个交点为P,则

A.I与C一定有两个交点B.点A在C的一条渐近线上

C.若|FAAAP|,则C的离心率为√5D.若FP=3AF,则S△OP=2ab

二诊·数学第2页共4页

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知平面向量a=(x,1),b=(1,1),若(2a+b)⊥b,则实数x=

13.已知椭圆C:的左、右焦点分别为F,F₂,上顶点为A,直线AF,与C

的另一个交点为B,若|ABHBF₂I,则的值为

14.已知函数,若函数g(x)=f(x)-f(-x)恰有4个零点，则k的取值范

围为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知{a,}是公差不为0的等差数列，a₃=5,a₂是a1和a5的等比中项.

(1)求{an}的通项公式；

,求数列{bₙ}的前n项和Sn.

16.(15分)

乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长、该工坊

为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表：

年份11年20212022202320242025

年份代码x(x=1-2020)12345

销量y/万把78101114

(1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测

该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把；

(2)已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023

年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量X的分布列.

附：j=bx+a为回归直线方程，

二诊·数学第3页共4页

17.(15分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，平面PAD1平面ABCD,已知AD=AP=2,

E是棱PD上的点.

(1)若E是棱PD的中点，求证：AE⊥平面PCD;

(2)若二面角P-AB-D的大小为120°,求直线CP与平面ABE

所成的角的最大值.

18.(17分)

已知函数f(x)=ln(x+1)-ax.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设g(x)=f(x)-asinx+ax,且a>1.证明：

(i)g(x)在区间(0,π)存在唯一的极值点xo;

(ii)对于(i)中的x₀,g(2x₀)>0.

19.(17分)

设抛物线C:y²=4x的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点(A点在x轴上方),

点M(2,0),直线AM与C的另一个交点为D,直线DF与C的另一个交点为E.

(1)若1的倾斜角为,求|AB|;

(2)探究直线BE是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由；

(3)若线段AB,DE的中点分别为P,Q,求S△MIPQ的取值范围.

二诊·数学第4页共4页

高2023级第二次教学质量诊断性考试

数学参考答案及评分意见

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查

内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度.可

视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的

解答有较严重的错误，就不再给分，

3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：

题号1234567891011

答案BBACCDDCBDACDBCD

二、填空题：

12.-2;13.3;14.(1,5).

三、解答题：

15.(1)设等差数列{an}的公差为d,则a₃=a₁+2d=5,①…………2分

因为a₂是a₁和a₅的等比中项，

所以a₂²=a₁as,即(a₁+d)²=a₁(a₁+4d),②…………4分

将①代入②得，(5-d)²=(5-2d)(5+2d),………………5分

解得d=2(d=0舍去),…………………6分

所以a₁=1,所以an=a₁+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1;………7分

(2)因,………………9分

所以Sn=b₁+b₂+…+b,

.………13分

16.解：(1)由题意可知x=3,y=10,……2分

……4分

所以…………5分

â=y-bx=10-1.7×3=4.9,……………6分

所以y关于x的线性回归方程为j=1.7x+4.9,…分

令j=1.7x+4.9>20,得：,所以x的最小整数为9,2020+9=2029,

所以该工坊油纸伞的销量最早在2029年能超过20万把：……8分

(2)2023年每把油纸伞线上售出的概率为……………·9分

……………10分

所以………11分

,……………12分

,…………13分

………………14分

所以X的分布列为：

X0123

P

…………15分

17.解：(1)因为四边形ABCD为正方形，

所以CD⊥AD,………………1分

且平面PAD1平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CDc平面ABCD,

所以CD1平面PAD,………3分

所以CD⊥AE,……………4分

又因为AD=AP,E是PD的中点，

所以AE⊥PD,………5分

且CD∩PD=D,CDC平面PCD,PDc平面PCD,

所以AE1平面PCD;………6分

(2)因为CD1平面PAD、AB/ICD,

缅D△D.所以AB⊥AD,AB⊥PA,7分

所以∠PAD是二面角P-AB-D的平面角，即∠PAD=120°,8分

以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则A(0.0,0),B(2,0.0),C(2,2,0),D(0.2,0),P(0.-1.√3),

所以AB=(2,0,0),DP=(0,-3.√3),CP=(-2,-3,√3),…………9分

设DE=λDP=(0,-32,√32),2∈[0.1],

则AE=AD+DE=(0.2-32,√32),…………10分

设面ABE的法向量为m=(x,y,z),

设y=√3λ,则m=(0,√32,32-2),…12分

记直线CP与平面ABE所成的角为θ.

则

,………………13分

所以当时，sinθ有最大值,……………14分

所以直线CP与平面ABE所成的角的最大值为60°.…………15分

18.解：(1)因为,………………1分

当a≤0时，f'(x)>0,所以f(x)在(-1,+co)上单调递增；…………2分

当a>0时，由f'(x)>0得：,…………3分

所以f(x)在上单调递增，在上单调递减：……………4分

(2)(i)g(x)=f(x)-asinx+ax=In(x+1)-asinx,

…5分

在(0,上单调递增，……6分

二诊·数学答案第3页共6页

因为h'(0)=-1<0,,……………7分

所以存在使h'(k)=0,当x∈(0,k)时，h(x)单调递减，当时，

h(x)单调递增，……………8分

因为g'(0)=1-a<0,g'(k)<g’(0)<0,……………9分

所以g(x)在区间0存在唯一的极值点xo,

当π)时，g'(x)>0、所以8(x)在|、π)不存在极值点，

综上知g(x)在区间(0,π)上存在唯一的极值点xo;……………10分

(ii)由(i)知,所以2x₀∈(2k,π),

因为g(x)=In(x+1)-asinx,所以g(2x₀)=1n(2x₀+1)-asin2x₀,

由(i),由g'(x₀)=0得,………12分

,…………13分

当时，设y=x-sinx,则y=1-cosx>0,所以y=x-sinx单调递增，

所以x-sinx>0,x>sinx,

,…………………14分

,其中

恒成立，……………15分

所以m(x)在上单调递增，所以m(x)>m(0)=0,

即g(2xo)>0成立.………17分

19.解：(1)直线1的方程为y=√3(x-1),………………1分

联立y²=4x,得3x²-10x+3=0,………………2分

二诊·数学答案第4页共6页

设A(x₁,y₁)(₁>0),B(x₂,y₂)(V₂<0),则,………3分

……4分

(2)直线BE过定点证明如下：

设直线AB:x=my+1,直线DE:x=m₂y+1,直线AD:x=ty+2,

分别联立y²=4x,得y²-4m₁y-4=0,y²-4m₂y-4=0,

y²-41y-8=0,………5分

设D(x₃,y₃)(v₃<0),E(x₄,y₄)(s>0),

所以y₁+y₂=4m,Y1y₂=-4,y₁+y₃=4t,yy₃=-8,

y₃+y₄=4m₂,y₃y4=-4,………6分

所以y₂y₄=-2,……………7分

设直线BE:x=my+a,联立y²=4x,得y²-4my-4a=0,8分

所以y₂y₄=-4a=-2,得到…………………