2024-2025学年广东广州番禺区九年级(上)期末数学试题及答案

初中初中广东省广州市番禺区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2−1x=0 B．x22．将抛物线y=3x2向右平移两个单位，所得抛物线是（A．y=3x−22 C．y=3x2−23．观察下列四个图形，中心对称图形是（）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为−4,0，点C的坐标为0,2．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′BA．−4,−2 B．−4,25．下列各事件是，是必然事件的是（

）A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．某同学投篮球，一定投不中C．经过红绿灯路口时，一定是红灯 D．画一个三角形，其内角和为180°6．如图，在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为

A．(60+x)(40+2x)=2816 B．(60+x)(40+x)=2816C．(60+2x)(40+x)=2816 D．(60+2x)(40+2x)=28167．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3

A．23 B．12 C．138．用配方法解方程x2A．x+22=5 B．x−22=5 C．9．关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（

）A．开口方向向上 B．对称轴是直线x=lC．顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小10．如图，△ABC中，∠B=30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC，点A,B的对应点分别为D,E，延长BA交DE于点FA．∠ACB=∠ACD B．AC∥DEC．AB=EF D．BF⊥CE二、填空题11．一元二次方程x2−3=0的解为12．若关于x的一元二次方程(k−2)x2+2x−1=013．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为．14．在平面直角坐标系中，点(3,−2)关于原点的对称点的坐标是：．15．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若AB=2，则此莱洛三角形的周长为．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，且抛物线与x①a−b+c>0；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是−3,0；③若点−1,y1和2,y④对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b三、解答题17．解方程：x218．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD,CD．若∠D=28∘，求19．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系xOy内，△ABC三个顶点的坐标分别为A2,4(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B(2)画出△ABC绕点B顺时针旋转90∘后的△(3)写出C2的坐标，并求C2旋转过程中所经过的路径长（结果保留20．如图，⊙O的直径AB的长为10 cm，弦AC长为6 cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D21．某商场在实际销售中发现，一品牌运动衫平均每天可售出20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可多售出2件．(1)要想尽量扩大销售量且平均每天销售盈利1200元，问每件运动衫应降价多少元？(2)当每件运动衫降价多少元时，每天可获得最大利润？最大利润为多少元？22．某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．成绩频数百分比不及格3a及格b20良好45c优秀3232图1

学生体质健康统计表(1)图1中a=________，b=________，c=________；(2)请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；(3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．23．已知关于x的方程ax2−(1)若方程有两个实数根，求a的取值范围；(2)若x=2是方程的一个根，求其另一个根；(3)在（2）的条件下，抛物线y=ax2−2a+1x+a−2与x①结合图形，写出y>0时自变量x的取值范围；②若抛物线顶点为C，求△ABC的面积．24．在Rt△ABC中，∠C=90∘,⊙O是（I）如图①，若AB=5,BC=4，分别求⊙O半径长和切线AD的长；（II）如图②，延长AC到点M，使AM=AB．(1)尺规作图：过点M作MN⊥AB于点N（不写作法，保留作图痕迹）；(2)判断MN是否是⊙O的切线？并对结论给出证明．25．如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A−1,0、B

(1)求该二次函数的解析式；(2)点P是抛物线在第四象限图象上的一动点，PN⊥BC于N，小明同学在探究时认为：当点P位于抛物线顶点时，△BCP的面积最大，他的结论是否正确？若正确请说明理由；若不正确，试探究△BCP的面积最大时点P的位置，并求此时BNCN初中初中《广东省广州市番禺区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题》参考答案题号12345678910答案DACCDDADDD1．D【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A.x2−B.x2+2xy+1=0C.x2D.x2故选：D．2．A【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答即可．本题考查了抛物线的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．【详解】解：y=3x2向右平移两个单位，得故选：A．3．C【分析】根据中心对称图形的定义即可判断.【详解】在平面内，若一个图形可以绕某个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义可知，C选项中的图形是中心对称图形.故选：C.【点睛】本题考查的知识点是中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形.4．C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到OA=4，OC=2，再由矩形的性质可得AB=OC=2，∠ABC=90°，由旋转的性质可得【详解】解：∵点A的坐标为−4,0，点C的坐标为0,2，∴OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC=2，∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA∴OA′=OA=4∴A′∴点B′的坐标为2,4故选：C．5．D【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可．【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意；B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；D、画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意；故选：D．6．D【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即可．【详解】解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）=2816．故选：D．【点睛】此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列方程，矩形的面积=矩形的长×矩形的宽．7．A【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关S1和S2，S1画树状图如下：

共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，∴灯泡能发光的概率为46故选：A．8．D【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．据此求解即可．【详解】解：原方程移项得：x2∴∴故选：D.9．D【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大即可．【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2，a=3>0，抛物线开口向上，A正确，x=1是对称轴，B正确，抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确，由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题．10．D【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得∠BCE=∠ACD=60°，结合∠B=30∘，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析【详解】解：记BF与CE相交于一点H，如图所示：∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC∴∠BCE=∠ACD=60°∵∠B=30°∴在△BHC中，∠BHC=180°−∠BCE−∠B=90°∴BF⊥CE故D选项是正确的，符合题意；设∠ACH=x°∴∠ACB=60°−x°∵∠B=30°∴∠EDC=∠BAC=180°−30°−∴∠EDC+∠ACD=90°+x°+60°=150°+x°∵x°不一定等于30°∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确，不符合题意；∵∠ACB=60°−x°，∠ACD=60°∴∠ACB=∠ACD不一定成立，故A选项不正确，不符合题意；∵将△ABC绕点C顺时针旋转60∘得到△DEC∴AB=ED=EF+FD∴BA>EF故C选项不正确，不符合题意；故选：D11．x1=【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x∴x2∴x1=3故答案为：x1=3【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．k>1且k≠2【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵原方程是关于x的一元二次方程，∴k−2≠0，解得k≠2.又∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2−4ac=4+4(k−2)>0，解得即k的取值范围是k>1且k≠2.故答案为：k>1且k≠2【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，掌握根的判别式及一元二次方程是解题的关键.13．14【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，∴两次都取到白色小球的概率为14故答案为：1414．−3,2【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可．【详解】解：点(3,−2)关于原点的对称点的坐标是：−3,2，故答案为：−3,2．15．2π【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，利用弧长计算公式计算即可．【详解】解：l=60π×2∴C=3l=2π，故答案为：2π．16．①③④【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可．【详解】解：对称轴是直线x=1，∴4+x故该抛物线与x轴的另一个交点坐标是−2,0，故②错误；将x=−1代入，可得y=a−b+c，由图像可知，此时图像在x轴上方，故a−b+c>0，故①正确；∵x=1时，函数有最大值，2,y2距离对称轴更近，故∵x=1时，函数有最大值，故an2+bn+c≤a+b+c故答案为：①③④．17．x1=−1，【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可．【详解】xxx−1x−1=±2解得x1=−1，18．34°【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，掌握圆周角定理、垂径定理成为解题的关键．利用圆周角定理求出∠COB，根据等腰三角形的三线合一性质求出∠AOB，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵∠D=28°，∴∠BOC=2∠D=56°，∵OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOB=2∠BOC=112°，∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=119．(1)图见解析，点A1的坐标(2)图见解析(3)13【分析】本题考查作图−旋转变换，轨迹，弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式；（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，（3）利用弧长公式求解．【详解】（1）解：如图，△A1B1C（2）解：如图，△A（3）解：C2的坐标(3,−2)∵BC=∴C2旋转过程中所经过的路径长20．BC=8，AD=5【分析】本题考查主要圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握直径所对的圆周角是直角的性质是解题关键．根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的定义及圆周角定理可得∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，可得△ABD是等腰直角三角形，即可求出AD的长．【详解】解：连接AD,BD，∵AB为直径，∠ACB是AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵AB=10cm，AC=6∴BC=A∵CD是∠ACB的角平分线，∴∠ACD=∠DCB=12∠ACB=45°∵∠ACD和∠ABD是AD⌢∴∠ACD=∠ABD=45°，同理可得：∠DAB=∠DCB=45°，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AD∴AD=5221．(1)每件运动衫应降价20元(2)当降价15元时，可获得最大利润，最大利润是1250元【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，根据题中的数量关系正确列出一元二次方程或函数解析式是解题的关键．（1）设降价x元，根据题意列出方程，解方程，即可求解；（2）根据“每天的利润=每件的利润×每天的销售量”，即可得出w与x的函数关系式，然后求该二次函数的最值，即可得出结论．【详解】（1）解：设降价x元，根据题意可得，40−x解得：x1∵想尽量扩大销售量∴x=20答：每件运动衫应降价20元；（2）解：设每天的利润为w元，根据题意可得：降价后每天的利润w=40−x=−2x∵a=−2<0，∴抛物线开口向下，∴当x=15时，w取得最大值，最大值为1250，答：当降价15元时，可获得最大利润，最大利润是1250元．22．(1)3%；20；(2)补全图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；(3)选取的2名学生均为“良好”的概率为12【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．（1）用“优秀”等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；再分别求得a、b、c的值；（2）根据（1）的结果，可补全条形统计图，利用样本估计总体可求解；（3）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人均为“良好”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）解：样本容量为30÷30%则a=3b=100×20%c=45故答案为：3%；20；45（2）解：补全条形统计图，如图：600×45%估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；（3）解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有6种，∴选取的2名学生均为“良好”的概率为61223．(1)a≥−112(2)另一个根是x=(3)①x<14或x>2；②△ABC的面积为【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，三角形面积，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系；（1）由方程ax2−(2a+1)x+a−2=0（2）由x=2是方程ax2−(2a+1)x+a−2=0的一个根，知4a−2(2a+1)+a−2=0，解得a=4（3）①画出函数大致图象，通过观察y>0时，自变量x的取值范围是x<14或②求出AB=2−14=【详解】（1）解：∵方程ax∴Δ≥0且a≠0，即解得a≥−112且（2）解：∵x=2是方程ax∴4a−2(2a+1)+a−2=0，解得a=4，∴关于x的方程为4x解得：x=2或x=1∴另一个根是x=1（3）解：①由（2）知抛物线解析式为y=4x2−9x+2，其图象经过(2,0)，(由图象可知，y>0时自变量x的取值范围是：x<14或②∵A(14,0)∴AB=2−1∵y=4x∴C(9∴S∴△ABC的面积为34312824．(1)AD=2(2)（1）图见解析；（2）直线MN是⊙O的切线，理由见解析【分析】本题考查作图−基本作图，切线的判定和性质，三角形的内切圆与内心；（Ⅰ）如图1，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF．利用勾股定理求出AC，再利用面积法求出OD即可；（Ⅱ）（1）根据要求作出图形即可；（2）证明△ABC≌△AMN(AAS)，推出△ABC与△AMN的内切圆的大小一样，由⊙O与