人教版七年级数学下册《7.1.2两直线垂直》同步练习题（含答案解析）

第页人教版七年级数学下册《7.1.2两直线垂直》同步练习题（含答案解析）类型一、垂直的有关定义及理解1．（2024七年级上·全国·专题练习）同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条2．（2024七年级上·全国·专题练习）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（

）A．过P可画直线垂直于l B．过Q可画直线l的垂线C．连结PQ使PQ⊥l D．过Q只能画1条直线与l垂直3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM与ON在同一条直线上的理由是（

）A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．相等的角是对顶角B．两个角的和为180°，那个这两个角互为邻补角C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直类型二、利用垂直求角度5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，则∠COE的度数是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线a、b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1=40°，则∠2的度数为（

）A．50° B．120° C．130° D．140°7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM=35°，则A．35° B．45° C．55° D．65°8．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD=40°，∠COF=98°，求∠AOE的度数．类型三、垂线段最短9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（

）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直10．（24-25七年级上·河南·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（

）A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为PA=2.13米，PH=1.96米，PB=2.23米，则黎明的跳远成绩应该为米．类型四、点到直线的距离12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足为点B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（A．线段PC的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段AC的长是点C到直线PA的距离13．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm14．（2024七年级上·全国·专题练习）A为直线l外一点，B为直线l上一点，点A到直线l的距离为3cm，则AB3cm（选填“≥”“＝”或“≤”），根据是15．（21-22七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，(1)点B到AC的距离是________cm；点A到BC的距离是_________cm．(2)画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．类型五、垂线的有关问题16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．(1)利用网格作图：过点C画直线AB的垂线CE，垂足为点E；(2)线段CE的长度是点______到直线_______的距离；(3)比较大小：CE______CB（填＞、＜或＝），理由：______．17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题(1)过点C画AB的垂线，并标出垂线所经过的格点E；(2)连接AC，BC，则△ABC的面积为______．18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图：(1)连接AB，画直线OA，画射线OB；(2)在直线OA上找到一点C，使线段BC是点B与直线OA上各点的所有线段中长度最短的线段．类型六、有关垂直的有关计算问题19．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．(1)如果∠COB=130°，那么根据________，可得∠AOD=________°；(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度数．20．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC．

(1)当∠COE=27°时，求∠AOD的度数；(2)若OF⊥OE，∠DOF=2∠BOC，求∠AOC的度数．类型七、利用角度关系证明两直线垂直21．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．(1)写出∠DOE的补角；(2)若∠DOE=30°，求∠BOC和∠EOF的度数；(3)试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？类型八、分类讨论思想在垂直求角中的应用22．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，则∠BOC的度数为23．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线AB与CD交于O，OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°，则∠BOE的度数．24．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A=．一、单选题1．（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD=125°．则∠EOC的度数为（

）

A．55° B．45° C．35° D．25°2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点CF叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，三角板ABC不动，三角板DEF可绕点C旋转，则下列结论：①∠BCE+∠ACD随∠ACD的变化而变化；②当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的结论是（

A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，射线OD平分∠EOB，射线OM平分∠BOD，则∠AOM等于（

）A．135° B．157.5° C．155° D．145.5°4．（18-19七年级下·广西钦州·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O．若∠EOF=α，下列说法：①∠AOC=α−90°；②∠EOB=180°−α；③∠AOF=360°−2α．其中正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂A．垂线段最短B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两点确定一条直线D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行6．（18-19七年级上·天津河北·期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分∠DOG．给出下列结论，其中正确的结论是（

）①当∠AOF=60°时，∠DOG=60°；

②OD平分∠EOG；③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG=∠AOB−2∠EOF．A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④二、填空题7．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=38°时，∠BOD的度数是．8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，∠1:∠2=2:1，则∠COF的度数为．9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是∠2的2倍少30度，则∠1的度数为°．10．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC=30°11．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF=66°，则∠BOC=°．12．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线AB，CD交于点M，MF⊥AB，MG⊥CD，MB平分∠DME，下列结论中：①当∠AMG=60°时，∠DME=60°；②MD平分∠EMF；③与∠BMD相等的角有3个；④∠CME=∠AMB−2∠FMG；⑤∠FMG+∠DME=90°．正确的结论序号是．三、解答题13．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．(1)如果∠COB=130°，那么根据________，可得∠AOD=________°；(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度数．14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，求证：ON⊥CD；(2)若∠1=14∠BOC15．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．(1)若∠AOF=64°，求∠COE的度数；(2)若∠AOF:∠COE=3:2，求∠EOF的度数．16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠BOD=26°．(1)求∠AOC的度数；(2)求∠COF的度数．17．（22-23七年级下·广西钦州·期中）如图，直线AB,CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD(1)若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；(2)若∠BOD:∠BOE=1:2，求∠AOF的度数．18．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知O为直线MN上一点，OA⊥MN，∠COE=90°．

(1)如图1，下面是判断∠AOE与∠CON的数量关系的部分说理过程，请完成填空：因为∠AOE+∠EON=__________°，∠CON+∠EON=__________°；（第一步）所以∠AOE=__________；（第二步）在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________．(2)若将∠COE绕点O旋转至图②的位置．①直接写出图2中所有相等的角（直角除外）__________．②作∠COM的平分线OF，若∠AOF=α，则∠CON=__________（用含α的代数式表示）．参考答案与解析类型一、垂直的有关定义及理解1．（2024七年级上·全国·专题练习）同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】B【分析】本题考查了垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直，一定注意是在同一平面内．【详解】在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直．故选：B2．（2024七年级上·全国·专题练习）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（

）A．过P可画直线垂直于l B．过Q可画直线l的垂线C．连结PQ使PQ⊥l D．过Q只能画1条直线与l垂直【答案】C【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．【详解】解：A、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过P可画直线垂直于l，正确，不合题意；B、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过Q可画直线l的垂线，正确，不合题意；C、连接PQ不能保证PQ⊥l，故错误，符合题意；D、∵Q为l外一点，∴可以过Q可画直线与l垂直，正确，不合题意；故选∶C．3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM与ON在同一条直线上的理由是（

）A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短【答案】B【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．【详解】解：因为ON⊥a，OM⊥a，所以直线ON与OM重合，其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：B．4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．相等的角是对顶角B．两个角的和为180°，那个这两个角互为邻补角C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】有公共端点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；有公共端点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此可判断B；过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，据此可判断C；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可判断D．【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意；B、两个角的和为180°，那个这两个角不一定互为邻补角，原说法错误，不符合题意；C、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，垂线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键．类型二、利用垂直求角度5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，则∠COE的度数是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°【答案】D【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：∠BOE=90°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∵∠DOB=43°，∴∠COE=180°−∠BOE−∠DOB=47°，故选：D．6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线a、b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1=40°，则∠2的度数为（

）A．50° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出∠3的度数是解题的关键．根据垂直的定义可求∠3的度数，然后根据邻补角的定义求解即可．【详解】解：如图，∵c⊥a，∠1=40°，∴∠3=90°−∠1=50°，∴∠2=180°−∠3=130°．故选：C．7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM=35°，则A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．根据角平分线的定义，得出∠MOC=35°，再根据题意，得出∠MON=90°，然后再根据角的关系，计算即可得出∠CON的度数．【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON−∠MOC=90°−35°=55°．故选：C．8．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD=40°，∠COF=98°，求∠AOE的度数．【答案】32°，过程见详解【分析】本题考查了垂线的定义和对顶角的性质，熟练掌握是解答本题的关键．由对顶角相等得∠DOE=98°，进而得∠BOE=58°，由垂直定义得∠AOE=∠AOB−∠BOE，代入计算．【详解】解：∵∠COF=98°，∠COF=∠DOE，∴∠DOE=98°，又∵∠DOE=∠BOD+∠BOE，∠BOD=40°，∴∠BOE=58°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，又∵∠AOB=∠BOE+∠AOE，∴∠AOE=∠AOB−∠BOE=90°−58°=32°．类型三、垂线段最短9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（

）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：他选择的路线为公路AN，其理由为垂线段最短．故选C．10．（24-25七年级上·河南·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（

）A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条【答案】C【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短等知识点，牢记两点之间线段最短是解题的关键．根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可．【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故选项A不符合题意；B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故选项B不符合题意；C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故选项C符合题意；D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故选项D不符合题意；故选：C．11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为PA=2.13米，PH=1.96米，PB=2.23米，则黎明的跳远成绩应该为米．【答案】1.96【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可．【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中线段PH的长度，即为1.96米．故答案为：1.96类型四、点到直线的距离12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足为点B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（A．线段PC的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段AC的长是点C到直线PA的距离【答案】B【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．【详解】A．线段PC的长是点C到PA的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；B．PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项符合题意；C．线段PA的长是点A到直线PC的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；D．线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法错误，故此选项不符合题意．故选：B．13．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm【答案】A【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．【详解】如图所示：∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l，∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm故选：A．14．（2024七年级上·全国·专题练习）A为直线l外一点，B为直线l上一点，点A到直线l的距离为3cm，则AB3cm（选填“≥”“＝”或“≤”），根据是【答案】≥垂线段最短【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答即可．【详解】解：∵A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5，∴当AB⊥l时，AB=3，∵垂线段最短，∴当AB不与直线l垂直时，AB>3，∴AB≥3．故答案为：≥；垂线段最短．15．（21-22七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，(1)点B到AC的距离是________cm；点A到BC的距离是_________cm．(2)画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．【答案】(1)4，3(2)见解析，125【分析】本题考查点到直线的距离，三角形面积．（1）根据点到直线的距离就是过点作直线的垂直，这点与垂足间的线段长度，即可求解．（2）作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．再根据面积公式S△ABC【详解】（1）解：∵∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，∴点B到AC的距离=BC=4cm，点A到BC的距离=AC=3cm．故答案为：4，3；（2）解：如图：线段CD的长就是表示点C到AB的距离的线段，根据题意，AB=A∵S△ABC∴CD=BC⋅AC类型五、垂线的有关问题16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．(1)利用网格作图：过点C画直线AB的垂线CE，垂足为点E；(2)线段CE的长度是点______到直线_______的距离；(3)比较大小：CE______CB（填＞、＜或＝），理由：______．【答案】(1)见解析(2)C

AB(3)<

垂线段最短【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离：（1）取格点K，作直线CK，交直线AB于点E；（2）根据点到直线的距离的定义即可解答；（3）根据垂线段最短即可解答．【详解】（1）（2）线段CE的长度是点C到直线AB的距离．故答案为：C

AB（3）CE<CB，理由：垂线段最短．故答案为：<

垂线段最短17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题(1)过点C画AB的垂线，并标出垂线所经过的格点E；(2)连接AC，BC，则△ABC的面积为______．【答案】(1)见解析(2)13【分析】本题考查了画垂线，格点中求三角形的面积；（1）根据垂线的定义画出图形；（2）根据正方形的面积减去周围三个三角形的面积，即可得到△ABC的面积．【详解】（1）如图所示，CE即为所求；（2）如图所示，S△ABC=4×4−故答案为：13218．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图：(1)连接AB，画直线OA，画射线OB；(2)在直线OA上找到一点C，使线段BC是点B与直线OA上各点的所有线段中长度最短的线段．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短：（1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可；（2）过点B作BC⊥OA于C，根据垂线段最短可知点C即为所求．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，过点B作BC⊥OA于C，点C即为所求．类型六、有关垂直的有关计算问题19．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．(1)如果∠COB=130°，那么根据________，可得∠AOD=________°；(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度数．【答案】(1)对顶角相等，130；(2)150°．【分析】（1）利用对顶角相等的性质解答即可；（2）根据对顶角相等，可知∠AOC=∠BOD，结合∠EOB=2∠AOC，即可求解；本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键．【详解】（1）解：∵∠COB=130°，∴∠COB=∠AOD=130°（对顶角相等），故答案为：对顶角相等，130；（2）解：∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠AOC=∠BOD，∠EOB=2∠AOC，∴∠EOB=2∠BOD，又∵∠EOB+∠BOD=90°，∴3∠BOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠AOD=180°−∠BOD=180°−30°=150°．20．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC．

(1)当∠COE=27°时，求∠AOD的度数；(2)若OF⊥OE，∠DOF=2∠BOC，求∠AOC的度数．【答案】(1)∠AOD=54°(2)∠AOC=144°【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解；（2）由垂线得到∠BOF+∠BOE=90°，结合角平分线得到∠BOF+12∠BOC=90°，则180°−∠DOF−∠BOC+12∠BOC=90°【详解】（1）解：∵直线AB与CD相交于点O，∴∠AOD=∠BOC，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE=2×27°=54°，∴∠AOD=54°；（2）解：∵若OF⊥OE，∴∠EOF=90°∴∠BOF+∠BOE=90°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1∴∠BOF+1∴180°−∠DOF−∠BOC∴90°−∠DOF−∴∠DOF=90°−1∵∠DOF=2∠BOC，∴90°−1解得∠BOC=36°.∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−36°=144°．类型七、利用角度关系证明两直线垂直21．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．(1)写出∠DOE的补角；(2)若∠DOE=30°，求∠BOC和∠EOF的度数；(3)试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？【答案】(1)∠COE(2)∠BOC=150°，∠EOF=60°(3)OD⊥OF，理由见解析【分析】本题主要考查了角平分线，熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，补角定义，垂线的定义，是解决问题的关键．（1）根据角平分线定义得∠BOD=∠DOE，根据补角定义得∠DOE+∠COE=180°，∠BOD+∠BOC=180°，根据对顶角性质得∠AOD=∠BOE，即得∠DOE的补角；（2）先根据角平分线的定义得出∠BOD和∠BOE的度数，再由邻补角定义可得∠BOC=180°−∠BOD；先根据邻补角定义可得∠AOE=180°−∠BOE（3）运用角平分线的定义，得∠EOF=12∠AOE，∠DOE=【详解】（1）∵OD平分∠BOE，∴∠BOD=∠DOE=1∵∠DOE+∠COE=180°，∠BOD+∠BOC=180°，∴∠DOE+∠BOC=180°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DOE+∠AOD=180°，∴∠DOE的补角有∠COE，（2）∵OD平分∠BOE，∠DOE=30°，∴∠BOD=∠DOE=∴∠BOC=180°−∠BOD=150°，∠BOE=2∠DOE=60°，∴∠AOE=180°−∠BOE=120°，又∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=1（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，∴∠EOF=1∴∠DOF=∠EOF+∠DOE=1∴OD⊥OF．即射线OD、OF的位置关系是互相垂直．类型八、分类讨论思想在垂直求角中的应用22．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，则∠BOC的度数为【答案】18°或162°【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB:∠AOC=4:5，可求∠AOB=72°，根据∠AOB与【详解】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB:∴∠AOB=72°．∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．①当在∠AOC内时，∠BOC=90°−72°=18°；②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+72°=162°．故答案为：18°或162°．23．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线AB与CD交于O，OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°，则∠BOE的度数．【答案】65°或115°【分析】此题主要考查了角的运算，垂线的定义，要熟练掌握如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角.根据题意，分两种情况：（1）∠BOE是锐角时；（2）∠BOE是钝角时；然后根据垂线的性质，分类讨论，求出∠BOE的度数是多少即可．【详解】解：（1）如图1，∵直线OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠DOF=65°，∴∠EOF=90°−65°=25°，又∵直线OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∴∠BOE=90°−25°=65°．（2）如图2，∵直线OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠DOF=65°，∴∠EOF=90°−65°=25°，又∵直线OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∴∠BOE=90°+25°=115°．综上，可得∠BOE的度数是65°或115°．故答案为：65°或115°．24．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A=．【答案】125°或20°【分析】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少40°，所以可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．【详解】设∠B是x度，①如图1：

∴∠AOC=∠BOD，∵∠AOC+∠A=∠BOD+∠B=90°，∴∠B=∠A=x°，∵∠A比∠B的3倍少40°∴x=3x−40，解得：x=20，故∠A=20°；②如图2：

根据四边形的内角和可得：∠B+∠A+90°+90°=360°，∴∠B+∠A=180°∵∠A比∠B的3倍少40°∴x+3x−40=180，∴x=55，∴∠A=3×55°−40°=125°综上所述：∠A的度数为：20°或125°．故答案为：125°或20°．1．（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD=125°．则∠EOC的度数为（

）

A．55° B．45° C．35° D．25°【答案】C【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得∠AOC，根据余角的定义即可求得∠【详解】解：∵∠∴∠∵EO⊥AB，∴∠故选：C．2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点CF叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，三角板ABC不动，三角板DEF可绕点C旋转，则下列结论：①∠BCE+∠ACD随∠ACD的变化而变化；②当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的结论是（

A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误【答案】D【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE，即可得到∠BCE+∠ACD=180°；②画出图形，根据∠BCE=3∠ACD，∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时DE与AC的位置关系．【详解】解：①∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE，∴∠BCE+∠ACD=90°+∠ACE+∠ACD=90°+90°=180°，∴∠BCE+∠ACD=180°，是定值；故①错误．②设∠ACD=α，则∠BCE=3α．如图∵∠BCD=90°−∠ACD=∠ACE，∴∠BCD+∠ACE=∠BCE−∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=3α−α=2α，∴∠BCD=∠ACE=∠ACD=α，∴∠ACD=∠D=45°，∴DE⊥AC．如图由①可知，∠BCE+∠ACD=180°，∴3α+α=180°，解得：α=45°，即∠ACD=45°，此时DE不垂直于AC故②错误．故选：D．3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，射线OD平分∠EOB，射线OM平分∠BOD，则∠AOM等于（

）A．135° B．157.5° C．155° D．145.5°【答案】B【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的定义，由OE⊥AB，得∠EOB=90°，再根据角平分线的定义求出∠BOM=1【详解】∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，∵射线OD平分∠EOB，∴∠BOD=1∵射线OM平分∠BOD，∴∠BOM=1∵∠AOM+∠BOM=180°，∴∠AOM=180°−22.5°=157.5°，故选：B．4．（18-19七年级下·广西钦州·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O．若∠EOF=α，下列说法：①∠AOC=α−90°；②∠EOB=180°−α；③∠AOF=360°−2α．其中正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角相等，根据角平分线的性质，垂直的定义，对顶角相等，结合角的和差关系，逐一进行计算判断即可．【详解】解：∵OE⊥CD，∴∠COE=∠DOE=90°，∴∠DOF=∠EOF−∠DOE=α−90°，∵OD平分∠BOF，∴∠BOD=∠DOF=α−90°，∴∠AOC=∠BOD=α−90°；故①正确；∴∠EOB=∠EOD−∠BOD=90°−α−90°∠AOF=180°−∠AOC−∠DOF=180°−2×α−90°故选D．5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂A．垂线段最短B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两点确定一条直线D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点O有OB⊥AB，进而利用垂线段最短得到OA>OB即可解题．【详解】解：∵过点O有OB⊥AB，∴OA>OB，即得到F1的力臂OA大于F2的力臂∴其体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．6．（18-19七年级上·天津河北·期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分∠DOG．给出下列结论，其中正确的结论是（

）①当∠AOF=60°时，∠DOG=60°；

②OD平分∠EOG；③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG=∠AOB−2∠EOF．A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根据同角的余角相等可得∠AOF=∠DOE，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；根据角平分线的定义，无法证明OD为∠EOG的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得∠BOD=∠BOG，由对顶角相等得出∠BOD=∠AOC，利用同角的余角相等可得∠BOD=∠EOF，即可判断③；根据平角的定义以及∠EOF=∠BOG=∠AOC，即可判断④．【详解】解：①∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∵OD⊥OF∴∠DOF=90°，∴∠AOE=∠DOF=90°，∴∠AOF=∠DOE，∴当∠AOF=60°时，∠DOE=60°，∴∠BOD=90°−60°=30°，∵OB平分∠DOG，∴∠DOG=2∠BOD=60°，故①正确；②∵不能证明∠GOD=∠EOD，∴无法证明OD为∠EOG的角平分线，故②错误；③∵OB平分∠DOG，∴∠BOD=∠BOG．∵直线AB，CD交于点O，∴∠BOD=∠AOC．∵∠BOE=∠DOF=90°，∴∠BOD=∠EOF，∴与∠BOD相等的角有三个，故③正确；④∵∠COG=∠AOB−∠AOC−∠BOG，∠EOF=∠BOG=∠AOC=∠BOD，∴∠COG=∠AOB−2∠EOF，故④正确；所以正确的结论有①③④．故选：C．【点睛】本题考查了垂线，余角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的关系，难度适中．二、填空题7．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=38°时，∠BOD的度数是．【答案】52°或128°【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分OC,OD在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD，∠AOC=38°，计算∠BOD的度数即可．【详解】解：当OC,OD在AB同侧时，如图，∵OC⊥OD，∠AOC=38°，∴∠BOD=180°−∠COD−∠AOC=180°−90°−38°=52°；当OC,OD在AB异侧时，如图，∵OC⊥OD，∠AOC=38°，∴∠BOD=180故答案为：52°或128°．8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，∠1:∠2=2:1，则∠COF的度数为．【答案】75°/75度【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义等知识，先根据垂直定义得出∠1+∠2=∠BOE=90°，然后结合∠1:∠2=2:1，求出∠2的度数，根据平角定义求出∠BOC的度数，最后根据角平分线的定义求解即可．【详解】解：因为OE⊥AB，所以∠1+∠2=∠BOE=90°，因为∠1:∠2=2:1，所以∠2=1所以∠BOC=180°−∠2=180°−30°=150°．因为OF平分∠BOC，所以∠COF=19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是∠2的2倍少30度，则∠1的度数为°．【答案】110或30/30或110【分析】考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠1与∠2的关系．因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠1是∠2的2倍少30度，利用方程组即可解决问题．【详解】解：如图1根据题意得，∠1=2∠2−30°∠1=∠2解得∠1=∠2=30°；如图2，根据题意得，∠1=2∠2−30°解得∠1=110°∠2=70°∴∠1的度数为30°或110°，故答案为：110或30．10．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC=30°【答案】120°/120度【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=30°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=30°，根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°即可．【详解】解：∵AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=30°．∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD=30°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°．故答案为：120°．11．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF=66°，则∠BOC=°．【答案】132【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设∠AOE=α，∠BOF=β，根据∠AOE+∠BOF=66°，得β=66°−α，再根据角平分线的定义得∠DOB=2β，由平角的定义得∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，即α+2β=90°，将β=66°−α代入可得α=42°，进而可求出∠AOD=132°，然后再根据对顶角相等可得∠BOC的度数．【详解】解：设∠AOE=α，∠BOF=β，∵∠AOE+∠BOF=66°，∴α+β=66°，∴β=66°−α，∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=∠BOF=β，∴∠DOB=∠DOF+∠BOF=2β，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，∴α+90°+2β=180°，∴α+2β=90°，∴α+266°−α解得：α=42°，即∠AOE=42°，∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=42°+90°=132°，∴∠BOC=∠AOD=132°．故答案为：132．12．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线AB，CD交于点M，MF⊥AB，MG⊥CD，MB平分∠DME，下列结论中：①当∠AMG=60°时，∠DME=60°；②MD平分∠EMF；③与∠BMD相等的角有3个；④∠CME=∠AMB−2∠FMG；⑤∠FMG+∠DME=90°．正确的结论序号是．【答案】①③④【分析】由MF⊥AB，MG⊥CD，得到∠2+∠3=∠3+∠4=90°，故∠2=∠4，同理∠1=∠3，故∠2=∠4=∠6，由MB平分∠DME，得到∠4=∠5，故∠2=∠4=∠6=∠5，故③正确；当∠AMG=60°时，则∠2=∠4=∠6=∠5=30°，故∠DME=60°，故①正确；由∠CME=∠AMB−∠5−∠6，而∠2=∠4=∠6=∠5，故∠CME=∠AMB−2∠FMG，故④正确，而②⑤不可证明，即可作出选择．【详解】解：如图，∵MF⊥AB，MG⊥CD∴∠FMB=∠GMD=90°，∴∠2+∠3=∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，同理∠1=∠3，而∠4=∠6，∴∠2=∠4=∠6，∵MB平分∠DME，∴∠4=∠5，∴∠2=∠4=∠6=∠5，故③正确；当∠AMG=60°时，则∠2=∠4=∠6=∠5=30°，∴∠DME=60°，故①正确；∵∠CME=∠AMB−∠5−∠6，而∠2=∠4=∠6=∠5，∴∠CME=∠AMB−2∠FMG，故④正确，而②⑤不可证明，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了对顶角，平角的定义，角平分线的意义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键．三、解答题13．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．(1)如果∠COB=130°，那么根据________，可得∠AOD=________°；(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度数．【答案】(1)对顶角相等，130；(2)150°．【分析】（1）利用对顶角相等的性质解答即可；（2）根据对顶角相等，可知∠AOC=∠BOD，结合∠EOB=2∠AOC，即可求解；本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键．【详解】（1）解：∵∠COB=130°，∴∠COB=∠AOD=130°（对顶角相等），故答案为：对顶角相等，130；（2）解：∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠AOC=∠BOD，∠EOB=2∠AOC，∴∠EOB=2∠BOD，又∵∠EOB+∠BOD=90°，∴3∠BOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠AOD=180°−∠BOD=180°−30°=150°．14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，求证：ON⊥CD；(2)若∠1=14∠BOC【答案】(1)见解析(2)60°【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差；（1）由垂直的定义得∠1+∠AOC=90°，等量代换得∠2+∠AOC=90°，即可得证；（2）由角的和差得∠BOM=∠BOC−∠1=3∠1，即可求解；理解垂直的定义，熟练利用角的和差进行计算是解题的关键．【详解】（1）证明：因为OM⊥AB，所以∠AOM=90°，所以∠1+∠AOC=90°，因为∠1=∠2，所以∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，所以ON⊥CD．（2）解：因为OM⊥AB，所以∠BOM=90°，因为∠1=1所以∠BOC=4∠1，所以∠BOM=∠BOC−∠13∠1=90°，所以∠1=30°，所以∠AOC=∠AOM−∠1=60°．15．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．(1)若∠AOF=64°，求∠COE的度数；(2)若∠AOF:∠COE=3:2，求∠EOF的度数．【答案】(1)∠COE=38°(2)∠EOF=22.5°【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角以及垂线，理解角平分线的定义，邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答的关键．（1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可；（2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可．【详解】（1）解：∵OF平分∠AOC，∠AO