专题14 圆锥曲线中常见6大秒杀结论（热点专练）（全国适用）（原卷版及解析）

②；，③证明：由于轴，作于，于，交于，易知，，，所以.根据内心定理，、分别为和的平分线，所以，根据射影定理，，即.【精选例题】【例1】已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，和的内心分别为M，N，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】（多选题）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）A．圆和圆外切 B．圆心在直线上C． D．的取值范围是【例3】（多选题）已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点两点，和的内心分别为，则（

）A．始终垂直于轴 B．C． D．【例4】已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，，则此双曲线离心率的取值范围为．【变式训练】1．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，和的内心分别为M，N，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（多选题）已知分别为双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支一点，过右焦点的直线与双曲线相交于两点，为的内心，若成立，则下列结论正确的是（

）A．离心率B．满足的直线有三条C．若都在双曲线的右支上，则D．点的横坐标为13．（多选题）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则（

）A．的取值范围是 B．直线与轴垂直C．若，则 D．的取值范围是4．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（

）A．，，三点共线 B．直线斜率存在时，C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是5．已知双曲线的焦距为，离心率为2，则双曲线的方程为.记分别为双曲线的左、右焦点，过作直线与双曲线的右支交于A，B两点.设分别为，的内心，则的取值范围是.题型06双曲线焦点三角形旁心与离心率秒杀模型解｜题｜策｜略I是的旁心，、分别是、的角平分线．如图则：，．证明：法一（外角平分线定理＋比例性质）：，法二：（中垂线截距+光学性质）是双曲线的切点弦（切线是切点弦极限情况），是切点弦l的中垂线，根据中垂线截距定理，再根据角平分线定理可知【精选例题】【例1】动点为椭圆上异于椭圆顶点，的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（

）A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的右支 D．一条直线【例2】与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，已知是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心，如图2所示，直线与轴交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（

）A．B．C．D．【例3】如图，已知双曲线的左､右焦点分别是，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【变式训练】1．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．2．如图，，是分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．33．已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则.题型07抛物线中阿基米德三角形相关秒杀模型解｜题｜策｜略①知识要点：如图，假设抛物线方程为，过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为.则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:结论1.直线过抛物线的焦点.结论2.直线的方程为.结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.结论4..证明：由结论3，，.那么.结论5..证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.【精选例题】【例1】设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（

）A．1 B． C．2 D．【例2】已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（

）A． B． C． D．【例3】（多选题）阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（

）A．有可能是等边三角形B．顶点在抛物线的准线上C．若边的中点为，则轴D．面积的最小值为64【例4】（多选题）已知抛物线上两点为的焦点，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的准线方程为B．若直线过点，则C．若为坐标原点，，则直线恒过定点D．若直线过点，则以线段为直径的圆与的准线相切【例5】（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过的一条直线交于，两点，过作的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（

）A． B． C． D．【例6】已知抛物线的焦点为，过的动直线交于两点，过分别作的切线，，与交于点．经探究可知点必在一条定直线上，其方程为；记，与轴的交点分别为，若的倾斜角为，则四边形的面积为．【变式训练】1．设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（多选题）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，点是准线上的点，则（

）A．以为直径的圆与轴相切B．若直线经过点，则以为直径的圆与准线相切C．若，则直线经过定点D．若和都和抛物线相切，则直线经过定点3．（多选题）已知抛物线的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，分别经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，连接NF，NB，NA，则下列说法正确的是（）A．NF⊥ABB．直线NA，NB均与抛物线相切C．直线NA与NB不一定垂直D．4．（多选题）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线于A，B两点，B在第一象限．过A，B分别作抛物线的切线，，且，相交于点P．若BP交x轴于点Q，则下列说法正确的有（

）A．点P在抛物线的准线上 B．C．若，则FQ⊥BQ D．若，则的值为5．（多选题）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（

）A．轴 B． C． D．（建议用时：60分钟）一、单选题1．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的面积为，的面积为.若双曲线的离心率为，，则（

）A．3 B．2 C． D．2．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（

）A． B． C．4 D．83．(25-26高三上·湖南长沙长郡中学·月考)设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（

）A．1 B． C．2 D．4．(25-26高三上·天津滨海新区塘沽第一中学·月考)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，点满足，，则下列说法正确的有（

）①双曲线的离心率为；②与的面积的比值为；③双曲线的渐近线方程为；④与的内切圆半径之比为.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（

）A．18 B．24 C．27 D．366．椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（

）A． B． C． D．9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．10．已知分别是离心率为2的双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点、右支交于点（两点均在轴上方），设与的内切圆半径分别为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题11．已知抛物线，点在其准线上运动，过作抛物线的两条切线，切点分别为，，且直线过焦点，则下列说法正确的有（

）A．的最小值为B．为定值C．若为弦的中点，且与不重合，则轴D．若直线的斜率为1，则的面积为12．已知双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为的内心，则（

）A．若，则B．周长的最小值为C．点与点均在同一条定直线上D．的取值范围是13．(25-26高三上·甘肃·)设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，过点且与直线垂直的直线交于点，则（

）A． B．C．以为直径的圆与轴相切 D．14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，记，内切圆的圆心分别为，，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N.则下列说法正确的是（

）A．的最小值为21 B．C．的最小值为 D．圆和圆的面积之和的最小值为15．(25-26高三上·海南海口第一中学·)双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（

）A．的离心率为2B．C．D．当时，四边形的面积为16．已知双曲线：（，）的两个焦点分别为，（），直线：与双曲线的右支交于，两点，且，则（

）A．当时，双曲线的离心率为B．当时，与的面积之比为5∶1C．当时，双曲线的离心率为D．当时，与的周长之比为5∶317．(25-26高三上·四川成都石室中学·模拟)已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的内心到轴的距离为C． D．18．椭圆的方程为，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的内心记为（

）A．B．的坐标为C．延长交于，则D．内心的坐标为三、填空题19．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的16倍，则椭圆的离心率．20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．若椭圆上存在点P，使得，该离心率的取值范围是．21．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则22．(25-26高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为．23．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为；、的内切圆半径比值.24．椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，若内切圆的半径，则椭圆的离心率为.25．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为．26．已知抛物线的焦点为F，过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形的面积小于4，则四边形面积的取值范围是．

专题14立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01特殊几何体外接球题型02墙角问题外接球题型03对棱相等问题外接球题型04侧棱垂直底面问题外接球题型05侧面垂直于底面问题外接球题型06二面角与球体综合题型07数学文化与球体综合题型08最值与球体综合题型09球心不确定类型题型10内切球综合应用题型11棱切球综合应用题型12球体在解答题中的应用第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．（特殊几何体外接球）（24-25高三上·广西·月考）在长方体中，，则该长方体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】长方体的体对角线为外接球的直径，再根据球的表面积公式可求得结果.【详解】设长方体外接球的半径为，则，所以，则球的表面积为，故选：A.2．（特殊几何体外接球）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可.【详解】由题可知，，设棱台高为，则，解得，

根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径，又，，所以，则，所以为直角三角形，故为四边形外接圆直径，正四棱台的外接球半径，体积.故选：B.3．（墙角问题外接球）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将该三棱柱放入正方体中，借助正方体的外接球求解长度，即可根据体积公式求解.【详解】由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图：故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故该三棱锥外接球的半径为.由，得.由于平面，所以该三棱锥的体积为.故选：B4．（对棱相等问题外接球）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为．【答案】【分析】由题意把三棱锥补形为长方体，设过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，求得，得到长方体的对角线长，进一步得到该三棱锥的外接球的半径，代入表面积公式得答案．【详解】如图，把三棱锥补形为长方体，设过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则，，，，则长方体的对角线长为．则该三棱锥的外接球的半径为．则该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，关键是“补形思想”的应用，是中档题．5．（侧棱垂直底面问题外接球）在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用正弦定理求出外接圆的半径，然后利用求出三棱锥外接球的半径，即可算出表面积.【详解】设外接圆的半径为，圆心为，根据正弦定理，则，故，设三棱锥外接球的半径为，球心为O，

由，可知为等腰三角形，过作于，则为中点，由平面，平面，故，则共面，因为平面，平面，所以，又，故，于是四边形为平行四边形，因为，所以四边形为为矩形，则，故三棱锥的外接球的表面积为.故选：A.6．（侧面垂直于底面问题外接球）在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】中点到四面体的四个顶点的距离相等，是四面体的外接球的球心.【详解】如图，设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，∴外接球的半径，则．故选：C.7．（二面角与球体综合）（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积.【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心，故该四面体的外接球体积，又，平面AOC，，所以平面AOC，二面角的大小为，，,故所求体积之比为，故选：D．8．（二面角与球体综合）（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积.【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心，取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.

由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则.因为，所以，所以，.设外接球的半径为，则，，又，，所以，解得.故正三棱锥外接球的表面积.故选：C.9．（数学文化与球体综合）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是.【答案】/【分析】由题意可得，分别取的中点，连接，则的中点就是直三棱柱外接球的球心，连接，再中求出，从而可求出棱柱的高，进而可求出三棱柱的表面积.【详解】因为在直三棱柱中，，由题意知，，分别取的中点，连接，因为直三棱柱的所有顶点都在球的球面上，所以的中点就是直三棱柱外接的球心，设外接球的半径为，连接，则，因为球的表面积为，所以，得，在中，，所以，所以，所以三棱柱的表面积是.故答案为：10．（最值与球体综合）（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为.【答案】【分析】先求出外接圆的半径，再结合球的半径求出球心到平面的距离，进而得到点到平面的最大距离，最后根据三棱锥体积公式求出体积的最大值.【详解】设外接圆的圆心为，半径为.由正弦定理，在正中，，，则.因为，所以，即，解得.已知球的半径，球心到平面的距离，外接圆的半径，根据勾股定理，可得.当点，球心，共线且与在平面同侧时，点到平面的距离最大，最大距离.根据正三角形面积公式，可得.根据三棱锥体积公式，可得.故答案为：.11．（最值与球体综合）（2025·云南昆明·模拟预测）已知正三棱锥的底面边长为，高为，球在正三棱锥的内部，则球体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正三棱锥性质求得侧棱长，即可判断正三棱锥是正四面体，当球与正四面体的四个面都相切时，球的体积最大，利用等体积法计算即可得出结果.【详解】底面的外接圆半径，即正三棱锥的侧棱长，则正三棱锥是正四面体，当球与正四面体的四个面都相切时，球的体积最大，由等体积法得球的半径为，即，所以球体积的最大值，故选：A.12．（最值与球体综合）（25-26高三上·江西南昌·期中）已知二面角的大小为，且，，.若点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心，，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点，为三棱锥外接球半径，取的中点为，推导出的外接圆直径，从而，当时，的最小值为，由此能求出该球的表面积的最小值．【详解】设，则，设和的外心分别为、，则分别为的中点，过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点，则为三棱锥的外心，连接，则为三棱锥外接球的半径．取的中点，连接、、，如图所示：由条件知且，，所以为二面角的平面角，即，连接，因为平面，平面，平面，平面，所以，，所以四点共圆，且该圆的直径为．在中，由余弦定理可得所以的外接圆直径，当时，的最小值为，所以该球的表面积的最小值为.故选：C13．（内切球综合应用）（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据球内切于正三棱柱求出高，然后内切球的性质求得底面正三角形的边长，最后利用柱体体积公式求解即可.【详解】因为半径为2的球内切于正三棱柱，所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图.由正三角形及其内切圆的性质，得，所以的面积为，所以正三棱柱的体积为.故选：A14．（内切球综合应用）（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为.

【答案】【分析】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积.【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为，连接，则，，∵，∴，∴，设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，∴，∴小球的体积为：，故答案为：.15．（内切球综合应用）（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根据正八面体的结构特征可得外接球的半径，利用等积法可得内切球半径，进而利用球的表面积公式即可求得.【详解】如图正八面体，连接和交于点，因为，，所以，，又平面，平面，，所以平面，设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为，假设正八面体的棱长为，则，，，，，因，则，且为正八面体的中心，则点到平面的距离为内切球半径，因为，即，即，所以，所以.故选：C.01特殊几何体外接球16．若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一，做出正四面体的高，然后根据外接球定义计算半径；方法二，将正四面体放入立方体，正四面体的外接球就是立方体的外接球.【详解】方法一：如图，正四面体中，作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为，由正三角形的性质，，；由，得，解得，该球的表面积为．故选：A．方法二：如下图在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体，可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为.立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径，外接球的表面积为.故选：A.17．（2025·河南·二模）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为，根据正弦定理和球的截面的性质，分别求得和的值，结合球的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为，可得，则，所以正三棱柱外接球的体积为.故选：D18．已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆的截面性质与圆柱的结构特征，结合勾股定理求出球的半径，从而得解.【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为，因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为，则，即，所以球的表面积为，故选：B.19．（2025·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，球的半径等于圆锥的高，则圆锥的表面积与球表面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆锥的表面积与球的表面积公式计算即可求解.【详解】圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则圆锥的高为1，母线长为，所以该圆锥的表面积为，球的半径为1，表面积为，所以圆锥的表面积与球表面积之比为.故选：C02墙角问题外接球20．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算.【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图：故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故该三棱锥外接球的半径.所以外接球的体积.故选：B21．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为．【答案】【分析】将三棱锥补形为棱长为的正方体，可知三棱锥与正方体的外接球相同，求出外接球半径，结合球的体积公式即可求解.【详解】将三棱锥补形为棱长为的正方体如图所示，可知三棱锥与正方体的外接球相同，其半径是正方体的体对角线长的一半，为，所以球的体积为.故答案为：.22．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为.【答案】【分析】本题根据题意以PA，PB，PC为棱构造长方体，长方体的对角线即为该三棱锥外接球的直径，计算即可得出结果.【详解】在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且，以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球半径为，所以外接球的表面积为.故答案为：.23．已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可．【详解】因，、两两垂直，故三棱锥的外接球，即是以，，为棱长的长方体的外接球，故球的半径为，则球的表面积为.故选：B24．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：由题意可构造以为过一顶点的三条棱的长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由于长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此可得球半径，从而可求得球的体积．详解：∵三棱锥中两两垂直，∴以为过同一顶点的三条棱构造长方体，该长方体的外接球即为三棱锥的外接球．又是边长为的正三角形，∴，∴长方体的体对角线为，即球的直径为，∴球的体积为．故选A．点睛：关于球的内接几何体的问题，往往涉及到求球的体积或表面积，求解的关键是确定球心的位置和求出球的半径．当球外接于正方体（或长方体），即正方体（或长方体）的顶点均在球面上时，则正方体（或长方体）的体对角线长等于球的直径．03对棱相等问题外接球25．（2025高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可.【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线，设这个长方体各棱长分别为，则有，各式相加得，设外接球半径为，则有，外接球表面积.故选：C．26．已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可.【详解】设四面体的外接球的半径为,则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，则故，故四面体ABCD外接球的体积为，故选：C27．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解.【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.所以四面体外接球表面积是.故答案为：B.28．已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为.【答案】【分析】根据给定条件，将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线长即可计算得答案.【详解】在四面体中，，，，则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球，设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为，则，于是，所以该四面体外接球的表面积为故答案为：29．（2025·河北沧州·模拟预测）在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求解，把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，进而可求解.【详解】设，取的中点，连接，则､平面，所以平面，且，所以的面积为，则三棱锥的体积为，所以，把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，如下图所示：设长方体的长､宽､高分别为，球的半径为，则所以，所以，所以球的表面积为.故选：A.04侧棱垂直底面问题外接球30．在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．【答案】D【分析】由三棱锥的体积，求PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积．【详解】解：三棱锥的体积为，，，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，是边长为的正三角形，外接圆的半径，球的半径为R=，球O的表面积为．故选D．【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；②若面ABC（SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球.31．三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，根据长方体的性质求外接球的半径，即可得结果.【详解】如图所示，根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，可知该球的直径即为，设球的半径为，可得，即，故三棱锥的外接球的表面积.故选：C.32．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】由球体积公式求球体半径，正余弦定理求外接圆半径，结合线面垂直模型求即可.【详解】由题意，设球的半径为，则，由，外接圆半径，根据线面垂直模型知：.

故选：A33．在三棱锥P-ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=10且PA=2BC，则该三棱锥的外接球的体积为.【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出外接圆的直径和三棱锥外接球的直径，即可求得三棱锥外接球的体积．【详解】如图所示，在中，由余弦定理，可得，所以，外接圆的直径，即．由底面，且，所以三棱锥的外接球直径为；解得，所以该三棱锥外接球的体积为．故答案为：．【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径常用的方法有：（1）直接法；（2）模型法；（3）解三角形法.要根据已知条件灵活选择方法求解.34．（25-26高三上·天津红桥·期中）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（

）A．10π B．12π C．16π D．20π【答案】D【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为,球心为,在中,求出球的半径,然后求出球的表面积.【详解】解:在中,可得，所以,由正弦定理,可得外接圆半径,设此圆圆心为,球心为，球的半径为，由球的性质可知：平面，在平面内，所以，在中,，所以球半径,故此球的表面积为故选：D35．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设中点，中点，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，可解.【详解】设中点，中点，由，，所以的外接圆直径，且圆心为，由于底面，，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，所以外接球的直径，所以外接球的体积．故选：B

05侧面垂直于底面问题外接球36．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设，连接，利用半径相等得到方程，求出，进而求出外接球半径和表面积.【详解】取的中点，连接，，因为底面与侧面均是边长为2的正三角形，所以⊥，⊥，因为平面平面，交线为，且平面，所以⊥平面，在上取点，使得，故为等边三角形的中心，该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为，其中，，，设，连接，过点作⊥于点，则，，，设，则，即，解得，所以，该三棱锥外接球的表面积是.故选：C37．（2025·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中点，由直角三角形性质可得，则点就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得.【详解】如图，取的中点，连接，，因为，，所以，因此点就是球心，又，故是等腰直角三角形，所以，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，设球半径为，则，，则，，所以三棱锥的体积，所以，所以球的表面积为.

故选：A.38．已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意作出图形，由题设条件可得外接圆圆心即三棱锥外接球球心，利用正弦定理即可求出其半径即得.【详解】如图，因平面平面，，的外心为边的中点，则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为.在中，，,故由余弦定理可得，，即，由正弦定理，，则，即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为．故选：D．39．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积.【详解】如图所示，连接交于点，取中点，连接，则由题意知，，为正方形外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理平面，设等边的外接圆圆心为，过作的平行线交过且与平行的线于点，则平面，面，所以为四棱锥外接球的球心，设球的半径为，在等边中由正弦定理得，解得，又因为，所以，所以四棱锥外接球表面积为.故选：C40．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（

）A．5π B．10π C．28π D．56π【答案】D【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积.【详解】如图所示，连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、，所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理：平面，设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O，则平面，平面，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，在等边中由正弦定理得，解得：，又因为，所以，所以四棱锥外接球表面积为.故选：D.06二面角与球体综合41．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】取中点为E，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算.【详解】设是中点，连接，设的外心为，的外心为，是四面体外接球球心，由于和都是边长为的正三角形，所以，且分别在靠近E的三等分点处.根据二面角的大小为及球的性质可知：平面，平面，所以，由于，所以四边形是正方形，，，设四面体外接球的半径为，则.所以外接球的表面积为.故选：A42．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据矩形的性质可知三棱锥的外接球半径为矩形对角线的一半，由此可求球的表面积.【详解】由题意得，.记矩形的对角线与交于点，则翻折过程中点到四点的距离不变，即点是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积.故选：A.43．（2025高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定二面角的平面角，再求三棱锥外接球的半径，最后利用球的体积公式计算的结果．【详解】如图，设的中点分别为，连接，则，，因为等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，所以，进而，所以为二面角的平面角，故．因为，都是直角三角形，记三棱锥外接球的球心为，连接，因为为的中点，则，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，所以，同理得，由，可知，且，所以平分，因为，，所以，在中，，，所以，即三棱锥外接球半径为．所以所求体积为．故选：C.44．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，取的中点，找到的外心，然后平面，根据二面角的平面角为找到球心，然后计算长度求出，最后根据球的体积公式计算即可.【详解】如图，取的中点，连接，

设为正的外心，则点在上，且．设为四面体的外接球球心，则平面．，则为的外心，平面．二面角的大小为，则直线与平面成角，．是边长为3的正三角形，则，．在中，．在中，，则，四面体的外接球半径，.故选：B．45．（25-26高三上·湖北·月考）在正三棱柱中，为边上的中点，平面过点且与平面所成的锐二面角为，平面与线段相交于点，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由二面角条件求出，进而求得的外接圆半径；利用平面得出外接球半径公式，代入计算出表面积；方法二：建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出球心的坐标，进而得到球的半径，即可求解.【详解】方法一：如图，因为为正三棱柱，所以三棱柱的侧棱垂直于底面，可得：，又底面为正三角形，为中点，故,，故平面，可得，又,故是平面与平面所成的锐二面角的平面角，，则，因为，所以，设外接圆半径为，因为，所以由正弦定理得．平面(平面平面)，且，所以设三棱锥外接球的半径为，则，所以，故三棱锥外接球的表面积为.方法二：以D点为坐标原点，AD为x轴，DB为y轴，D点引平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，由方法一的数据可得：，设三棱锥的外接球的球心为，则，，，，设外接球半径为，则，球的表面积为.故选：C07数学文化与球体综合46．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定球体积最大的特征，再利用三棱锥的体积等于其表面积与内切球半径积的三分之一求出球半径，进而求出球的体积.【详解】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面，可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以，所以，设此时球的半径为R，则，即，解得，所以球的体积V的最大值为.故选：C47．（24-25高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为cm和cm，则该铁锭的高为（

）A．30cm B． C．36cm D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用球的表面积、体积公式及棱台的体积公式列式计算得解.【详解】解：设实心铁球的半径为R，则，解得，则实心铁球的体积为，设正四棱台的实心铁锭的高为h，因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等，则，解得故选：48．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，根据球的性质可得平面ABCD，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当O在线段上和O在线段的延长线上时2种情况，结合球的性质和表面积公式计算即可求解.【详解】如图，连接AC，BD，设，因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，连接EP，FQ，在与中，易知，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．设，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解．当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，所以，所以球O的表面积，故选：D．【点睛】求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据一是球心到球面上各点的距离都等于球的半径，二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．由此出发，利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可确定外接球球心的位置．08最值与球体综合49．（2025·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案.【详解】由题意得，扇形的弧长，所以该圆锥的底面圆的半径，所以该圆锥的高．设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示：则依题意得，所以，所以该球的体积V的最大值是．故选：D50．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，三棱锥外接球的半径为R，由外接球的表面积可求出R，结合二面角的大小可求出a，当时，点P到平面ABC的距离最大，即体积最大．【详解】设，三棱锥外接球的半径为R，则，解得，设的外心为，该点是棱AC的中点，设等边的外心为，过点作平面APC的垂线，过点作平面ABC的垂线，两垂线交于点O，即为三棱锥外接球的球心．因为二面角的大小为，所以，于是，，，因为，即，解得，即，因为，所以当时，点P到平面ABC的距离最大，其最大距离为，所以三棱锥体积的最大值等于.故选：A.51．（2025·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，利用球的表面积公式即可求解.【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切，设圆的半径为，则，由，所以，所以，作，由，所以，又，所以，又，，所以，即，所以球的表面积的最大值为，故选：C.52．（2025·宁夏银川·二模）已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值时，其外接球表面积为.【答案】【详解】根据题意作图，由题意得到关于底面边长和侧棱长以及高的等量关系，代入四棱锥体积公式，得到关于的函数，利用导函数研究其单调性，从而求得最大值.再利用此时各边长求出外接球的半径，计算球的表面积即可.【分析】如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为，因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心，侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，所以，得，又，所以正四棱锥的体积.设，则，当时，，即在单调递增，当时，，即在上单调递减，所以，所以.此时，，，设该正四棱锥外接球的半径为，则，解得，故其外接球表面积.故答案为：.53．（2025·湖北·模拟预测）已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则.【答案】【分析】由题当平面平面时，这时三棱锥的体积最大，作出图形，依次确定外接圆的圆心，四边形的外接圆的圆心，再确定四棱锥的外接球的球心，求解外接球的半径，即可求出外接球的表面积；由，,就是相交所成的二面角的平面角，运算得解.【详解】因为的面积为定值，所以当平面平面时，点到平面的距离最大，这时三棱锥的体积最大.设的中点为的中心为的中点为，则平面，∵四棱锥外接球的球心为，则平面，又，所以是四边形外接圆的圆心，故平面，则，此球的半径，所以外接球的表面积；这时，在中，又，,则，故.故答案为：，.54．已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于.【答案】【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，进而求半径表达式并利用配方法求出球半径的最小值，从而可得的值.【详解】设球的半径为，则球的体积为，所以球体积取得最小值时，则球的半径最小.设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H，易知分别为的中点，且四点共圆，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图：由条件知，在中，由余弦定理可得，∴的外接圆直径，当时，球的半径取得最小值.故.故答案为：55．（2025·山西·三模）一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为．【答案】【分析】连接起交线后得两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体，作，的中点，，利用等面积法求内切球的半径即可求解.【详解】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体，作，的中点，，设内切球的半径，所以，所以，，，又，所以，即表面积为．故答案为：09球心不确定类型56．如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】过球心作平面，则为等边三角形的中心，由与都是边长相同的等边三角形得，利用勾股定理得、，最后由球的表面积公式计算可得答案.【详解】过球心作平面，则为等边三角形的中心，∵四边形是菱形，，∴与都是边长相同的等边三角形，∵，∴，∵，∴，∴，，中，，由勾股定理得，∴球的半径，∴三棱锥的外接球的表面积为.故选：A．【点睛】方法点睛：一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径.57．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出的外接圆半径，矩形的外接圆半径，再利用几何关系求出球的半径，进而求出结果.【详解】根据正方体，得，，所以平面，四边形是矩形，其中，，的三边为，，，，设的外接圆半径为，则，于是，设矩形的外接圆半径为，则，设球心为，过作平面，垂足为，过作平面，垂足为，则是矩形的外心，是三角形的外心，取中点，则，于是平面，所以四边形是矩形.设球半径为，，则，于是球的表面积为.故选：D.58．三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，，，顶点P到的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在的内部，则球O的表面积等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析出⊥，作出辅助线，得到点在底面的射影为的中点，点在底面的投影为的内心，先求出直角三角形的内切圆半径，由勾股定理得到方程，求出球的半径，得到球的表面积.【详解】因为，，，所以，故⊥，取的中点，则点在底面的射影为，连接，则，又P到的三边距离均等于4，故点在底面的投影为的内心，过点作⊥，垂足为，作⊥，垂足为，作⊥，垂足为，故四边形为矩形，又，故四边形为正方形，设，则，所以，解得，则，过点作⊥，垂足为，设，则，如图，以，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，则，其中，由勾股定理得，，故，解得，所以球心O在三棱锥外部，则，则外接球的表面积为.故选：C【点睛】关键点点睛：确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径59．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直角三角形求出外接圆的半径，设中点为，连接，过作，则即为点到平面的距离，根据相似即可求出，得到外接球所得截面的面积.【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为，连接，如图所示，由题意得，且正四棱锥的外接球球心，设外接球半径为，则，在中，，且，所以，解得，即，在中，，过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心，所以，则，所以，所以截面的面积.故选：C

【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出外接圆半径以及找到点到平面的距离.60．在三棱锥中，平面平面BCD，是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得到球心O在平面ACD的投影与M点重合，由面面垂直得到球心O在平面BCD上，作出辅助线，球心O在MH上，设OM=x，由半径相等列出方程，求出x，进而得到外接球半径，求出表面积.【详解】因为是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，，所以AM⊥CD，且，因为，所以，而，由勾股定理得：，所以BM=BC，故为等腰直角三角形，，，由题意得：球心O在平面ACD的投影与M点重合，因为平面平面BCD，所以球心O在平面BCD上，在平面BCD上，过点M作MH⊥CD，故，球心O在MH上，设OM=x，由余弦定理得：，则，由得：，解得：，设外接球半径为，则，故该三棱锥的外接球的表面积为.故选：D【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．61．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，过的内切圆圆心，且，，，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B．π C． D．【答案】B【分析】计算，，过分别作平面，平面的垂线，两垂线交于点，点为三棱取的外接球球心，计算，，再利用勾股定理得到，计算表面积得到答案.【详解】如图，为线段的中点，，平面，平面，故，，平面，故平面，平面，故，故，因为为线段的中点且过的内切圆圆心，故，即.所以.取的中点，连接、，分别在、上取、的外接圆圆心、.过分别作平面，平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱取的外接球球心.在中由余弦定理得：，所以.设、的外接圆半径分别为、，三棱锥的外接球半径为.，解得，同理，所以，，所以三㥄锥的外接球表面积为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查了线面垂直，三棱锥的外接球表面积，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和转化能力，其中，确定过圆心的垂线交点是球心再利用勾股定理求解是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握.10内切球综合应用62．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（

）A．48π B．36π C．24π D．12π【答案】A【分析】根据内切球和外接球球心重合，得到角之间的关系，继而可求外接球半径.【详解】因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到所以外接球半径，∵，∴因此圆锥外接球的表面积为48π.故选：A.63．（2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积.【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，则圆锥的体积.故选：A.64．（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大体积.【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，由正四面体结构特征可知G为的中心，面，设E为中点，球O和球分别与面相切于F和.易得，，，由可得，又，，故，，，又由和相似，可得，即，解得，即空隙处的最大球的半径为.所以空隙处的最大球的体积为为.故选：D65．（2025·广西·模拟预测）设正四面体ABCD的内切球表面积为，则能装下该正四面体的最小正方体不计厚度的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等体积法求得正四面体棱长，再由图可得正四面体的每条边均为相应正方体的面对角线，据此可得答案.【详解】设正四面体ABCD的内切球球心为O，半径为r，则，设正四面体边长为a，则，又由题可得，解得，则.又如图所示，取三角形BCD中心为，则为四面体底面BCD对应的高，连接，则为三角形BCD外接圆半径，等于，则，则将正四面体按照如图所示的方式放入正方体中，即正四面体的每条边均为正方体的面对角线，此时为能装下该正四面体的最小正方体，设正方体的棱长为t，则，解得，故此正方体的体积为故选：66．（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件求出圆台的高，结合条件得到球与圆台的上、下底面相切，从而求出内切球的半径，即可求解.【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，由题知，又母线长为，则圆台的高为，若球与圆台的下底面和侧面相切，设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为，与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示，连接，易知，则，又，由，得到，解得，又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切，所以，球的体积为，

故选：B.67．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．16【答案】C【分析】由内切球的体积为可求内切球的半径.设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.根据正四棱锥的底面边长及即可求解的值，利用棱锥体积公式即可求解.【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1.如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.因为正四棱锥的底面边长为，所以.又，所以，即，解得.所以，所以正四棱锥的体积为.故选：C.68．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（

）A． B．C． D．的大小不确定【答案】A【分析】可先分别根据圆柱和球的体积公式、表面积公式求出和的值，再比较和的大小.【详解】设球的半径为，因为球的直径恰好与圆柱的高相等，所以圆柱的高，又因为球是圆柱的内切球，所以圆柱底面半径.根据圆柱体积公式，可得圆柱体积.根据球的体积公式.已知圆柱与球的体积之比为，则.根据圆柱表面积公式，可得圆柱表面积.根据球的表面积公式.已知圆柱与球的表面积之比为，则.所以.故选：A.69．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答.【详解】在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点，过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图：显然，，令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即，因为，则，显然，，设球与球相切于点T，则，设球的半径为，同理可得，即，设球与球相切于点S，则，设球的半径为，同理可得，即，，所以，故选：B11棱切球综合应用70．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为.【答案】【分析】考虑正方体的内切球恰好与每个面相切，切点为每个面的中心，该球为由六条面对角线构成的正四面体的内切球，即可求得求得半径.【详解】可采用补体的方法，先画一个正方体，正方体的棱长为322，那么正方体的面对角线为3，取四点构成棱长为3的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为棱长的一半，即342，这样球的表面积为S=4πR2=4π×(342)2=92π.故答案为：92π【点睛】此题考查根据求满足条件的求得表面积，关键在于准确构造物体关系，求出球的半径，结合图形转化，利于解题.71．已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为.【答案】【分析】将三棱锥补全为正方体，各条棱分别为正方体各面的对角线，由此确定正方体内切球即为所求的球，由此可确定球的半径，从而得到所求的球的体积.【详解】将三棱锥补全为正方体，如下图所示：则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球，设正方体棱长为，则，解得：，所求的球的半径，球的体积.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过将三棱锥补全为正方体，确定正方体的内切球即为所求的球.72．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为.【答案】【分析】设正三棱柱下底面和上底面的中心分别为，则的中点为球心，取棱中点，则为棱与球的切点，为球半径，而到棱的距离等于，这样利用勾股定理可求得半径，从而得体积．【详解】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为，由正三角形性质知，与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得，球体积为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查求球的体积，解题关键是利用对称性确定球心位置求得球的半径．从而求得球的体积．利用对称性知正三棱柱上下底面中心连线的中点为球心，而各棱与球相切的切点为各棱中点．从而易求得结论．73．已知三棱锥A﹣BCD所有棱长都相等，球与它的六条棱都相切，球与它的四个面都相切，则球与球的表面积之比为．【答案】3【分析】依题意可知三棱锥为正四面体，取中点，通过说明为球的一条直径，然后计算，使用等体积法得到球的半径，然后使用表面积公式计算即可.【详解】显然此三棱锥为正四面体，如图1取中点，连结，由，所以，同理：则可知为球的一条直径，连结，设正四面体棱长为2，则，所以，所以，球半径．如图2过点作平面，垂足为，显然为的重心，连结并延长交于，则为的中点，，所以，所以，由．得，所以故答案为：312球体在解答题中的应用74．（2025·四川攀枝花·三模）如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．(1)证明：平面；(2)求四面体外接球的体积；(3)求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】(1)利用勾股定理证明一个线线垂直，再利用一个已知的垂直关系，即可证明线面垂直；(2)利用线面垂直可得线线垂直，再证明平面，从而可得直角四面体，利用补形法求外接球半径，即可求出体积；(3)利用换底面建立空间直角坐标系，把所求的线段长设为参数，结合已知数据表示各点坐标，通过法向量夹角余弦值的绝对值为，建立相等关系求解即可.【详解】（1）由，，，可得：，则由勾股定理得：，又，，平面，所以平面；（2）由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，则四面体满足平面，，因此这个四面体可以放在一个长方体里，所以外接球的直径就是该长方体的体对角线，因为，所以外接球的半径，即该外接球的体积，（3）把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，由于平面，，，,设，则，即，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为二面角的大小为，所以，解得故75．（24-25高三上·山西·期末）如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.(1)求三棱锥外接球的表面积；(2)当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）确定外接球球心即为的中点，即可求解；（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；【详解】（1）解：因为和均为以为斜边的直角三角形，所以三棱锥的外接球球心即为的中点，半径，所以外接球表面积.（2）证明：当平面平面时，因为，平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设P点坐标为（），由，，得解得，，即P点坐标为，，.设平面，所以所以令，得，易知为平面的一个法向量，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.76．（24-25高三上·河南·期末）如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为.(1)证明：平面；(2)求四面体的外接球的体积；(3)求的长.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用勾股定理可证得，再结合以及线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）推导出平面，，将四面体补成长方体，计算出长方体外接球的半径，再结合球体体积公式可求得结果；（3）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法求出的值，即可求出线段的长.【详解】（1）因为，，，所以，即.又因为，，、平面，所以平面（2）因为平面，平面，所