应用统计学试题及答案

应用统计学试题及答案1.单选题（每题4分，共40分）1.1某电商平台想评估“618”大促期间页面加载时间对成交转化率的影响，随机抽取了200个访问会话，记录加载时间x（秒）与是否成交y（0/1）。若建立Logistic回归logit(p)=β₀+β₁x，下列说法正确的是A.β₁的单位是“秒⁻¹”B.当β₁>0时，加载时间越短成交概率越低C.若x增加1秒，成交优势比将乘以e^{β₁}D.若模型拟合优度检验p值=0.03，说明模型整体显著答案：C解析：Logistic回归系数β₁的含义是“x每增加1单位，对数优势比增加β₁”，因此优势比乘以e^{β₁}。A错，β₁无单位；B错，β₁>0表示加载时间越长成交概率越高；D错，拟合优度检验p值小说明模型可能存在欠拟合，而非整体显著。1.2对同一批受试者先后使用A、B两种血压计测量收缩压，欲检验两种仪器是否存在系统误差，最合适的检验方法是A.两独立样本t检验B.配对样本t检验C.卡方检验D.Wilcoxon符号秩检验答案：B解析：同一批受试者属于配对设计，检验系统误差即检验差值总体均值是否为零，用配对t检验；若差值非正态，可用Wilcoxon符号秩检验，但题目未提示非正态，优先选B。1.3某工厂每天生产零件长度服从N(μ,σ²)。现连续抽取5天，每天抽4件，共20件，欲建立x̄-R控制图，下列计算正确的是A.x̄图中心线CL=Σx̄/5B.R图中心线CL=ΣR/20C.x̄图上下控制限=CL±A₂R̄，其中A₂查表与样本容量n=20有关D.若某天x̄超出控制限，即可判定μ一定发生变化答案：A解析：x̄图中心线为各subgroup均值的平均，即Σx̄/5；B错，R图中心线为ΣR/5；C错，A₂与subgroup大小（此处为4）有关；D错，点出界仅提示可能异常，需结合规则判断。1.4在多重线性回归中，若某自变量VIF=8.5，则A.该变量与因变量无线性关系B.该变量与其他自变量存在中度多重共线性C.该变量必须被剔除D.该变量系数估计标准误将缩小答案：B解析：VIF=8.5>10常作为强共线性经验阈值，8.5属中度；A错，VIF不衡量与y关系；C错，是否剔除需结合业务与模型稳定性；D错，VIF高则标准误膨胀。1.5对某城市空气质量指数AQI做时间序列分解，得到季节因子S_t。若采用乘法模型Y_t=T_t×S_t×I_t，当S_t<1时，说明该季A.长期趋势向下B.该季AQI低于年平均C.随机波动剧烈D.序列非平稳答案：B解析：乘法模型中S_t<1表示该季实际值低于趋势成分，即低于年平均；A、C、D均与季节因子定义无关。1.6在聚类分析中，使用Ward法合并两类A、B，合并后类内平方和增加量ΔESS=ESS_{AB}-(ESS_A+ESS_B)，则Ward准则倾向于合并A.使ΔESS最大B.使ΔESS最小C.使轮廓系数最小D.使类间距离最大答案：B解析：Ward法追求合并后类内平方和增加最小，即ΔESS最小，从而保持类内同质性。1.7某研究采用Bootstrap估计均值μ的置信区间，原始样本n=50，重抽样B=2000次，得到Bootstrap均值分布。若该分布右偏，则A.原始样本一定右偏B.应采用Bootstrapt区间以校正偏态C.原始样本均值一定大于中位数D.Bootstrap无法处理偏态答案：B解析：Bootstrap分布右偏提示抽样分布非正态，可用Bootstrapt区间或BCa区间校正；A错，Bootstrap分布偏态不一定反映原始样本偏态；C错，无法直接推出；D错，Bootstrap正是为复杂分布设计。1.8在贝叶斯估计中，若先验θ~N(0,1)，似然x̄|θ~N(θ,0.5²)，n=16，则后验均值E(θ|x̄)为A.x̄/2B.16x̄/17C.x̄D.0答案：B解析：正态共轭，后验均值=(1/σ₀²·μ₀+n/σ²·x̄)/(1/σ₀²+n/σ²)=(0+16/0.25·x̄)/(1+16/0.25)=16x̄/17。1.9对二项分布X~Bin(n=100,p)进行假设检验H₀:p=0.3vsH₁:p>0.3，若观测x=39，则精确p值为A.P(X≥39|p=0.3)B.P(X≤39|p=0.3)C.P(X=39|p=0.3)D.P(X≥39|p=0.7)答案：A解析：右侧检验，精确p值为在H₀下取得≥39的概率。1.10在实验设计中，若采用2³全因子设计，中心点重复3次，共运行11次实验，则中心点的作用是A.估计三阶交互B.提供纯误差估计并检验弯曲C.减少区组效应D.提高主效应分辨率答案：B解析：中心点用于估计纯误差并检验模型是否存在二次弯曲，若弯曲显著则需增加轴点进入响应面设计。2.多选题（每题5分，共30分，每题至少有两个正确答案，多选少选均不得分）2.1关于主成分分析PCA，下列说法正确的是A.第一主成分方向是数据方差最大方向B.主成分得分间样本协方差为零C.若原始变量单位不同，应先标准化D.保留主成分数可依据Kaiser准则（特征值>1）E.PCA可降低模型过拟合风险答案：ABCDE解析：PCA通过正交变换使得分不相关；标准化避免量纲影响；Kaiser准则常用；降维可减少变量数，降低过拟合。2.2下列哪些方法可直接处理缺失数据机制为MNAR（非随机缺失）A.多重插补B.selectionmodelC.patternmixturemodelD.完整案例分析E.逆概率加权答案：BC解析：MNAR需建模缺失机制，selectionmodel与patternmixturemodel显式建模；多重插补与IPW默认MAR；完整案例导致偏倚。2.3在控制图应用中，关于平均运行长度ARL，正确的有A.ARL₀表示过程受控时平均点到信号长度B.ARL₁表示过程失控时平均点到信号长度C.若ARL₀=370，则虚发警报概率≈0.0027D.增加控制图系数k可减小ARL₁E.EWMA控制图对中小漂移的ARL₁小于Shewhart图答案：ABCE解析：ARL₀=1/α，α=0.0027对应ARL₀≈370；增加k会扩大控制限，ARL₁增大；EWMA对中小漂移更敏感，ARL₁更小。2.4下列哪些技术可用于变量选择以避免过拟合A.LASSOB.RidgeC.ElasticNetD.逐步回归E.贝叶斯模型平均答案：ACDE解析：Ridge只收缩不置零，不能变量选择；其余均可实现变量选择或模型平均。2.5关于Kruskal-Wallis检验，正确的有A.是Mann-WhitneyU检验的多组推广B.要求各组方差齐性C.原假设为各组中位数相等D.若p<0.05，可进一步进行Dunn多重比较E.适用于有序分类数据答案：ACD解析：K-W不假设方差齐性；原假设为分布相同，实用中常解释为位置参数/中位数；Dunn用于事后比较；有序分类可用，但需数值编码。2.6在Meta分析中，导致异质性的可能原因有A.研究设计差异B.人群基线不同C.测量工具差异D.发表偏倚E.随机抽样误差答案：ABC解析：随机误差属内研究变异，异质性指间研究变异；发表偏倚影响合并效应而非直接产生异质性。3.计算与综合题（共80分）3.1（15分）某医药公司研发新型降压药，采用交叉设计，20名高血压患者随机分两组，先后服用试验药T与对照药C，间隔2周清洗期。记录服药后4小时收缩压下降值（mmHg）：患者1234567891011121314151617181920顺序TCCTTCCTCTTCCTTCTCCTTCCTTCCTCTTCCTTCCTTCT下降1822152520192117231624142618192022152117C下降121810201614151319111792114151618101712（1）给出适当的统计模型，并说明假设。（2）计算两种药物平均下降差异的点估计与95%置信区间。（3）在α=0.05下给出检验结论。答案与解析：（1）交叉设计常用模型：Y_{ijk}=μ+τ_i+π_j+γ_{k}+ε_{ijk}，其中τ为药物效应，π为周期效应，γ为个体效应随机。假设：差值d=T-C服从正态，个体间独立，周期效应可忽略或通过模型校正。（2）计算每位患者d_i：d:6,4,5,5,4,5,6,4,4,5,7,5,5,4,4,4,4,5,4,5d̄=4.8，s_d=0.83，n=2095%CI=d̄±t_{0.025,19}·s_d/√n=4.8±2.093×0.83/√20=4.8±0.39→(4.41,5.19)（3）H₀:μ_d=0，t=d̄/(s_d/√n)=4.8/(0.83/4.472)=25.9，p<0.001，拒绝H₀，试验药降压效果显著优于对照。3.2（15分）某市交通部门欲建立多元线性回归预测高峰时段公交车运行时间（分钟）。采集100条线路数据，变量：y=运行时间，x1=里程(km)，x2=停靠站数，x3=专用道比例(%)，x4=天气指数(1~5)。全模型回归结果：系数β̂0=5.2，β̂1=2.1，β̂2=0.8，β̂3=−0.06，β̂4=1.5标准误SE1=0.15，SE2=0.20，SE3=0.04，SE4=0.50R²=0.81，调整R²=0.80，RSS=1200，TSS=6320。（1）写出回归方程，并解释β̂3含义。（2）检验x3系数是否显著（α=0.05）。（3）计算x4对y的偏决定系数，并解释。（4）若某线路里程15km，停靠20站，专用道比例40%，天气指数3，预测运行时间及95%预测区间（s²=RSS/(n-p)=1200/95≈12.63）。答案与解析：（1）ŷ=5.2+2.1x1+0.8x2−0.06x3+1.5x4；β̂3=−0.06表示在其余变量不变下，专用道比例每增加1%，运行时间平均减少0.06分钟。（2）t=β̂3/SE3=−0.06/0.04=−1.5，|t|<t_{0.025,95}≈1.985，p>0.05，不显著。（3）先拟合不含x4的简化模型，得RSS₄=1800，则偏决定系数R²_{y4|123}=(RSS₄−RSS)/RSS₄=(1800−1200)/1800=0.333，即控制x1,x2,x3后，x3可解释33.3%的剩余变异。（4）ŷ=5.2+2.1×15+0.8×20−0.06×40+1.5×3=5.2+31.5+16−2.4+4.5=54.8min预测方差=s²(1+x₀'(X'X)^{-1}x₀)，设x₀'(X'X)^{-1}x₀≈0.06（题设给定），则SE_pred=√12.63×1.06≈3.66，t_{0.025,95}≈1.98595%PI=54.8±1.985×3.66→(47.5,62.1)min。3.3（20分）某质量工程师记录连续30天的产品缺陷数：3,2,5,4,6,2,1,0,3,4,5,7,3,2,4,6,5,3,2,4,5,6,8,4,3,2,5,7,6,4假设数据服从Poisson分布，建立c控制图。（1）计算中心线与上下控制限（3σ）。（2）判断过程是否受控。（3）若第31天缺陷数为9，是否应报警？（4）若实际过程均值从λ₀=4升至λ₁=6，计算ARL₁（使用正态近似）。答案与解析：（1）c̄=Σc/30=120/30=4UCL=c̄+3√c̄=4+6=10，LCL=c̄−3√c̄=4−6=−2→取0（缺陷数非负）（2）所有点∈[0,10]，无异常模式，过程受控。（3）9<UCL，不报警；但已接近上限，需警惕。（4）ARL₁≈1/β，β为第二类错误概率。控制限[0,10]，λ₁=6，正态近似N(6,6)β=P(0≤c≤10|λ=6)≈Φ((10.5−6)/√6)−Φ((−0.5−6)/√6)=Φ(1.84)−Φ(−2.65)=0.967−0.004=0.963ARL₁=1/(1−β)=1/0.037≈27天。3.4（15分）某高校欲评估线上教学效果，随机抽取8门课程，记录学生平均满意度y与教师数字素养得分x：x:6870727578808285y:7274757880828386（1）建立简单线性回归模型，给出方差分析表。（2）计算x与y的Pearson相关系数，并检验H₀:ρ=0（α=0.05）。（3）若某教师数字素养得分90，预测其课程满意度及95%置信区间。答案与解析：（1）计算得：x̄=76.25，ȳ=78.75，Sxx=354.5，Syy=338.5，Sxy=344.5β̂1=Sxy/Sxx=0.972，β̂0=ȳ−β̂1x̄=4.68回归方程：ŷ=4.68+0.972xSSReg=β̂1Sxy=334.8，RSS=Syy−SSReg=3.7，TSS=338.5ANOVA：F=(SSReg/1)/(RSS/6)=334.8/0.617=542.6，p<0.001，显著。（2）r=Sxy/√(SxxSyy)=344.5/√(354.5×338.5)=0.996t=r√(n−2)/√(1−r²)=0.996×√6/0.089=27.4，p<0.001，拒绝H₀。（3）x₀=90，ŷ=4.68+0.972×90=92.2SE_pred=√[MSE(1/n+(x₀−x̄)²/Sxx)]=√[0.617(1/8+13.75²/354.5)]=1.23t_{0.025,6}=2.44795%CI=92.2±2.447