2025-2026西南师大高中二年级数学下期测试卷及答案

2025-2026西南师大高中二年级数学下期测试卷及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若复数z=a+bi(a,b∈R)的模为1，则z²的模为

A.a²+b²

B.1

C.2

D.0

3.抛物线y=x²-4x+3的焦点坐标是

A.(2,1)

B.(2,-1)

C.(1,2)

D.(-1,2)

4.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则以下结论一定正确的是

A.存在x₁,x₂∈[0,1]，x₁≠x₂使得f(x₁)=f(x₂)

B.f(x)在[0,1]上单调递增

C.f(x)在[0,1]上取得最大值和最小值

D.f(x)在[0,1]上恒为常数

5.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与向量b的夹角范围是

A.[0,π/2]

B.[π/2,π]

C.[0,π/3]

D.[π/3,2π/3]

6.不等式|2x-1|>3的解集是

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(-∞,-1)

D.(2,+∞)

7.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5，d=-2，则a₅的值是

A.-3

B.-1

C.1

D.3

8.直线y=kx+b与圆(x-1)²+(y-2)²=1相切，则k的取值范围是

A.[-√5,√5]

B.(-∞,-√5]∪[√5,+∞)

C.[-1,1]

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

9.函数f(x)=log₂(x²-2x+3)的定义域是

A.(-∞,-1)∪(3,+∞)

B.[1,3]

C.R

D.(-∞,1]∪[3,+∞)

10.已知三棱锥A-BCD的体积为V，底面BCD的面积为S，则顶点A到底面BCD的距离是

A.V/S

B.2V/S

C.VS

D.S/V

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若sinα+cosα=√2，则tanα的值是______

2.复数z=1-i的平方根是______

3.抛物线y=-x²+4x-1的对称轴方程是______

4.函数f(x)=e^x-1在区间[0,1]上的平均值是______

5.已知向量a=(2,3)，b=(-1,1)，则向量a·b的值是______

6.不等式|x+1|≤2的解集是______

7.等比数列{bₙ}中，b₁=2，q=3，则b₅的值是______

8.直线y=x+1与圆(x-2)²+(y-3)²=4相交，交点坐标是______

9.函数f(x)=sin(x)cos(x)的最大值是______

10.已知三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则∠B的正弦值是______

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间[0,π]上单调递减的是

A.y=-x²

B.y=cos(x)

C.y=log₂(x)

D.y=e^(-x)

2.关于复数z=a+bi(a,b∈R)，下列说法正确的是

A.若|z|=1，则z²也是单位复数

B.z²为实数的充要条件是z为实数

C.z=z̄的充要条件是z为实数

D.z·z̄=|z|²

3.下列命题中，真命题是

A.过抛物线y²=2px(p>0)的焦点作弦，该弦的中点必在抛物线上

B.直线y=kx与圆x²+y²=r²相切时，k²=r²

C.函数y=sin(x)+cos(x)的图像关于直线x=π/4对称

D.等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数

4.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则以下结论可能正确的是

A.f(x)在(0,1)上存在极值点

B.f(x)在[0,1]上恒为常数

C.f(x)在[0,1]上取得最大值和最小值

D.f(x)在[0,1]上存在两个不同的点使得f(x₁)=f(x₂)

5.关于向量的说法，正确的是

A.两个非零向量的数量积为0，则这两个向量垂直

B.向量的模是向量与自身数量积的平方根

C.向量a与向量b平行，则存在实数k使得a=kb

D.向量a+b的模一定大于向量a的模

6.下列不等式解集为R的是

A.|x-1|<0

B.x²-2x+1>0

C.sin(x)>0

D.e^x>0

7.关于数列的说法，正确的是

A.等差数列的任意两项之差为常数

B.等比数列的任意两项之比为常数

C.数列的前n项和公式一定是关于n的多项式

D.数列{aₙ}单调递增，则存在d>0使得aₙ+₁-aₙ=d

8.下列几何图形中，是旋转体的是

A.棱柱

B.圆锥

C.球

D.棱锥

9.关于函数的连续性，正确的是

A.分段函数在分段点处可能不连续

B.两个连续函数的和仍连续

C.连续函数的复合函数仍连续

D.初等函数在定义域内都连续

10.下列命题中，正确的是

A.三角形的三条高线交于一点

B.圆的任意一条切线与过切点的半径垂直

C.等腰三角形的底角相等

D.正n边形的对角线数目为n(n-3)/2

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数y=sin(x)cos(x)的最小正周期是π

2.若复数z₁=a+bi，z₂=c+di(a,b,c,d∈R)，则|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|

3.抛物线y=x²-6x+9的焦点在x轴上

4.函数f(x)在区间[0,1]上连续且单调递增，则f(0)<f(1)

5.向量a=(1,2)，b=(3,6)，则向量a与向量b共线

6.不等式|3x-2|>5的解集是(-∞,-1)∪(7/3,+∞)

7.等差数列{aₙ}中，a₁=1，d=2，则a₁₀的值是19

8.直线y=x与圆(x-1)²+(y-1)²=1相切

9.函数f(x)=tan(x)的定义域是所有实数

10.三角形ABC的三边长分别为5,12,13，则∠C是直角

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=x²-4x+3，求f(x)的对称轴方程

2.计算向量a=(3,4)与向量b=(-1,2)的数量积

3.解不等式|2x-1|<3

4.写出等比数列{bₙ}的前n项和公式，其中b₁=2，q=3

5.求圆(x-2)²+(y-3)²=4的圆心坐标和半径

6.证明：sin²(x)+cos²(x)=1

7.已知三角形ABC的三边长分别为5,7,8，求三角形ABC的面积

8.求函数f(x)=sin(x)cos(x)在区间[0,π/2]上的最大值

9.写出过点(1,2)且与直线y=3x-1平行的直线方程

10.证明：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π。

2.B解析：复数z=a+bi的模为1，即√(a²+b²)=1，则z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，其模为√((a²-b²)²+(2ab)²)=√(a²+b²)²=1。

3.A解析：抛物线y=x²-4x+3可以化简为y=(x-2)²-1，其焦点坐标为(2,1-1/4)=(2,1)。

4.A解析：根据罗尔定理，存在x₁,x₂∈(0,1)，x₁≠x₂使得f(x₁)=f(x₂)。因为f(0)=f(1)，且f(x)在[0,1]上连续，所以在(0,1)上存在导数为0的点，即存在x₁,x₂∈(0,1)，x₁≠x₂使得f(x₁)=f(x₂)。

5.B解析：向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(2×(-1)+3×1)/(√(1²+2²)√((-1)²+1²))=1/√10。因为cosθ为正，所以θ∈[0,π/2)。

6.A解析：不等式|2x-1|>3等价于2x-1>3或2x-1<-3，解得x>2或x<-1。

7.C解析：等差数列{aₙ}中，aₙ=a₁+(n-1)d，所以a₅=5+(5-1)×(-2)=5-8=-3。

8.A解析：直线y=kx+b与圆(x-1)²+(y-2)²=1相切，则圆心(1,2)到直线的距离等于半径1，即|k×1-1×2+b|/√(k²+1)=1，整理得|k-2+b|=√(k²+1)。解得k∈[-√5,√5]。

9.C解析：函数f(x)=log₂(x²-2x+3)的定义域要求x²-2x+3>0，即(x-1)²+2>0，对所有实数x都成立。

10.A解析：三棱锥A-BCD的体积V=(1/3)×底面积S×高h，所以高h=3V/S。

二、填空题答案及解析

1.1解析：sinα+cosα=√2等价于√2sin(α+π/4)=√2，所以sin(α+π/4)=1，则α+π/4=π/2+2kπ(k∈Z)，α=π/4+2kπ(k∈Z)。tanα=tan(π/4+2kπ)=1。

2.±(1-i)解析：设z=a+bi(a,b∈R)是1-i的平方根，则(a+bi)²=1-i，即a²-b²+2abi=1-i。比较实部和虚部得a²-b²=1,2ab=-1。解得a=±√(1/2-1/4)=±1/√2，b=±(-1)/(2√(1/2-1/4))=±(-1)/√2。所以z=±(1/√2-i/√2)=±(√2/2-√2/2i)=±(1-i)。

3.x=2解析：抛物线y=-x²+4x-1可以化简为y=-(x-2)²+3，其对称轴为x=2。

4.e-1解析：函数f(x)=e^x-1在区间[0,1]上的平均值是(∫₀¹(e^x-1)dx)/(1-0)=[e^x/x]|₀¹-[x]|₀¹=(e-1)/1-(1-0)=e-1-1=e-2。

5.-5解析：向量a·b=(1,2)·(-1,1)=1×(-1)+2×1=-1+2=-5。

6.[-3,3]解析：不等式|x+1|≤2等价于-2≤x+1≤2，解得-3≤x≤1。

7.48解析：等比数列{bₙ}中，bₙ=b₁qⁿ⁻¹，所以b₅=2×3⁵⁻¹=2×3⁴=2×81=162。

8.(3,2)和(1,0)解析：直线y=x+1与圆(x-2)²+(y-3)²=4相交，将y=x+1代入圆的方程得(x-2)²+((x+1)-3)²=4，即(x-2)²+(x-2)²=4，即2(x-2)²=4，(x-2)²=2，x-2=±√2，x=2±√2。当x=2+√2时，y=(2+√2)+1=3+√2；当x=2-√2时，y=(2-√2)+1=3-√2。交点坐标为(2+√2,3+√2)和(2-√2,3-√2)。

9.1/2解析：函数f(x)=sin(x)cos(x)=(1/2)sin(2x)，其最大值为1/2。

10.4/5解析：三角形ABC的三边长分别为3,4,5，是勾股数，所以∠C是直角，∠B的正弦值sinB=对边/斜边=4/5。

三、多选题答案及解析

1.A,D解析：y=-x²在[0,π]上单调递减；y=e^(-x)在[0,π]上单调递减；y=cos(x)在[0,π/2]上单调递减，但在[π/2,π]上单调递增；y=log₂(x)在[0,π]上无定义。

2.A,C,D解析：|z₁+z₂|²=(z₁+z₂)·(z₁+z₂̄)=z₁·z₁̄+z₁·z₂̄+z₂·z₁̄+z₂·z₂̄=|z₁|²+z₁·z₂̄+z₂·z₁̄+|z₂|²=|z₁|²+|z₂|²+2Re(z₁·z₂̄)=|z₁|²+|z₂|²+2Re(Re(z₁)Im(z₂)-Im(z₁)Re(z₂))=|z₁|²+|z₂|²。所以|z₁+z₂|²=|z₁|²+|z₂|²，即|z₁+z₂|=√(|z₁|²+|z₂|²)。当|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|时，由三角不等式等号成立条件得z₁和z₂同向，即z₁/z₂为正实数，即z₁=kz₂(k>0)。所以z₁·z₂̄=|z₁||z₂̄|=|z₁|²，z₂·z₁̄=|z₂||z₁̄|=|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|z₁|²+|z₂|²。所以z₁·z₂̄+z₂·z₁̄=|